FUNCIONES Y GRÁFICAS.

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1 FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones conocidas. Funciones definidas a trozos. Concepto de función Una función es, en primera aproimación, una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Una función puede darse por medio de una fórmula matemática, una gráfica o una tabla de valores. Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto A de números reales en el conjunto de los números reales. Esta definición de función se debe a Dirichlet ( ) quien la introdujo en 837. La función f de A en R se simboliza: f : A R f () lo que indica que al elemento genérico de A le corresponde el número real f(). El símbolo f() fue utilizado por primera vez por el matemático suizo Leonardo Euler ( ). Al conjunto A se le llama dominio, conjunto de definición, o campo de definición de f, y al conjunto de los números reales cuyos elementos son los transformados, mediante f, de los elementos de A se le llama imagen de f. La imagen de f se simboliza por f(a). Al elemento genérico A se le llama variable independiente, y al elemento genérico de f(a) yf() se le suele llamar variable dependiente. La gráfica o curva de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación yf(). Estudio cualitativo de funciones - Funciones lineales se llaman así a las que corresponden a la forma ymn La representación de una función lineal es una línea recta, m es el coeficiente angular y n la ordenada en el origen, que corresponde al valor que toma la función para 0. - Función cuadrática es la función que tiene como epresión ya bc donde a,b y c son números reales y a es distinto de 0. La representación de esta función en un sistema de ejes cartesianos se llama parábola. Para representar funciones de la forma y q basta desplazar verticalmente el vértice de la parábola y q unidades hacia arriba si q es positivo, o hacia abajo si q es negativo Para representar funciones de la forma y(-p) basta desplazar horizontalmente el vértice de la parábola y p unidades hacia la derecha si p es positivo, o hacia la izquierda si p es negativo. a>0 a<0

2 - Función eponencial. La epresión general de una función eponencial es yk a donde k y a son números reales fijos con a positivo. La constante a se llama base de la función eponencial. Si a> la función crece a medida que aumenta Si a< la función decrece a medida que aumente ya a> ya a< Todas las funciones eponenciales pasan por P(0,) ya que f(0) - Funciones logarítmicas. La etraña palabra logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por le matemático inglés John Napier. Logaritmo en base a de un número N es el eponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número: Log a N Na La representación de la función logarítmica es la siguiente: Su dominio es el conjunto de los números reales positivos. - Función seno y coseno. Las dos funciones son periódicas. El recorrido de cada una de ellas es [-,]. Son continuas en todo su dominio. Ysen ycos Dominio (D) de las distintas funciones: a) Función polinómica: definida para todo valor real yp() b) Función racional: cociente de dos funciones polinómicas, eiste para todo valor de que no anule el denominador. c) Función irracional: y n f() - Si n es impar: tiene el mismo dominio que f(). - Si n es par: eiste sólo para aquellos valores en los que f() eiste y es positiva o nula.

3 f() d) Función eponencial: y a eiste en los puntos donde eista f(). e) Función logarítmica: y log a f() eiste sólo para los valores de que hacen f()>0. f) Funciones seno y coseno: y senf(), y cosf() eiste para los mismos valores que f(). Funciones conocidas. a) Función a rama o función a trozos. Son funciones definidas de la siguiente forma: g() si, < a f() h() si, a b) Función valor absoluto. Se simboliza por la epresión siguiente. y. La representación gráfica de esta función es la Cálculo de ites. - Propiedades de los ites: º- Si una función tiene ite en un punto, éste es único. º- Si los ites laterales de una función en un punto son distintos, entonces la función no tiene ite en él. 3º- Sea f() y g() dos funciones tales que: f() L g() L entonces: a a º- [f() ± g()] L ± L º- f() g() L L a a f() L 3º- L 0 4º- (f() ) g() L a 5º- f() n n n ( f() ) n ℵ - {0} a a n f() n ℵ - {0} 6º- ( logb f()) logb( f()) a a a a f() 7º- b b f() b R 8º- a a (f() ) a g() g() f() a a b R - Indeterminaciones. Las indeterminaciones que se producen en el cálculo de ites son las siguientes: 0,, 0, -,, 0 0, 0 0 3

4 En los casos en los que se produzca indeterminación, se procede a reducir dicha indeterminación transformando la epresión del ite mediante diversas estrategias: * Indeterminación : En este caso, generalmente, se resuelven estos ites dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia. Para hacer un ite en el que - se cambian de signo todos los términos del ite y pasa a tender a. * Indeterminación - : Si aparecen raíces, el ite se hace aplicando el método de la conjugada. Si no aparecen raíces, primero se opera y después hacemos el ite que queda, que generalmente es de la forma Ejemplo * Indeterminación 0 0 : Se resuelven descomponiendo en factores numerador y denominador. Hay casos en los que aparecen raíces y en ellos aplicamos también la conjugada. Ejemplo.- ( )( 3 ) 3 5 ( ) ( ) ( )( ) (0) 3 Hallamos los ites laterales: 3 3 ; 3 ( )( ) ( )( ) Idea intuitiva de continuidad. La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos ni interrupciones que rompan la gráfica. Una función real de variable real es continua en un punto "a" sí y solo sí : - eiste el valor de la función para a. - eiste el ite de f() cuando a. - f(a) f(). Discontinuidades. a Una función es discontinua en punto cuando no eiste ite en él o, eistiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo. a) Discontinuidad evitable. Una función es discontinua evitable en a cuando eiste ite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo. b) Discontinuidad de primera especie. 4

5 * Finita : se produce cuando los dos ites laterales son finitos y distintos. En este caso, se puede calcular el salto. S f() - f() a a - * Infinita : se produce cuando alguno o los dos ites laterales son infinitos. También se le llama asintótica. c) Discontinuidad de segunda especie. Se produce cuando no eiste algún ite lateral. En las tres gráficas que a continuación se presentan se dan los tipos de discontinuidad más importantes. D. evitable D. de º especie D. asintótica. EJERCICIOS.. Calcular los dominios de definición de las siguientes funciones: a) f() - 56 b) f() -6 c) f() ln( - 4) d) 3 f ( ) e) f ( ) e f) f ( ) sen. Representar la gráfica de las funciones f de R en R dadas por:,si, < a) f() 3,si, b) f() c) f() - 56 d) f() cos si, e) f(),si, < f) 4 -,si, < -,si, f(),si, - < < -,si, 3. Calcular los siguientes ites 5

6 a) c) b) 4 d) e) f) 6 8 g) 4 h) 0 i) j) Dada la función racional f ( ) se pide: a) Dominio de definición de f b) Estudiar la continuidad de la función. 5. Dibujar la gráfica y escribir las ecuaciones de una función real que cumpla lo siguiente: - sea continua en todos los puntos - sea lineal si <-4 - cuadrática en el intervalo [-4,4] - tienda a 0 cuando tiende a 6. Sea la función f ( ) 3 a) Representar la función b) Estudiar la continuidad de f() < < Representar la función siguiente: f ( ) < 3 < Estudiar la continuidad de f() y clasificar las discontinuidades si eisten. 8. Sea la función 3 f ( ) a 4 < 7 7 < 0 Determinar: 6

7 a) El valor de a para que f sea continua en 7 b) Dominio y recorrido de f c) La gráfica de f. 9. Dada la función 0 < f ( ) ( ) > a) Calcular el dominio y dibuja su gráfica b) Definir la función f en para que sea continua en ese punto. 0. Dada la función f() definida por: f ( ) a) Representa gráficamente la función f b) Estudia su continuidad. < 0 0 7