1. Ecuaciones no lineales

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1 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar el error después de ocho iteraciones. c) Aplicar el método de Newton, hasta obtener tres cifras decimales exactas. Solución: a) La ecuación puede escribirse de la forma: e x = 1 x Gráficamente, se observa que existe una única solución real (intersección de las dos curvas) y que esta es positiva. La demostración analítica de este hecho es la siguiente: Para x < 0: 1 x < 0 y ex > 0 = e x 1 x y por tanto, no existen raíces negativas. Para x > 0: f(x) = xe x 1 = 1 { f(0) = 1 < 0 f(+ ) = + > 0

2 2 Álgebra Numérica y existe, por tanto, un número impar de raíces positivas (al menos una). La función derivada f (x) = xe x + e x = (x + 1)e x sólo se anula para x = 1. Dado que, si existiese más de una raíz positiva, el teorema de Rolle nos asegura que la función derivada debe anularse en algún punto intermedio y hemos visto que f (x) no se anula para ningún valor positivo de la variable, podemos asegurar que sólo existe una raíz real α, que esta es positiva y simple, pues f (α) 0. Dado que f(1) = e 1 > 0 y f(0) = 1 < 0, podemos asegurar que la única raíz real de la ecuación se encuentra en el intervalo (0, 1). b) Método de la bisección: { f(0) = 1 < 0 [a 1, b 1 ] = [a, b] = [0, 1] con f(1) = e 1 > 0 f(0.5) < 0 = [a 2, b 2 ] = [0.5, 1] f(0.75) > 0 = [a 3, b 3 ] = [0.5, 0.75] f(0.625) > 0 = [a 4, b 4 ] = [0.5, 0.625] f(0.5625) < 0 = [a 5, b 5 ] = [0.5625, 0.625] f( ) > 0 = [a 6, b 6 ] = [0.5625, ] f( ) > 0 = [a 7, b 7 ] = [0.5625, ] f( ) > 0 = [a 8, b 8 ] = [0.5625, ] Tomando como aproximación a la raíz el punto medio del intervalo x 8 = = ε = = ε 8 < 10 2 Si redondeamos a las dos primeras cifras decimales, es decir, si tomamos α = 0.57, el error acumulado verifica que ε < = < 10 2 por lo que puede asegurarse que la solución de la ecuación es 0.57 con las dos cifras decimales exactas. c) Método de Newton: La fórmula de Newton-Raphson es x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Dado que, por el apartado anterior, se conoce que la raíz se encuentra en el intervalo [0.5625, ] y que

3 1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 3 f(0.5625) < 0 f(x) = xe x 1 = f( ) > 0 f (x) = (x + 1)e x = f (x) > 0 x [0.5625, ] f (x) = (x + 2)e x = f (x) > 0 x [0.5625, ] la regla de Fourier nos dice que x 0 = Al ser positiva la segunda derivada, la primera es creciente, por lo que es decir mín f (x) = f ( ) = x [0.5625, ] obteniéndose que f(x n ) ε n mín f (x) < x [0.5625, ] f(x n ) 2.74 x 0 = con ε 0 < f(x 0) 2.74 = x 1 = con ε 1 < f(x 1) 2.74 = Si redondeamos a el error acumulado es ε < < 10 3 Por lo que la solución de la ecuación es con sus tres cifras decimales exactas. Ejercicio 1.2 Probar que la ecuación x 2 + ln x = 0 sólo tiene una raíz real y hallarla, por el método de Newton, con 6 cifras decimales exactas. Solución: Si representamos las gráficas de las funciones y = ln x e y = x 2 obtenemos

4 4 Álgebra Numérica Puede observarse que sólo existe un punto de corte entre ellas, por lo que la ecuación x 2 + ln x = 0 sólo posee una raíz real. Analíticamente hay que probar que las gráficas no vuelven a cortarse en ningún otro punto, sin embargo, dado que en su dominio de definición, que es (0, + ), ln x es creciente y x 2 decreciente, no pueden volver a cortarse. Partiendo de x 0 = 0.1 y aplicando el método de Newton, en el intervalo (0.1, 1) (no tomamos (0, 1) por no estar definido el logaritmo en 0), dado por la fórmula x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n + ln x n 2x n + 1 x n con un error, a posteriori, dado por ε n f(x n) mín f (x) = x (0,1) = x3 n + x n x n ln x n 2x 2 n + 1 x 1 = con ε x 2 = con ε f(x n ), obtenemos: 2 x 3 = con ε x 4 = con ε Por lo que la raíz buscada es con un error ε < 10 6 es decir, con las seis cifras decimales exactas. Ejercicio 1.3 Eliminar las raíces múltiples en la ecuación x 6 2x 5 + 3x 4 4x 3 + 3x 2 2x + 1 = 0 Resolver, exactamente, la ecuación resultante y comprobar la multiplicidad de cada raíz en la ecuación original. Solución: Aplicamos el Algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor entre el polinomio P (x) = f 0 (x) = x 6 2x 5 +3x 4 4x 3 +3x 2 2x+1 y su derivada f 1 (x) = 6x 5 10x x 3 12x 2 + 6x 2. Para ello podemos multiplicar, previamente, f 0 (x) por 3 y dividir f 1 (x) entre 2. 3x 6 6x 5 + 9x 4 12x 3 + 9x 2 6x + 3 3x 5 5x 4 + 6x 3 6x 2 + 3x 1 3x 6 + 5x 5 6x 4 + 6x 3 3x 2 + x x 1 x 5 + 3x 4 6x 3 + 6x 2 5x + 3 multiplicando por 3 3x 5 + 9x 4 18x x 2 15x + 9 3x 5 5x 4 + 6x 3 6x 2 + 3x 1 4x 4 12x x 2 12x + 8

5 1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 5 Por lo que (dividiendo el resto entre 4) f 2 (x) = x 4 3x 3 + 3x 2 3x + 2. Dividimos ahora f 1 (x) (dividido, previamente entre 2) entre f 2 (x). 3x 5 5x 4 + 6x 3 6x 2 + 3x 1 x 4 3x 3 + 3x 2 3x + 2 3x 5 + 9x 4 9x 3 + 9x 2 6x 3x + 4 4x 4 3x 3 + 3x 2 3x 1 4x x 3 12x x 8 9x 3 9x 2 + 9x 9 = f 3 (x) = x 3 x 2 + x 1 Dividiendo, ahora, f 2 (x) entre f 3 (x) se obtiene: x 4 3x 3 + 3x 2 3x + 2 x 3 x 2 + x 1 x 4 + x 3 x 2 + x x 2 2x 3 + 2x 2 2x + 2 2x 3 2x 2 + 2x 2 El máximo común divisor entre P (x) y su derivada es 0 D(x) = x 3 x 2 + x 1 El polinomio cuyas raíces son las mismas que las de P (x), pero simples, es Q(x) = P (x) D(x) = x6 2x 5 + 3x 4 4x 3 + 3x 2 2x + 1 x 3 x 2 + x 1 = x 3 x 2 + x 1 Como Q(x) = x 3 x 2 + x 1 = (x 1)(x 2 + 1) = (x 1)(x + i)(x i) sus raíces son 1, i y i. Veamos la multiplicidad de ellas en P (x). Dado que P (x) = 2(3x 5 5x 4 + 6x 3 6x 2 + 3x 1) se tiene: P (1) = 2 ( ) = 0 P ( i) = 2 ( 3i 5 + 6i + 6 3i 1) = 0 P (i) = 2 (3i 5 6i i 1) = 0 Luego las tres raíces son dobles (no pueden tener mayor multiplicidad ya que el grado de P (x) es 6, es decir, 2+2+2).

6 6 Álgebra Numérica Ejercicio 1.4 Dado el polinomio P (x) = x 3 + 3x se pide: a) Acotar sus raíces reales. b) Probar, mediante una sucesión de Sturm, que P (x) sólo posee una raíz real y determinar un intervalo de amplitud 1 que la contenga. c) Se verifican, en dicho intervalo, las hipótesis del teorema de Fourier? En caso afirmativo, determinar el extremo que debe tomarse como valor inicial x 0 para garantizar la convergencia del método de Newton. d) Sabiendo que en un determinado momento del proceso de Newton se ha obtenido x n = , calcular el valor de x n+1 así como una cota del error en dicha iteración. Solución: a) x < = 4 = 4 < x < 4 b) f 0 (x) = P (x) = x 3 + 3x P (x) = 3x 2 + 6x = f 1 (x) = x 2 + 2x x 3 + 3x = (x 2 + 2x)(x + 1) + ( 2x + 2) = f 2 (x) = x 1 x 2 + 2x = (x 1)(x + 3) + 3 = f 3 (x) = x 3 + 3x x 2 + 2x x Cambios de signo por lo que sólo posee una raíz real, la cual se encuentra en el intervalo ( 4, 3). f( 4) = 14 < 0 c) f(x) = x 3 + 3x = es decir, la función f( 3) = 2 > 0 cambia de signo en los extremos del intervalo ( 4, 3). f (x) = 3(x 2 + 2x) > 0 x ( 4, 3)

7 1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 7 f (x) = 6(x + 1) < 0 x ( 4, 3) por lo que se verifican las hipótesis del teorema de Fourier y, por tanto, tomando como valor inicial x 0 = 4 (extremo en el que la función tiene el mismo signo que la segunda derivada) se tiene garantizada la convergencia del método de Newton. d) Dado que x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x3 n + 3x 2 n + 2 3x 2 n + 6x n x n+1 = se obtiene que El error a posteriori viene dado f(x n+1 ) ε n+1 mín f (x) = f(x n+1) f ( 3) x ( 4, 3) = f(x n+1) 9 < <10 9. Ejercicio 1.5 Aplicar el método de Sturm para separar las raíces de la ecuación 2x 6 6x 5 + x 4 + 8x 3 x 2 4x 1 = 0 y obtener la mayor de ellas con seis cifras decimales exactas por el método de Newton. Solución: Comencemos por construir la sucesión de Sturm. f 0 (x) = P (x) = 2x 6 6x 5 + x 4 + 8x 3 x 2 4x 1 P (x) = 12x 5 30x 4 + 4x x 2 2x 4, por lo que f 1 (x) = 6x 5 15x 4 + 2x x 2 x 2 Multiplicando f 0 (x) por tres y dividiendo el resultado entre f 1 (x) obtenemos: 6x 6 18x 5 + 3x x 3 3x 2 2x 3 6x 5 15x 4 + 2x x 2 x 2 6x x 5 2x 4 2x 3 + x 2 + 2x x 1 3x 5 + x x 3 2x 2 10x 3 multiplicando por 2 6x 5 + 2x x 3 4x 2 20x 6 6x 5 15x 4 + 2x x 2 x 2 13x x 3 + 8x 2 21x 8 f 2 (x) = 13x 4 26x 3 8x x + 8

8 8 Álgebra Numérica Multiplicando f 1 (x) por trece y dividiendo el resultado entre f 2 (x) obtenemos: 78x 5 195x x x 2 13x 26 13x 4 26x 3 8x x x x x 3 126x 2 48x 6x 3 39x x x 2 61x 26 39x 4 78x 3 24x x x 3 + 6x 2 + 2x 2 f 3 (x) = 2x 3 3x 2 x 1 Multiplicando f 2 (x) por dos y dividiendo el resultado entre f 3 (x) obtenemos: 26x 4 52x 3 16x x x 3 3x 2 x x x x 2 13x 13x 13 13x 3 3x x + 16 multiplicando por 2 26x 3 6x x x 3 39x 2 13x x x + 45 f 4 (x) = x 2 x 1 Dividimos ahora f 3 (x) entre f 4 (x), obteniendo: 2x 3 3x 2 x + 1 x 2 x 1 2x 3 + 2x 2 + 2x 2x 1 x 2 + x + 1 x 2 x 1 0 Al haber llegado a un resto nulo sabemos que la ecuación original tiene raíces múltiples. El máximo común divisor entre P (x) y su derivada es f 4 (x) = x 2 x 1, por lo que el polinomio cuyas raíces son las mismas que las de P (x) solo que simples es P (x) Q(x) = x 2 x 1 = 2x4 4x 3 x 2 + 3x + 1 Debemos, ahora, de construir una sucesión se Sturm para Q(x). g 0 (x) = Q(x) = 2x 4 4x 3 x 2 + 3x + 1 g 1 (x) = f 1 (x)/(x 2 x 1) = 6x 3 9x 2 x + 2 g 2 (x) = f 2 (x)/(x 2 x 1) = 13x 2 13x 8 g 3 (x) = f 3 (x)/(x 2 x 1) = 2x 1 g 4 (x) = f 4 (x)/(x 2 x 1) = 1

9 1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 9 Dado que x < 1 + A a 0, donde A = 4 y a 0 = 2, se tiene que x < 3, o lo que es lo mismo, 3 < x < x 4 4x 3 x 2 + 3x x 3 9x 2 x g 2 (x) = 13x 2 13x x Cambios de signo Existen, por tanto, cuatro raíces reales situadas en los intervalos: [ 1, 0.5] [ 0.5, 0] [1, 1.5] [1.5, 2] La mayor de las raíces se encuentra en el intervalo [1.5, 2], pero dado que Q (1.5) = 0 podemos tomar el intervalo [1.6, 2] en el cual: { Q(x) = 2x 4 4x 3 x 2 Q(1.6) < 0 + 3x + 1 Q(2) > 0 Q (x) = 8x 3 12x 2 2x + 3 > 0 x [1.6, 2] Q (x) = 24x 2 24x 2 > 0 x [1.6, 2] La regla de Fourier no dice que debemos comenzar a iterar en x 0 = 2. Teniendo en cuenta que x n+1 = x n Q(x) Q (x) x 0 = 2 x 1 = 1.8 x 2 = x 3 = se obtiene la sucesión: x 4 = = ε x 5 = = ε x 6 = = ε x 7 = = ε Es decir, la mayor de las soluciones, redondeando a seis cifras decimales es con un error acumulado ε < 10 6 por lo que sus seis cifras decimales son exactas.

10 10 Álgebra Numérica Ejercicio 1.6 En este ejercicio se pretende calcular 10 1 por el método de Newton. Consideramos, para ello, la función f(x) = x 10 1 cuya gráfica se da en la Figura 1. Fig. 1 Fig. 2 a) Probar, analíticamente, que en el intervalo [0.5, 1.5] posee una única raíz real. b) Si tomamos x 0 = 0.5 obtenemos la raíz x = 1 en la iteración número 43, mientras que si tomamos x 0 = 1.5 se consigue el mismo resultado en la iteración número 9. Cómo podríamos haber conocido a priori el valor que se debe elegir para x 0? c) Sabrías justificar el porqué de la extremada lentitud de la convergencia cuando iniciamos el proceso en x 0 = 0.5? y por qué sigue siendo lento el proceso si comenzamos en x 0 = 1.5? Justifica las respuestas. d) Dado que en el intervalo [0.5, 1.5] no se anula la función x 5, las raíces de f(x) son las mismas que las de g(x) = f(x)/x 5 = x 5 x 5 cuya gráfica se da en la Figura 2. Se puede aplicar a g(x) la regla de Fourier en dicho intervalo? e) Si resolvemos, por el método de Newton, la ecuación g(x) = 0, se obtendrá la raíz con mayor rapidez que cuando lo hicimos con f(x) = 0? Justifica la respuesta sin calcular las iteraciones. Solución: a) Dado que la función f(x) es continua y derivable en R verificándose que f(0.5) = < 0 f(1.5) = > 0 por lo que admite un número impar de raíces en el intervalo [0.5,1.5]. Como f (x) = 10x 9 no se anula en [0.5,1.5], sólo puede existir una raíz real en dicho intervalo.

11 1.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 11 b) Dado que f (x) = 10x 9 y f (x) = 90x 8 son positivas (tienen signo constante) en todo el intervalo, debe tomarse como valor inicial el extremo en que f(x) tiene el mismo signo que la segunda derivada (Regla de Fourier), es decir x 0 = 1.5. c) Basta observar que la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = 0.5 es casi horizontal, por lo que en la primera iteración nos distanciamos de la raíz de forma considerable. Además, en las proximidades del 1, la curva es muy vertical, por lo que las tangentes son también muy verticales y las iteraciones se aproximan muy lentamente a x = 1. Por tanto, si partimos de x = 0.5 nos distanciamos mucho y nos acercamos muy lentamente, pero si partimos de 1.5 también nos acercamos muy lentamente. g (0.5) < 0 d) g (x) = 5x 4 + 5x 6 y g (x) = 20x 3 30x 7 con g (1.5) > 0 por lo que no puede aplicarse la regla de Fourier en dicho intervalo. (Si reducimos el intervalo a [0.5, 1.01] si podemos aplicarla, obteniendo que debemos tomar x 0 = 0.5). e) El proceso convergerá más rápidamente debido a que hemos eliminado las tangencias casi horizontales y las casi verticales. 1.2 Ejercicios propuestos Ejercicio 1.7 Dada la ecuación 8x 3 4x 2 18x + 9 = 0, acotar y separar sus raíces reales. Sol : x 3.25, x 1 ( 2, 1), x 2 (0, 1) y x 3 (1, 2). Ejercicio 1.8 Se considera el polinomio P (x) = x 3 6x 2 3x + 7. a) Probar, mediante una sucesión de Sturm, que posee una única raíz en el intervalo (6, 7). b) Si expresamos la ecuación P (x) = 0 de la forma x = F (x) = 1 3 (x3 6x 2 + 7), podemos asegurar su convergencia? Sol : No. F (x) > 1 en todo el intervalo, por lo que no es contractiva.

12 12 Álgebra Numérica c) Probar, aplicando el criterio de Fourier, que tomando como valor inicial x 0 = 7, el método de Newton es convergente. d) Aplicando Newton con x 0 = 7 se ha obtenido, en la segunda iteración, x 2 = Qué error se comete al aproximar la raíz buscada por el valor x 3 que se obtiene en la siguiente iteración? Sol : ε < Ejercicio 1.9 Dada la ecuación x 7 14x + 7 = 0 se pide: a) Probar que sólo tiene una raíz real negativa. b) Encontrar un entero a de tal forma que el intervalo [a, a + 1] contenga a la menor de las raíces positivas de la ecuación. Sol : a = 0. c) Cuál de los extremos del intervalo [a, a + 1] debe tomarse como valor inicial para asegurar la convergencia del método de Newton? Sol : x 0 = a = 0. d) Aplicar el método de Newton para obtener la menor de las raíces positivas de la ecuación con seis cifras decimales exactas. Sol : x = Ejercicio 1.10 Sea el polinomio p(x) = x 4 x 2 + 1/8. a) Utilizar el método de Sturm para determinar el número de raíces reales positivas del polinomio p, así como para separarlas. Sol : x 1 (0, 1 / 2 ) y x 2 ( 1 / 2, 1). b) Hallar los 2 primeros intervalos de la sucesión ([a 1, b 1 ], [a 2, b 2 ],...) obtenida de aplicar el método de dicotomía para obtener la mayor raíz, r, del polinomio p. Elegir el intervalo [a 1, b 1 ] de amplitud 1/2 y tal que uno de sus extremos sea un número entero. Sol : [a 1, b 1 ] = [ 1 / 2, 1], [a 2, b 2 ] = [ 3 / 4, 1]. c) Sea la sucesión definida por la recurrencia x 0 = 1, x n+1 = F (x n ), donde la iteración es la determinada por el método de Newton. Estudiar si la regla de Fourier aplicada al polinomio p en el intervalo [a 1, b 1 ] del

13 1.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 13 apartado anterior garantiza la convergencia de la sucesión a la raíz r. Y en el intervalo [a 2, b 2 ]? Sol : En el primero no, en el segundo sí con x 0 = 1. d) Hallar la aproximación x 1 del apartado anterior, determinando una cota del error cometido. Sol : x 1 = con ε e) Cuántas iteraciones se deben realizar para garantizar una aproximación de r con veinte cifras decimales exactas? Indicación: E n+1 = 1 k (ke 1) 2n, con k = máx f (x) en un intervalo 2 mín f (x) adecuado. Sol : 5 iteraciones (utilizar el intervalo (0.8385, )). Ejercicio 1.11 Dado el polinomio P (x) = x 4 + 4x 3 2x 2 + 4x 3 se pide: a) Acotar las raíces y construir una sucesión de Sturm para probar que sólo posee dos raíces reales, una positiva y otra negativa, dando intervalos de amplitud 1 que las contengan. Sol : x 1 ( 5, 4) y x 2 (0, 1). b) Partiendo de que la raíz positiva se encuentra en el intervalo (0, 1) y despejando la x del término lineal x = 1 4 x4 x x x = ϕ(x) se puede asegurar la convergencia de la sucesión x 1, x 2,..., x n,... definida de la forma x 1 = 0, x n+1 = ϕ(x n )? Sol : No. La función ϕ(x) no es contractiva en [0, 1]. c) Aplicar Fourier para determinar el valor inicial que debe tomarse para garantizar la convergencia del método de Newton en el cálculo de la raíz negativa. Tenemos las tres cifras exactas si tomamos como raíz ? Sol : x 0 = 5. Las tres cifras son exactas.

14 14 Álgebra Numérica Ejercicio 1.12 Sea el polinomio p(x) = 3 x + x 3. a) Utilizar una sucesión de Sturm para probar que el polinomio p(x) sólo tiene una raíz α R y que ésta se encuentra en el intervalo I = [0, 3]. b) Comprobar que la gráfica adjunta se corresponde con la de la función y = ϕ(x) cuya iteración, x n+1 = ϕ(x n ) = x n p(x n )/p (x n ), es la obtenida con el método de Newton para resolver p(x) = 0. Tomando x 1 = 0, estudiar geométricamente (sobre el dibujo) si se obtendría una sucesión (x n ) convergente a α. Y empezando en x 1 = 3? Sol : Con x 1 = 0 no pero con x 1 = 3 sí.

15 1.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 15 c) Tomar un subintervalo de I en el que la regla de Fourier garantice la convergencia del Método de Newton y, con un valor inicial apropiado, obtener una aproximación de α con, al menos, tres cifras decimales exactas. Sol : x [1, 2], x 0 = 2, x = Ejercicio 1.13 Dado el polinomio P (x) = x 3 + 6x 2 + 9x + k con k R se pide: a) Puede carecer de raíces reales? y tener dos y sólo dos raíces reales? Sol : No puede carecer de raíces reales. Sí si una de ellas es doble. b) Utilizar el método de Sturm para probar que tiene una única raíz real si, y sólo si, k < 0 o k > 4, y que sólo tiene raíces múltiples si k = 0 o k = 4 no existiendo, en ningún caso, una raíz triple. c) Para k = 4 admite una única raíz real en el intervalo [0, 1]. Si tomamos como valor aproximado de la raíz x = de cuántas cifras decimales exactas disponemos? Sol : x = con las 5 cifras decimales exactas. d) Si, en el caso anterior en que k = 4, aplicamos el método de Newton para hallar la raíz del polinomio, cuál de los extremos del intervalo [0, 1] deberíamos tomar como valor inicial x 0 para garantizar la convergencia? y qué valor obtendríamos para x 2? Sol : x 0 = 1, x 2 = Ejercicio 1.14 Dados los polinomios P (x) = 2x 3 2x 2 2αx + 3α Q(x) = x 3 3x 2 3αx + 2α a) Determinar el valor de α sabiendo que se trata de un entero par y que los valores de dichos polinomios sólo coinciden, para valores positivos de x, en un punto del intervalo (1, 2). Sol : α = 2 (estudiar el polinomio diferencia D(x) = P (x) Q(x)). b) Probar (mediante una sucesión de Sturm) que, para α = 2, el polinomio P (x) sólo tiene una raíz real, que ésta es positiva, y dar un intervalo de

16 16 Álgebra Numérica amplitud 1 que la contenga. Sol : x [1, 2]. c) Verifica el polinomio P (x) las condiciones de Fourier para la convergencia del método de Newton en el intervalo (1.2, 1.3)? Sol : Sí, x 0 = 1.3. d) Si tomamos como valor inicial x 0 = 1.3, calcular el valor que se obtiene para x 1 dando una cota del error. Sol : x 1 = , ε < Ejercicio 1.15 Cuando dos raíces positivas de una ecuación polinómica están muy próximas, suele ser difícil separarlas mediante intervalos cerrados. Para alejarlas se puede proceder como sigue: Paso 1: Sea la ecuación polinómica P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 ) (x α n ) = 0 Paso 2: Cambiar x por x 2 en P (x) = 0 P (x 2 ) = a n (x 2 α 1 ) (x 2 α n ) = 0 Paso 3: Cambiar x por x 2 en P (x) = 0 P ( x 2 ) = a n ( x 2 α 1 ) ( x 2 α n ) = ( 1) n a n (x 2 + α 1 ) (x 2 + α n )=0 Paso 4: Multiplicar las dos ecuaciones anteriores para obtener la nueva ecuación P (x 2 )P ( x 2 ) = ( 1) n a 2 n(x 4 α 2 1) (x 4 α 2 n)=0 Paso 5: En el polinomio obtenido, cambiar x 4 por una nueva variable t, obteniendo una ecuación del tipo (t α 2 1) (t α 2 n) = 0. Se obtiene así una ecuación polinómica cuyas raíces son los cuadrados de las raíces de la ecuación P (x) = 0. La relación entre las raíces de la nueva ecuación con las de P (x) = 0 es αi 2 αj 2 = (α i + α j )(α i α j ). Así, se observa que las nuevas raíces se alejan (o se acercan) α i + α j veces más que las raíces de P (x) = 0.

17 1.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 17 Si este procedimiento se aplica dos veces se obtiene una ecuación de la forma (t α 4 1) (t α 4 n) = 0 Sea la ecuación P (x) = 2x 2 9x+10 = 0, y sea Q(x) = 0 la ecuación obtenida al aplicar dos veces el método anteriormente descrito. Se pide: a) Mediante una sucesión de Sturm, demostrar que P (x) = 0 posee dos raíces reales. b) Comprobar que se obtiene el polinomio Q(x) = 16x 2 881x c) Separando previamente las raíces de Q(x) = 0, utilizar una fórmula de error a posteriori para calcular la mayor de ellas, con dos cifras decimales exactas, aplicando el método de Newton. Denotemos por α la raíz obtenida tomando sólo dos cifras decimales. Sol : x 1 [10, 20], x 2 [30, 40], α = d) Para resolver la ecuación x 4 α = 0 por el método de Newton y así calcular la raíz de P (x) = 0, hacer lo siguiente: d.1) Encontrar un intervalo [a, b] que sólo contenga a la mayor raíz real de esta ecuación y en donde se verifiquen las hipótesis de la regla de Fourier. Sol : [2, 3]. d.2) Cuántas iteraciones son necesarias para obtener 25 cifras decimales exactas? Indicación: E n+1 1 k (ke 1) 2n, con k = máx f (x) 2 mín f en un (x) intervalo adecuado. Sol : 3 iteraciones (reducir el intervalo inicial al [2, 2.5]). d.3) Con una calculadora se ha obtenido β = 4 α = como mejor aproximación. Cuántas de las cifras decimales se podrían garantizar que coinciden con las de la verdadera raíz de P (x)? Sol : A lo más de 2 que son las que tenía el valor de α. Ejercicio 1.16 a) Dado el polinomio P (x) = x 3 7x x 26, utilizar una sucesión de Sturm para comprobar que P (x) = 0 sólo tiene una raíz real positiva y que se encuentra en el intervalo [3, 4].

18 18 Álgebra Numérica b) Justificar la convergencia del método de Newton para aproximar la raíz real de la ecuación P (x) = 0 contenida en el intervalo [3, 4]. Realizar dos iteraciones del método y dar una cota del error de la aproximación obtenida. Se trata de un problema bien o mal condicionado? Razonar la respuesta. Sol : x 2 = , ε La derivada de P (x) oscila de 5 a 12, por lo que está bien condicionado. Ejercicio 1.17 Queremos aproximar las raíces de la ecuación (5 x)e x = 5. a) Probar, gráficamente, que existen dos soluciones, una es x = 0 y la otra x = α se encuentra en el intervalo [1, 5]. Aproximarla realizando dos pasos del método de la Regula falsi. Sol : x 2 = b) Es posible aproximar α aplicando ( ) un método de iteración funcional 5 + xe x sobre la función ϕ 1 (x) = ln partiendo de cualquier punto del 5 intervalo I = [1, 5]? Justifica tu respuesta. Sol : No. Sólo en [1, ln 5] c) Y sobre la función ϕ 2 (x) = 5 5 partiendo de cualquier punto del ex intervalo I = [1, 5]? Justifica tu respuesta. Sol : No. Sólo en [ln 5, 5] d) Y sobre ϕ 2 (x) en I = [2, 5]? Justifica tu respuesta. Sol : Sí.