Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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1 Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos a y calculamos los valores que toma la respectiva función Para f ( ) :,9,99,999,00,0, f () 0,6 0,960 0,99600,0000,00, Tanto para valores menores que como para mayores que (en ambos casos próimos a ), la función toma valores muy próimos a (Véase la figura adjunta) En este caso, ( ) Observa que la función está definida en y que el ite en ese punto coincide con su valor de definición Para g ( ) ENT[ ] (La parte entera de se define como el número entero inmediatamente menor o igual a ) :,9,99,999,00,0, g ()? Para valores cercanos y menores que, la función toma el valor ; para valores cercanos y mayores que, siempre vale (Véase la figura adjunta) En este caso, ENT[ ] no eiste Observa que la función está definida en y sin embargo no tiene ite en ese punto Para h ( ) :,9,99,999,00,0, h () ? Para valores cercanos y menores que, la función toma valores grandes y negativos; para valores cercanos y mayores que, la función toma valores cada vez más grandes (Véase la fig) En este caso, no eiste Observa que la función no está definida en y que tampoco tiene ite en ese punto

2 Para i ( ) :,9,99,999,00,0, i () 0,56 0,506 0,5006 0,5 0,99 0,9 0,9 Para valores próimos y menores que, la función se acerca cada vez más a 0,5; y lo mismo hace para valores próimos y mayores que (Véase la figura adjunta) En este caso, 0, 5 Observa que la función no está definida en y sin embargo tiene ite en ese punto Definición de ite de una función en un punto A la vista de los ejemplos anteriores, concluimos: () Para la eistencia del ite de una función en un punto a no importa que la función esté o no definida en ese punto () Lo que importa son los valores que toma la función en un entorno de ese punto a () Eistirá el ite, y su valor será l, cuando todos los puntos próimos a a se transforman, mediante, la función en puntos próimos a l Esto es, si está cerca de a, entonces f ( ) está cerca de l (Véase la figura adjunta) Con más precisión: () Eistirá el ite de f (), cuando a, y su valor será l, si para cualquier entorno de l, E ε (l), puede encontrarse otro entorno de a, E δ (a), de manera que todos los valores de E (a) se transforman, mediante f (), en puntos de E ε (l) δ O con símbolos: a f ( ) l ε > 0, δ > 0, 0 < a < δ f ( ) l < ε Esta epresión se lee así: ite de f () cuando tiende a a es igual a l, equivale a decir que para todo número épsilon mayor que cero, eiste un número delta, también mayor que 0, tal que para todo que cumpla que su diferencia con a, en valor absoluto, sea mayor que 0 y menor que delta, se cumple que la diferencia entre f () y l, también en valor absoluto, es menor que el número épsilon elegido La condición, 0 < a, indica que no toma el valor a, pues en tal caso a 0 La condición, La conclusión, a < δ, indica que E (a) f ( ) l < ε, significa que f ( ) E ( l) δ ε

3 Límites laterales En la definición de ite no se distingue entre las posibilidades < a o > a, pues al escribir 0 < a < δ resulta indiferente: lo único que se pide es que este próimo a a No obstante, algunas veces conviene distinguir si a por la izquierda (siendo < a), que se escribe a ; o si a por la derecha (siendo > a), denotado por a Esta distinción da lugar al estudio de los ites laterales A f () se le llama ite lateral por la izquierda a A f () se le llama ite lateral por la derecha a Observación: Este estudio tiene interés cuando: La función está definida a trozos y se quiere calcular el ite en alguno de los puntos de unión de los diferentes trozos La función tiene asíntotas verticales y se quiere calcular la posición de la curva respecto a ellas Pues bien, para que eista el ite de una función en un punto es necesario que eistan los limites laterales y que sean iguales Esto es, para que eista f ( ) l es necesario que a f ( ) f ( ) l a a, si < Para estudiar el ite de la función f ( ) en el, si punto es necesario considerar los ites laterales Por la izquierda: f ( ) Por la derecha: f ( ) ( ) Como ambos ites coinciden, eiste el ite y vale Algunas propiedades de las operaciones con ites Si f ( ) A y g( ) B, con A y B finitos, entonces: a a ) ( f ) ± g( ) ) f ( ) ± g( ) A ± B a ( ; a a a a a f ( ) f ( ) a A ) a g( ) g( ), (B 0) B ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) A B ) Si ( ) > 0 a g ( ) B f, ( f ( ) )) ( f ( ) ) a A 5) Si ( ) > 0 a a g ( ) f, ( log f ( ) ) log ( f ( ) ) log A a b b a ; b ) El ite de una suma es igual a la suma de los ites ) El ite de un producto es igual al producto de los ites ) El ite de un cociente es igual al cociente de los ites ) El ite de una potencia es igual a la potencia de los ites 5) El ite de un logaritmo es igual al logaritmo del ite Estas propiedades se aplican en ambos sentidos (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), según convenga

4 Cálculo práctico de ites En la práctica, la mayoría de los ites se hacen aplicando las propiedades anteriores Cuando esas propiedades sean insuficientes se recurrirá a otras reglas algebraicas de cálculo: simplificaciones, etracción de factor común, operaciones con potencias y raíces (En otro tema aplicaremos la conocida regla de L Hôpital, dando así entrada al cálculo infinitesimal) Casos inmediatos Como sabes, si f () es una función usual (polinómicas, racionales, logarítmicas, etc) y está definida en el punto a, suele cumplirse que: f ( ) f ( a) Esto es: para calcular el ite se sustituye en la función el valor al que tiende la Así, ( ) a Igualmente: a) ; b) ; 5 0 c) ; d) (ln( )) ln( ) ln 7 0 Esto no es así en el caso, pues la función f ( ) no está definida en 0 Observación: Las funciones que cumplen que f ( ) f ( a), se llaman continuas a Límites de funciones racionales cuando a Indeterminación 0 0 Las funciones racionales son de la forma ) f ( ), siendo ) y Q() polinomios El único Q( ) caso de ite no inmediato es cuando da lugar a la indeterminación 0 0 Esto es, cuando a) 0 y ) 0 Q(a) 0, pues Q( ) 0 a Este caso puede resolverse simplificando la epresión inicial, pues si a) 0 y Q(a) 0, se verifica que ) ( a) P ( ) y Q( ) ( a) Q ( ), de donde el cociente ) ( a) P ( ) P ( ) Q( ) ( a) Q ( ) Q ( ) ) 0 ( a) P ( ) P ( ) Luego: a Q( ) 0 a ( a) Q ( ) a Q ( ) Si el último ite no resulta inmediato se aplica nuevamente la regla anterior Observación: El teorema del factor dice: Para un polinomio ), si P ( a) 0 a es un factor de ) ) ( a) P ( ) El polinomio P ( ) se obtiene dividiendo El, que no resulta inmediato, puede resolverse así: 0 0 ( )( )

5 5 El caso 0 k k k Cuando al hacer cualquier ite aparezca la epresión (esto es, f ( ) ), se pondrá que el 0 a 0 valor de ese ite es infinito Esto significa que aunque el ite no eiste, el valor de la función se hace tan grande como se quiera, infinitamente grande En estos casos es conveniente estudiar los ites laterales en el punto, pues con frecuencia se obtienen signos distintos para el infinito Observación: Cuando f () a, la función f () tiene una asíntota vertical en a: la recta a 5 7 a) También 0 0 b) Igualmente, para h ( ), que no está definida en, cuando se tiene que 0 Si en este caso se estudian los ites laterales se tiene: por la izquierda: por la derecha: El signo o se decide por los signos del numerador y denominador Geométricamente, estos resultados indican que la curva asociada a la función se va hacia por la izquierda de ; y hacia por la derecha de (Esto equivale a decir que la recta es una asíntota vertical) Observación: Es frecuente confundir los casos k 0 y 0 k El primero vale 0: k 0 0 entre algo 0 La indeterminación 0 0 en funciones con raíces En las funciones con radicales, cuando se presenta la indeterminación 0 0 puede resolverse de dos formas: Descomponiendo en factores y simplificando, como para las funciones racionales Multiplicando y dividiendo la función dada por la epresión conjugada de alguno de sus términos A continuación se opera y simplifica Observaciones: Como las funciones con radicales de índice par no están definidas para valores negativos del radicando habrá que tenerlo en cuenta al plantear y resolver los ites Así, por ejemplo el sólo puede plantearse por la derecha de, pues f ( ) no está definida cuando Por tanto, este ite habría que plantearlo así: y su valor sería

6 6 a) 0 0 b) Para la misma función, el ite ( )( ) sólo puede calcularse por la derecha, cuando 0 ( )( ) ( ) c) 0 ( )( ) ( )( )( ) Límite de una función cuando Antes de estudiar estos ites conviene recordar algunos resultados de las operaciones relacionadas con el infinito ; ; [ ] es indeterminado ± k ; ± k ; ( k) ; ( k) ; ; ( ) ; / (± k) ± ; ±k / (± ) 0; (k) ; (k) 0; [ / ] es indeterminado En todos los casos k indica un número positivo fijo ( k, negativo); y cuando se escribe sin signo, se supone positivo Límite finito de una función cuando La función f ( ) tiende a cuando 8 Efectivamente, si 000, f(000),98; si 0000, f(0000),9995 Se escribe, 8 La definición precisa es la siguiente: f ( ) l ε > 0, k (grande) > k f ( ) l < ε (Para valores de > k la función no sale de la franja marcada) Si la definición es análoga: f ( ) l ε > 0, k (grande y negativo) < k f ( ) l < ε Observación: Si f ( ) l se concluye que la recta y l es una asíntota horizontal de la curva y f () Como se ha visto anteriormente, 8 de f ( ) 8 Por tanto, la recta y es una asíntota horizontal

7 7 Límite infinito de una función cuando La función f ( ) toma valores cada vez más grandes cuando Efectivamente, si 00, f(00) 0,0; si 000, f(000) 00,00 Se escribe: La definición precisa es la siguiente: f () p (grande), q (grande) > q f ( ) > p El resultado de estos ites muchas veces resulta inmediato, pues para calcularlos basta con sustituir y aplicar las operaciones con el infinito ( 5 7) ( 5 7 / b) ( 5) a) ( ) c) (ln( 8)) d) Límites de funciones racionales cuando Indeterminación Si ) y Q() son dos polinomios, al calcular ) se obtendría la epresión indeterminada Q( ) ± ; no obstante se resuelve muy fácilmente, pues su valor depende de los grados de ) y Q(): ) Si grado de ) > grado de Q(), ± ± Q( ) ) an Si grado de ) grado de Q(),, siendo a n y b n los coeficientes ± Q( ) bn principales de ) y Q(), respectivamente ) Si grado de ) < grado de Q(), 0 ± Q( ) Un procedimiento para justificar estos resultados consiste en dividir el numerador y el denominador de la función dada por la mayor potencia de presente en la epresión, como se hace el ejemplo b) siguiente a) 0 00 b) 7 5 b) c) 0

8 8 La indeterminación en funciones con raíces En las funciones con radicales, la indeterminación puede resolverse aplicando la comparación de grados, teniendo en cuenta que al aparecer raíces los eponentes pueden ser fraccionarios a) b) La indeterminación El número e El número e se define como el ite, cuando, de la función f ( ) Esto es: e Aplicando esta definición y las propiedades algebraicas de los ites, pueden darse otros resultados relaciones con el número e Por ejemplo: ) k k k e ) e ) k p e p a) e b) ( ) ) /( /( ) ( ) e Comportamiento de otras funciones en el infinito El ite cuando de las funciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas se calcula como sigue Funciones eponenciales Además de de las propiedades usuales (de la potenciación) se emplea la siguiente: Si a g ( ) f ( ) a, con a > 0, entonces: g ( ) g ( ) a También es necesario recordar cómo son las gráficas de las funciones eponenciales a) e e c) e e 0 b) 0 d) e e 0 ±

9 9 Funciones logarítmicas La propiedad particular que puede aplicarse aquí es: ( log a f ( ) ) log a ( f ( ) ) 0 0 a) log log log0 5 5 b) ln ln ln(0 ) ± ± Funciones trigonométricas En ningún caso eisten los ites en el infinito Esto es: sin, cos y tan no eisten, ya que dichas funciones son periódicas (repiten indefinidamente su comportamiento) Para funciones compuestas hay que determinarlo en cada caso sin a) 0, pues sen ± b) cos no eiste Como 0 cos, ± ± f ( ) cos tomará valores entre 0 y Observación: Como se dijo en su momento, la función f ( ) tan tiene un comportamiento π asintótico cuando kπ, k Z, cumpliéndose que tan Por tanto, las rectas π π kπ son asíntotas verticales de la función kπ La indeterminación de la forma Para terminar este apartado de ites vamos a resolver la indeterminación [ ], tanto cuando a como cuando El procedimiento general consiste en operar la epresión inicial hasta transformarla en otra forma 0 indeterminada del tipo o Estas otras formas se resolverían por cualquiera de los métodos vistos anteriormente a) 9 0 es una forma indeterminada del tipo [ ] Para transformarla se opera la epresión dada: se hace la resta Así: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 0 ( )( ) b) ( ) ( )( ) [ ] 6 (dividiendo por )

10 0 Aplicación del cálculo de ites a la determinación de las asíntotas de una función Las asíntotas de una curva son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas f() f() b f() f() a a Asíntotas verticales Asíntota horizontal Asíntota oblicua Los criterios para determinar las asíntotas de una curva son: La recta a es una asíntota vertical de la curva y f () si f () a La recta y b es una asíntota horizontal de la curva y f () si f ( ) b La recta y m n es una asíntota oblicua de la curva y f () si: f ( ) m, (m 0 y m ); ( f ( ) m) n, (n ) a) Como se dijo más atrás, la función h ( ), que no está definida en, tiene una asíntota vertical en ese punto, pues 0 También tiene otra asíntota horizontal, la recta y 0, ya que 0 ± b) Las funciones eponenciales suelen tener asíntotas horizontales En concreto, f ( ) e tiene una asíntota horizontal hacia, pues e e 0 ) Un caso particularmente frecuente se da con las funciones racionales: con f ( ) Estas Q( ) funciones: pueden tener asíntotas verticales en las raíces del denominador: en las soluciones de Q ( ) 0 tienen asíntotas horizontales si el grado de P () es menor o igual que el grado de Q () tienen una asíntota oblicua siempre que el grado de P () grado Q () La función f ( ) tiene dos asíntotas, una vertical (la recta ) y otra oblicua, la recta y m n, siendo: f ( ) m ; n ( f ( ) m) La asíntota es la recta y

11 Continuidad de una función en un punto Una función es continua en un punto cuando el ite de la función en dicho punto es igual al valor de la función en él La definición correcta es la siguiente: f () es continua en el punto a f ( ) f ( a) Esto implica que: La función f () está definida en el punto a Esto es, se sabe cuánto vale f (a) Eiste el ite en a: eiste f ( ) l a a El valor del ite coincide con f (a) Esto es, f ( ) l f ( a) De las cuatro funciones siguientes, sólo la primera es continua en el punto a a Discontinuidad evitable Cuando una función no es continua de dice que es discontinua La causa más común de la discontinuidad está en que la función no esté definida en un punto Así, por ejemplo, la función f ( ) es discontinua en y en ( )( ) Hay casos en los que la discontinuidad es evitable Así sucede para las funciones dadas en las gráficas () y () de más arriba Una función f() tiene una discontinuidad evitable en el punto a cuando tiene ite en ese punto En el caso () la discontinuidad se evita definiendo f ( a) l En el caso () la discontinuidad de evita (imponiendo) redefiniendo f ( a) f ( ) En el caso () la discontinuidad no puede evitarse, pues la gráfica da un salto en el punto a La función f ( ) es discontinua en y en, pues en esos dos puntos no está definida Si se hace el ite en esos puntos, se tiene: 0 ; 0 0 ; ( )( ) En el primer caso, en, no eiste ite; por tanto, la discontinuidad no puede evitarse En cambio, en sí puede evitarse Se evita definiendo aparte f ( ) a

12 Continuidad lateral La función representada en la grafica () puede considerarse continua por la derecha del punto a En cambio, no es continua a su izquierda Una función f () es continua por la derecha en el punto a (en a ) si está definida (se sabe el valor de f (a) ) y el ite coincide con ese valor Esto es, cuando f ( ) f ( a) Una función f () es continua por la izquierda en el punto a (en a ) si está definida (se sabe el valor de f (a) ) y el ite coincide con ese valor Esto es, cuando f ( ) f ( a) a) La función f ( ) no es continua en, pues en ese punto no está definida En consecuencia, tampoco es continua por ninguno de los lados del punto b) La función f ( ) ENT[ ] es discontinua para todo Z, pues la función no tiene ite para ningún valor entero de No obstante, la función es continua por la derecha de todo Por ejemplo, por la derecha de, se cumple que ENT[ ] ENT[] En cambio, no es continua por la izquierda de cualquier entero Por ejemplo, para el mismo, por su izquierda se cumple que ENT[ ] ENT[] Propiedades de las funciones continuas Aunque sea de manera escueta conviene indicar algunas propiedades relacionadas con las operaciones de las funciones Estas propiedades son: Si f () y g() con continuas en a, entonces: f ( ) ± g( ) es continua en a f ( ) g( ) es continua en a f ( ) es continua en a si f ( a) 0 f ( ) g( ) es continua en a cuando g ( a) 0 Las propiedades anteriores permiten concluir que la mayoría de las funciones usuales son continuas en todos los puntos de su dominio Así, sin ser ehaustivo puede afirmarse que: n () Las funciones polinómicas, f ( ) a a a 0 n, son continuas siempre, para todo número real n a0 a an () Las funciones racionales, f ( ) son continuas en todos los puntos de su m b b b 0 m 0 b m b m dominio; esto es, siempre que b 0 () Las funciones con radicales, trigonométricas, logarítmicas y eponenciales son continuas en todos los puntos de su dominio () Las funciones definidas a trozos serán continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de unión de los intervalos; para esto último es necesario que coincidan los ites laterales a a

13 Para qué valores de a las funciones, f ( ) a, si a si > a son continuas? El único punto que presenta dificultades es a La función será continua en ese punto (que pueden ser varios, lo que eplica el plural funciones del enunciado), cuando los ites laterales coincidan con f(a), que vale a Por la izquierda: f ( ) a a a Por la derecha; f ( ) ( a ) a a a Como deben ser iguales: a a a a 0 a o a, si Si a, la función es: f ( ), si >, si Si a, la función es: f ( ), si > Las gráficas de estas funciones son las dibujadas al margen

14 Continuidad en un intervalo El concepto de continuidad en un punto puede etenderse a un intervalo finito o infinito, abierto o cerrado Esto permitirá aplicar algunos teoremas importantes propios de las funciones continuas Definición: Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) cuando es continua para todo punto c (a, b) La función f ( ) cosec es continua en el intervalo (0, π) sen (Figura adjunta) Nota: La función cosec es discontinua en todos los puntos que anulan a sen ; esto es, en kπ Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] cuando es continua para todo punto c (a, b) y además es continua en a por la derecha y en b por la izquierda La función f ( ) sen es continua en el intervalo [0, π] (Fig adjunta) Nota: La función sen es continua en todo R Teorema (de Bolzano) Asegura que si una función continua en un intervalo cerrado toma signos distintos en sus etremos, entonces corta al eje en algún punto de ese intervalo Teorema de Bolzano: Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en sus etremos ( f ( a) < 0 < f ( b) o f ( a) > 0 > f ( b) ), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) 0 Esto es, si la función es negativa en a ( f ( a) < 0 ) y positiva en b ( f ( b) > 0 ), entonces se anula en algún punto c entre a y b ( f ( c) 0 ) Geométricamente, esto significa que si f ( a) < 0 y f ( b) > 0, entonces la gráfica de f () corta al eje OX en un punto, al menos (Análogamente si f ( a) > 0 y f(b) <0) Desde el punto de vista algebraico, este teorema asegura que si f ( a) < 0 y f ( b) > 0, entonces la ecuación f ( ) 0 tiene una solución entre a y b Esa solución será el punto c cuya eistencia afirma el teorema a) La función f ( ) es continua en todo R, y en particular en el intervalo [, ] Como f ( ) < 0 y f ( ) 8 6 > 0, puede asegurase que ésa función toma el valor 0 para algún número comprendido entre y Esto es, eiste un número c, mayor que y menor que, tal que f ( c) 0 O sea, eiste un número que cumple la igualdad 0 c c ; o, lo que es lo mismo, la ecuación 0 tiene una solución que está entre y Otra cosa es encontrar el valor eacto de esa solución, pues salvo casos concretos no puede encontrarse; aunque, como veremos en las aplicaciones de estos teoremas siempre se puede hallar una buena aproimación

15 5 b) La función f ( ) cos corta al eje OX en el intervalo [0, ] pues: () es continua en todo R, y en particular en el intervalo dado; () f ( 0) 0 cos0 < 0 y f ( ) cos > 0, pues cos < Por tanto, la función verifica las hipótesis del teorema de Bolzano y, en consecuencia, eiste un punto c (0, ) tal que f ( c) 0 En ese punto la función f ( ) cos corta al eje OX Teorema (de Weierstrass) Asegura que toda función continua en un cerrado tiene un máimo y un mínimo (absolutos) en ese intervalo Teorema: Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces eiste un punto c [a, b] tal que f ( c) M f ( ), para todo perteneciente a [a, b] El significado geométrico de este teorema es que la gráfica de f alcanza el máimo en c y ese máimo vale M Análogamente, eiste un punto d [a, b] tal que f ( d) m f ( ) para todo [a, b]; que equivale a decir en d la función toma el valor mínimo a) La función f ( ) es continua en el intervalo [0, ] (y en todo R) Por tanto eiste un punto de ese intervalo en el cual f ( ) alcanza su valor máimo; y otro punto en el que toma el valor mínimo En este caso, al tratarse de una parábola es fácil encontrar esos puntos El máimo lo toma en y vale ; el mínimo, en y vale b) La función f ( ) cos( e ) es continua en el intervalo [, ] Por tanto, eiste un punto de ese intervalo en el cual esa función alcanza su valor máimo En este caso resulta más difícil encontrar dicho valor No obstante, se sabe que si e kπ, con k Z, la función vale : el máimo para el coseno; y cuando e ( k )π, la función vale, el mínimo para el coseno En el primer caso, para k se tiene: e π,8 máimo En el segundo caso, para k 0: e π, mínimo