3. Operaciones con funciones.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente estamos interesados en la composición de funciones en la inversa de una función dada. Como los números, las funciones se pueden sumar, multiplicar dividir. Dadas dos funciones f g, se definen las funciones suma f + g, producto f g cociente f g mediante las igualdades ( ) ( ) f + g ( ): = f( ) + g( ), f g ( ): = f( ) g( ), f f( ) ( ) : =, siempre que g( ) 0. g g( ) Recuerda que si las funciones f g son derivables, entonces la suma, el producto el cociente (salvo que se anule el denominador) son también funciones derivables se verifica que ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ), ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ), f f ( g ) ( ) f( g ) ( ) ( ) =, siempre que g( ) 0. g g( ) Composición de funciones. La composición es otra forma de combinar funciones para obtener otras nuevas. DEFINICIÓN. Si f g son dos funciones, la función composición f g ( f compuesta con g ) está f g ( ): = f g ( ). El domino de f g consiste en los puntos del dominio de la definida por ( ) función g de forma que g ( ) pertenece al domino de la función f. Observa el siguiente gráfico.

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. EJEMPLO. Consideremos las funciones f ( ) = g ( ) = +. Entonces f g( ) = f g( ) = g( ) = +,. ( ) cuo dominio es el intervalo [ ). g f( ) = g( f( ) ) = f( ) + = +, cuo dominio es el intervalo [ ),. 0, f f( ) = f ( f( ) ) = f( ) = =, cuo dominio es el intervalo [ ) 4. g g( ) = g( g( ) ) = g( ) + = +, cuo dominio es el intervalo (, ). 0,. La fórmula que permite calcular la derivada de la composición de dos funciones derivables f g se llama regla de la cadena afirma que la derivada de la composición f g se obtiene multiplicando las derivadas f g de las funciones f g evaluadas en puntos adecuados. De forma más precisa tenemos TEOREMA (REGLA DE LA CADENA). Sean f g dos funciones sea en el domino de la composición f g. Si la función g es derivable en el punto la función f es derivable en el punto u: = g( ), entonces la función composición f g es derivable en el punto se verifica que f g ( ) = f ( u) g ( ) = f g( ) g ( ). ( ) ( ) Función inversa. La función inversa de una función dada f es aquella que invierte el efecto de la función f. Por ejemplo, para la función h ( ) = sabemos que h (4) =. La función inversa sería h aquella función de forma que h () = 4. Como sabes, esta función es h ( ) =. Sin embargo, eisten funciones, como f ( ) = o g ( ) = sen, que asignan el mismo valor a diferentes puntos de su dominio. Para estas funciones, a priori, no es posible asignarle una función inversa. Debemos precisar algo más. DEFINICIÓN. Una función f se dice que es inectiva en un intervalo I si f ( ) f( ) siempre que son puntos de I. Para una función inectiva es posible definir la función inversa. DEFINICIÓN. Supongamos que f es una función inectiva definida en un intervalo I cua imagen es el conjunto J. Se define la función inversa si sólo si f ( ) =. OBSERVACIÓN. Las imágenes los dominios de f siguientes igualdades ( ) ( ) ( ) ( ) f para cada punto J mediante f f f ( ) = f f( ) =, I, f f ( ) = f f ( ) =, J. f ( ): = I se intercambian. Además tenemos las

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. Una función creciente en un intervalo es inectiva, por tanto, tiene función inversa. Las funciones decrecientes también tienen función inversa. Recuerda que las funciones derivables con derivada positiva son funciones crecientes las funciones derivables con derivada negativa son decrecientes. Por tanto, estas funciones tienen función inversa. OBSERVACIÓN. A veces es fácil obtener un epresión eplícita de la función inversa de una función dada f. Se trata de resolver la ecuación = f( ) para la variable para obtener la fórmula = f ( ). Usualmente, después se vuelve a cambiar el nombre de la variable independiente se suele escribir la epresión de la inversa como = f ( ). Si representamos ambas funciones en los mismos ejes coordenados obtenemos dos curvas simétricas respecto de la recta =. Observa el siguiente gráfico. EJEMPLO. Consideremos la función f( ): = +, que es inectiva (es creciente) está definida en toda la recta real. Si resolvemos la ecuación = + obtenemos que =. Por tanto su función inversa es f ( ) =. Observa sus gráficas. 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. En otros casos no es posible obtener una epresión de la función inversa simplemente, a la función inversa le damos otro nombre. Este es el caso, por ejemplo, de la función eponencial f ( ) = e que es creciente está definida en toda la recta real. Su rango es el intervalo ( 0, ). Su función inversa es la función logaritmo, es decir, f ( ) = log, que está definida en el intervalo log ( 0, ). Recuerda que log ( e ) = para todo, por otra parte, e = para todo ( 0, ). Algo similar le ocurre a las funciones trigonométricas. Recuerda que la función seno no es inectiva, sin embargo es creciente en el intervalo π π,. Por tanto, aquí es posible definir la función π π inversa, que se llama arcoseno. De hecho, = arcsen es el número del intervalo, tal que sen =. Observa las gráficas de estas funciones. De la misma forma, la función coseno no es inectiva, sin embargo es decreciente en el intervalo [ 0, π ]. Por tanto, aquí es posible definir la función inversa, que se llama arcocoseno. De hecho, = arcos es el número del intervalo [ 0,π ] tal que cos =. Observa las gráficas de estas funciones. 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. π π La función tangente tampoco es inectiva, pero es creciente en el intervalo,. Su función inversa se llama arcotangente se define de la siguiente forma: = arctan es el número del inter- π π valo, tal que tan. = La gráfica de la función arcotangente es la siguiente Ahora estudiaremos la relación entre la derivada de una función la de su función inversa. El resultado es el siguiente groso modo asegura que eiste un relación recíproca entre las dos derivadas. TEOREMA (DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA). Sea f : I f( ) una función derivable tal que f ( ) 0 para todo I. Entonces la función inversa f eiste es derivable en cada punto de su dominio. Además, si es un punto del domino de ( f ) ( ) =. f f ( ( )) f, entonces 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. OBSERVACIÓN. Recuerda que se verifica que ( ) ( ) ( ) ( ) f f ( ) = f f( ) =, I, f f ( ) = f f ( ) =, J. f f ( ) f ( ) = para cada J. Entonces, despejando obtenemos la igualdad del enunciado. EJEMPLOS. Derivada de la función arcoseno. Sabemos que = arcsen es el número del intervalo π, tal que sen. = Con la notación anterior tenemos que ( ) sen f ( ) = arcsen. Entonces, puesto que f π π ( ) = cos 0 para todo,, Si derivamos en la segunda igualdad (respecto de la variable ) usando la regla de la cadena obte- nemos que ( ) ( ) ( f ) ( ) = = = = =. cos cos f ( ) sen Por tanto, si g ( ) = arcsen, entonces ( ) cos( arcesen ) g ( ) = para todo (, ). Derivada de la función arcocoseno. Sabemos que arcos que cos =. Con la notación anterior tenemos que f ( ) = cos puesto que f ( ) sen 0 0, π, obtenemos ( f ) = para todo ( ) ( ) sen ( arcos ) = es el número del intervalo [ ] 0,π tal f ( ) = arcos. Entonces, ( ) = = = = =. sen sen f ( ) cos Por tanto, si g ( ) = arcos, entonces g ( ) = Derivada de la función arcotangente. Sabemos que para todo (, ). = arctan es el único número del intervalo π, π tal que tan. = Entonces, con la notación anterior, tenemos que f ( ) = tan f ( ) = arctan. Entonces ( f ) ( ) = = = =. + tan ( ) + tan arctan + tan + ( f ) ( ) Por tanto, si g ( ) = arctan, entonces g ( ) = para todo ( ) +,. 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. Las funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas se forman combinando las funciones eponenciales e e constituen un neo común entre la función eponencial, la función loga- ritmo las funciones trigonométricas. Consideremos las funciones f g definidas en toda la recta real mediante las fórmulas f( ) = senh = ( e e ) seno hiperbólico, g ( ) = cosh = ( e+ e ) coseno hiperbólico. Es fácil comprobar que cosh + senh = ( e + e ) + ( e e ) = e, para todo. A continuación mostramos algunas propiedades de estas funciones. Las gráficas de las funciones f g son las siguientes. Observa que f es una función impar, mientras que g es una función par. Para las derivadas, es fácil comprobar que se verifica f ( ) = g( ) también g ( ) = f( ), para todo. Las funciones hiperbólicas verifican relaciones algebraicas similares a las que verifican las funciones trigonométricas sen cos. A continuación estableceremos algunas de ellas. Por ejemplo, se verifica que ( ) cosh senh = e + e ( e e ) =, para todo. De la misma forma, aunque es un poco más largo, se establece que 4 4 cosh ( + ) = cosh cosh + senh senh,,. En particular, si ponemos =, obtenemos que esta última igualdad obtenemos ahora que se puede establecer que = + De la primera de cosh ( ) cosh senh. cosh = ( + cosh ( )). De forma parecida, también senh ( + ) = senh cosh + cosh senh,,. de esta última, poniendo =, deducir la igualdad senh ( ) = senh cosh. 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. También es interesante considerar la función tangente hiperbólica, definida por el cociente de las senh funciones seno coseno hiperbólicos, esto es, tanh : =, para todo. cosh Finalmente vamos a obtener las epresiones de las inversas de estas funciones. Comenzamos con la inversa del seno hiperbólico: = senh. Sabemos que esta función está definida en toda la recta real, puesto que su derivada es positiva, es creciente tiene función inversa que también estará definida en toda la recta real a que lim senh = lim senh =. Tenemos entonces la ecua- e e ción =. Llamamos t: = e > 0, entonces = t, así que t t = 0. Despejando t ± t obtenemos t = = ± +. Puesto que t > 0 obtenemos que t = + +, en consecuencia, ( ) Su gráfica es la siguiente. = log + +. Por tanto, la función inversa del seno hiperbólico es ( ) senh = log + +,. Continuamos con la inversa del coseno hiperbólico: = cosh. Sabemos que esta función está definida en toda la recta real, pero no es inectiva. Por ejemplo, es inectiva en el intervalo [ 0, ) aquí es posible definir la función inversa. Puesto que cosh 0 = lim cosh =, su función inver- e + e sa estará definida en el intervalo [, ). Tenemos que resolver entonces la ecuación =, sabiendo que queremos una solución 0. Llamamos t: = e > 0, entonces = t+, así t ± 4 4 que t t+ = 0. Despejando t en la ecuación, obtenemos t = = ±. Observa que t = + para todo, mientras que t = para todo. Aho- 8

9 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. ra debemos tomar logaritmo obtener 0, así queda descartada la segunda posibilidad debemos elegir = +, en consecuencia, ( ) t del coseno hiperbólico es Su gráfica es la siguiente. = log +. Por tanto, la función inversa ( ) [ ) cosh = log +,,. Finalizamos con la inversa de la tangente hiperbólica: = tanh. Sabemos que esta función está definida en toda la recta real, es creciente porque su derivada es positiva su rango es el intervalo, a que lim tanh = lim tanh =. Por tanto, su función inversa estará definida en el ( ) e e intervalo (, ). Tenemos que resolver la ecuación =, sabiendo que (, ). Llamamos t: = e > 0, entonces = e + e t +, así que t + = t. Despejando t obtenemos t =±. t Como t > 0, debemos tomar t =, en consecuencia, = log. Por tanto, la función inversa del coseno hiperbólico es + tanh = log, (, ). Su gráfica es la siguiente. 9

10 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. EJERCICIO. Si f ( ): =, g ( ): = cos( ) h ( ): = log, encuentra las siguientes composicio- ( ), ( ) ( ) h f g( ). nes sus derivadas, donde estas eistan: h( g( f )) g( h( f )) f ( g( h )) ( ( )) Escribe las composiciones que faltan en la lista anterior calcula sus derivadas. EJERCICIO. Considera las funciones cuadrado f ( ): = valor absoluto g ( ): =. () Dibuja las gráficas de estas dos funciones comprueba que f es derivable en = 0, pero la función g no es derivable en = 0. () Comprueba que las composiciones f g g f coinciden es una función derivable en = 0. (3) Eplica si esto contradice la regla de la cadena. EJERCICIO 3. Cuáles de las siguientes funciones son inectivas cuáles no? Justifica tu respuesta. 0

11 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. EJERCICIO 4. Calcula las coordenadas del punto simétrico, respecto de la recta =, del punto de coordenadas ( ab, ). Usa esto para justificar la siguiente afirmación: las gráficas de las funciones = f( ) e = f ( ) son simétricas respecto de la recta =. EJERCICIO 5. ) Calcula la inversa de la función f ( ) = m, con m 0. Qué se puede concluir de la inversa de una función cua gráfica es una línea recta que pasa por el origen con pendiente no nula? ) Comprueba que la gráfica de la inversa de la función f ( ) = m+ b, con m 0, es una recta con pendiente b que corta al eje OY en el punto 0,. m m 3) Calcula la inversa de la función f ( ) = + dibuja su gráfica junto con la gráfica de la función f la recta =. 4) Calcula la inversa de la función f ( ) = + b. Describe la relación entre las gráficas de f f. Qué se puede concluir de la inversa de una función cua gráfica es una línea recta paralela a =? 5) Calcula la inversa de la función f ( ) = + dibuja su gráfica junto con la gráfica de la función f la recta =. Cuál es el ángulo de corte? 6) Calcula la inversa de la función f ( ) = + b. Describe la relación entre las gráficas de f f. Qué se puede concluir de la inversa de una función cua gráfica es una línea recta perpendicular a =? EJERCICIO 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: ( ) arcos + arcsen, arcos arcsen, e + log ( arctan ) arctan ( log ) + arctan + arctan. EJERCICIO 7. Deduce las siguientes igualdades cosh ( + ) = cosh cosh + senh senh,,. senh ( + ) = senh cosh + cosh senh,,.

12 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. EJERCICIO 8. Para cada una de las siguientes funciones debes encontrar una epresión de su inversa realizar una representación gráfica de ambas, la función su inversa: a) f( ) =, 0 b) f( ) =, > 0 + c) f( ) =, > 0 d) f ( ) =, 0 EJERCICIO 9. Sea = f( ) una función dos veces derivable sea z g( t), = donde gt (): = f( t ()) t ( t) = e. Determina la relación que eiste entre las derivadas primeras d d dz dt, la que eiste d d z entre las derivadas segundas d dt.