Gráfica de una función

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1 CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas.. Determinar sus intervalos de continuidad. 4. Determinar sus discontinuidades clasificarlas. Hallar sus asíntotas horizontales verticales. 6. Calcular su derivada averiguar dónde eiste. Hallar sus puntos críticos. Averiguar si tiene tangentes verticales. 7. Resolver las desigualdades f 0./ > 0 & f 0./ < 0. Determinar sus intervalos de monotonía. 8. Hallar sus máimos mínimos locales. 9. Hallar su segunda derivada sus raíces. Resolver las desigualdades f 00./ > 0 & f 00./ < 0, discernir dónde es cóncava dónde es convea la función. Hallar sus puntos de infleión. Evaluar la función la primera derivada en los puntos de infleión. canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I 0. Si es preciso: tabular algunos puntos algunas pendientes adicionales. Ejemplo 9.. Bosquejar la gráfica de la función f./ D. H. Dominio: por ser f una función polinomial su dominio es D f D R. Raíces: f./ D 0, f./ D D 0,. / D 0 ) D 0 D 0 D 0 ) o bien ) o bien D 0 D ) o bien ) D D 0 o bien D o bien D : Entonces f tiene raíces: r D, r D 0 & r D :9.. Paridad: f. / D. /. / D. /. / D C D. / D f./ : La función f es impar. Por lo cual su gráfica resultará simétrica con respecto al origen.. Intervalos de continuidad: Por lo mismo no tiene discon- Por ser f una función polinomial es continua en todo R. tinuidades. 4. Asíntotas verticales: Por ser continua en todo R, la función f no tiene asíntotas verticales.. Asíntotas horizontales: no tiene, pues lím f./ D lím!c!c. / D lím [!C )] D C : Además por ser impar) lím f./ D :! Comentario: el comportamiento de estos límites se conoce como ramas parábolicas de la función. 6. Derivabilidad: Por ser f una función polinomial, es derivable en todo R. De hecho f 0./ D 4 eiste para cada R f 0 es par) :

3 9. Bosquejo de la gráfica de una función 7. Monotonía: por el ejemplo 8..4 sabemos que La función f es creciente en los intervalos. ; La función f es decreciente en el intervalo Œ ;. 8. Puntos críticos: por el ejemplo 8..4 sabemos que Œ; C/. En D 0 eiste un punto crítico que no es ni máimo ni mínimo local. La función f tiene un máimo local estricto en el punto P. ; /. La función f tiene un mínimo local estricto en el punto Q.; /. 9. Concavidades: por el ejemplo 8.. sabemos que ) ) p p La función f es cóncava hacia arriba en los intervalos ; 0 ; C.0:707; C/. La función f es cóncava hacia abajo en los intervalos La función f tiene puntos de infleión, que son ; ) p 0; p ). ) ) p I p ; :74 ; I.0; 0/ & I ; :74 : Corroboramos que siendo I.0; 0/ un punto crítico al mismo tiempo un punto de infleión no es ni un máimo local ni un mínimo local. 0. Bosquejo de la gráfica de f./: r P I - p 0 «p f «p f p I I Q D f./ r Ejemplo 9.. Bosquejar la gráfica de la función g./ D H 4 C 4.

4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I. Dominio: por ser g una función racional su dominio es D g D R { C 4 D 0 } D R Ø D R a que C 4 > 0 para cada R : Raíces:. Paridad: Puesto que g./ D g. / D g./ D 4 C 4 D 0, 4 D 0, D 0 : 4. /. / C 4 D 4 C 4 D g. /, entonces g es una función impar. ) 4 D g./ : C 4. Intervalos de continuidad: Por ser g una función racional es continua en todo su dominio D g D R. 4. Asíntotas verticales: no tiene debido a que g no tiene discontinuidades.. Asíntotas horizontales: lím g./ D lím!! 4 C 4 D lím! ) 4 C 4 ) D lím! Entonces g tiene una asíntota horizontal que es la recta D 0 el eje ). 4 C 4 D 0 D 0 : 6. Derivabilidad: g 0./ D 4.4 /. C 4/ para cada R, g 0 es par) : 7. Intervalos de monotonía: por el ejemplo 8.. sabemos que La función g es creciente en el intervalo. ; /. La función g es decreciente en los intervalos. ; /.; C/. 8. Puntos críticos: por el ejemplo 8.. sabemos que La función g tiene un mínimo local estricto en el punto P. ; /. La función g tiene un máimo local estricto en el punto Q.; /. Por ser D 0 asíntota horizontal en ausencia de otros puntos críticos, tales valores etremos son globales. Por lo tanto el punto P es un mínimo absoluto el punto Q es un máimo absoluto. 9. Intervalos de concavidad: por el ejemplo 8.. sabemos que La función g es cóncava hacia arriba en los intervalos p ) ; 0 p ) ; C.

5 9. Bosquejo de la gráfica de una función La función g es cóncava hacia abajo en los intervalos La función g tiene puntos de infleión en I p ;.:46; 0:87/. ; p ) 0; p ). p ), I.0; 0/ e I p ; p ) 0. Bosquejo de la gráfica de g: Q I D g./ p I p I P. / Ejemplo 9.. Para la función f./ D, obtener: dominio, raíces paridad, intervalos de continuidad, asíntotas horizontales verticales, intervalos de crecimiento de decrecimiento, puntos críticos su. C / clasificación, intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo, puntos de infleión. Con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función. H. El dominio de f : D f D { R { } } f./ R D R. /. C / R D. Las raíces de f paridad: f./ D 0, D { R. C / 6D 0 } D D { R C 6D 0 } D { R 6D } D R f g :. /. C / D 0,. / D 0, D 0, D : La función f no es par ni impar, a que por ejemplo: f./ D 0 & f. / D 6 ) f. / f./ & f. / f./.. Intervalos de continuidad: Por ser f una función racional, es continua en todo su dominio D f D R f g; es decir, f es continua en los intervalos. ; /. ; C/.

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I 4. Asíntotas horizontales:. / lím f./ D lím!!. C / D lím D lím!! 4 C 4 4 C 4 C C D ) C C ) D lím! 4 C 4 C C D D : Entonces la recta D es una asíntota horizontal.. Asíntotas verticales: Ya que lím! por lo cual lím! ). / lím f./ D lím!!. C / D lím :! C. / D D & lím. C / D 0, entonces lím D C o bien ;!! ) C D C, no importando si! o bien! C. C Por lo anterior, la función tiene una discontinuidad esencial infinita en D recta D es la única asíntota vertical de f.. Por lo tanto, la 6. Intervalos de crecimiento decrecimiento: Debemos ver dónde Ya que Ya que f 0./ D d ) ) ) d D D d C C d C ) ). C /. / C C D D D C. C / C. C / ) 6. / D D C. C /. C / : 6. / 6. / > 0 dónde. C /. C / < / no está definido cuando C D 0, ecluimos el número D.. C / 6. / D 0 cuando D 0, ecluimos también el número D.. C / Los números ecluidos generan los intervalos. ; /,. ; /.; C/. Para saber el signo de f 0 en cada uno de los intervalos, se elige un valor de prueba se evalúa

7 7 9. Bosquejo de la gráfica de una función 7 f 0./ en dicho valor. Observe la siguiente tabla: Intervalo Valor de prueba f 0./ f es estrictamente < < D 4 > 0 creciente < < D 0 < 0 decreciente < < C D > 0 creciente /,.; C/ es estricta- Por lo tanto f es estrictamente creciente en los intervalos. ; mente decreciente en el intervalo. ; /. 7. Puntos críticos su clasificación: f 0./ D 0, 6. /. C / D 0, D I entonces f tiene un punto crítico en D. Ya que para < <, la función f es decreciente para > es creciente; entonces por el criterio de la primera derivada) f tiene en D un mínimo local estricto. Las coordenadas de este punto crítico son.; f.// D.; 0/. 8. Concavidad: f 00./ D d d 6. /. C / D 6. C /. /. C / Œ. C / D 6. C /. C /. / D 6. C / Œ. C /. / D. C / 6. C / 6 6. C C 6/ 6. C 7/ D D ). C / 4. C / 4 ) f /./ D. C / I 4 Debemos ver dónde 6.7 / 6.7 / > 0 dónde. C / 4. C / < 0. 4 Observando que para 6D el denominador. C / 4 siempre es positivo por el eponente par), podemos afirmar que el signo de f 00./ depende eclusivamente del signo del factor.7 /. 7 > 0, 7 >, < 7 I 7 < 0, 7 <, > 7 : D

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Entonces, 6.7 /. C / > 0 para < 7 & 6D : /. C / < 0 para > 7 4 : Por lo tanto: La función f es cóncava hacia arriba en los intervalos. ; La función f es cóncava hacia abajo en el intervalo 9. Puntos de infleión: ) 7 ; C. / ; 7 ). Debido a que en D 7 eiste un cambio de concavidad a que la función f es continua ahí, podemos afirmar que f tiene en D 7 un punto de infleión. Las coordenadas de este punto )) de infleión son ; f D ; ) Bosquejo de la gráfica: Con los elementos obtenidos, un bosquejo de la gráfica de f./ es el siguiente D f./ D 4 7 En D el mínimo local resulta ser mínimo absoluto. D Ejemplo 9..4 Dada la función definida por f./ D, determinar: dominio, raíces paridad; intervalos de continuidad tipo de discontinuidades; asíntotas verticales horizontales; intervalos de crecimiento de decrecimiento; máimos mínimos locales; intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo, así como los puntos de infleión. A partir del análisis anterior, hacer un esbozo de la gráfica de f.

9 9 9. Bosquejo de la gráfica de una función 9 H Se tiene:. Dominio:. Raíces:. Paridad: D f D { R 0 } D { R } D R f ; g : f./ D 0, D 0, D 0, D 0 : f. / D. /. / D D f./ : La función f es par por lo cual su gráfica es simétrica respecto al eje. 4. Intervalos de continuidad tipo de discontinuidades: Por ser f una función racional, es continua en todo su dominio. Es decir, f es continua en los intervalos. ; discontinuidades en D en D. Veamos ahora lím! f./ & lím! f./. /,. ; /.; C/. Esto implica que f tiene Cuando! ocurre que:! ;! 0 &! o bien C. Cuando! ocurre que:! ;! 0 &! o bien C. Entonces dado que lím f./ D o bien C & lím f./ D o bien C las discontinuidades son esenciales e!! infinitas.. Asíntotas verticales: Precisamos los límites infinitos anteriores determinando los límites laterales. lím! f./ D lím! I 0 < < ) 0 < < ) > 0 ) > 0 ) lím! lím f./ D lím! C! C I D CI > ) > ) < 0 ) < 0 ) lím! C D : Luego, la recta D es una asíntota vertical. Por ser f una función par, su gráfica es simétrica respecto al eje. Utilizando este hecho se puede afirmar que lím f./ D, lím f./ D C además que la recta D es!! C también una asíntota vertical.

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I 6. Asíntotas horizontales: lím f./ D lím!c!c D lím ) D!C D lím!c D 0 D ) lím!c f./ D : De nuevo, por simetría con respecto al eje, se tiene que lím f./ D.! Por lo tanto f tiene una sola asíntota horizontal que es la recta D. 7. Intervalos de crecimiento decrecimiento: f 0./ D d ) D. /. / D C I d. /. / f 0./ D. / : Notando que siendo 6D que. / > 0, podemos asegurar que f 0./ > 0 para > 0 que f 0./ < 0 para < 0. Entonces, f es estrictamente creciente en los intervalos.0; /.; C/, es estrictamente decreciente en los intervalos. ; /. ; 0/. 8. Máimos mínimos locales: f 0./ D 0, entonces en D 0 se tiene un punto crítico.. / D 0, D 0, D 0 I Debido a que f es decreciente para < 0 creciente para > 0, por el criterio de la primera derivada se puede asegurar que f tiene en D 0 un mínimo local estricto. Ya que f.0/ D 0 0 D 0 9. Intervalos de concavidad: f 00./ D d d f 0./ D d [ ] D d. / D 0, las coordenadas del punto mínimo local son Œ0; f.0/ D.0; 0/. D. /./. /. / Œ. / D. / C 8. /. / 4 D D. /Œ. / C 4. / 4 D. C /. / : Notando que. C / > 0 para cada R, podemos asegurar que el signo de f 00./ es el de. /, que es el mismo de. f 00./ > 0, > 0, >,, j j <, < < :

11 9. Bosquejo de la gráfica de una función Entonces, f 00./ > 0 en el intervalo. ; /. Luego, f 00./ < 0 en. ; f 00./ < 0, < 0, <,, j j >, < o bien > : /.; C/. Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en el intervalo. ; / cóncava hacia abajo en los intervalos. ; /.; C/. 0. Puntos de infleión: Eisten cambios de concavidad en D en D. Pero debido a que f no está definida en dichos puntos, f no tiene puntos de infleión. Nótese que f 00./ no tiene raíces.. Un bosquejo de la gráfica de f es el siguiente: D D D f./ 0 D R f D. ; / Œ0; C/. Ejemplo 9.. Dada la función definida por f./ D.4 / =, obtener: dominio, raíces, paridad, intervalos de continuidad, discontinuidades su clasificación, asíntotas verticales horizontales, intervalos de crecimiento de decrecimiento; puntos críticos su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo; puntos de infleión un bosquejo de la gráfica. H. Dominio: D f D R.. Raíces: f./ D 0,.4 / D 0, D 0 & D 4 :. Paridad: f no es par ni impar pues f./ f. / D.4 C /. 4. Intervalos de continuidad: por ser producto de funciones continuas en R, f es continua en R por lo que no tiene discontinuidades ni asíntotas verticales.

12 Cálculo Diferencial e Integral I. Asíntotas horizontales: tampoco tiene asíntotas horizontales pues lím f./ D :! 6. Intervalos de crecimiento decrecimiento: Derivamos f./ D.4 / = D 4 = 4= I f 0./ D 4 = 4 = D 4 = = ) D 4 = Primero resolvemos la ecuación f 0./ D 0, para encontrar sus raíces f 0./ D 0, 4 ) D 0, D 0, D : = Luego ecluimos D 0 a que f 0.0/ no eiste así obtenemos los intervalos. ; 0/,.0; /.; C/. En el siguiente cuadro se puede apreciar el signo de f 0./ para un valor de prueba dentro de un intervalo. Con esto obtenemos el signo de la primera derivada dentro de dicho intervalo por lo tanto el tipo de monotonía ahí. ) : Intervalo Valor de prueba f 0./ f es estrictamente < < 0 D 0 < < D 8 < < C D 8 8 > 0 creciente 4 > 0 creciente 7 < 0 decreciente Entonces, la función f es estrictamente creciente en el intervalo. ; / estrictamente decreciente en el intervalo.; C/. Esto es claro a que el signo de f 0./ es el de. / pues 4 7. Puntos críticos su clasificación: > 0 siempre. Por el inciso anterior se sabe que: f 0./ D 0 en D ; que la función f es creciente en el intervalo.0; / que es decreciente en el intervalo.; C/. Entonces, por el criterio de la primera derivada, la función f tiene en D un máimo local estricto. Las coordenadas de dicho punto son Œ; f./ D.; /.

13 9. Bosquejo de la gráfica de una función 8. Intervalos de concavidad: f 00./ D 4 d ) = = D 4 ) d = = D D 4 9 C ) D 4 ) C : = = 9 = Primero resolvemos la igualdad f 00./ D 0 para determinar sus raíces f 00./ D 0, 4 ) C D 0, C D 0, D : 9 = Luego ecluimos D 0 a que f 00.0/ no eiste así obtenemos los intervalos. ; /,. ; 0/.0; C/. Intervalo Valor de prueba f 00./ f es cóncava hacia < < D 8 < < 0 D 0 < < C D 8 < 0 abajo 4 9 > 0 arriba 6 < 0 abajo /.0; C/ es cón- Entonces, la función f es cóncava hacia abajo en los intervalos. ; cava hacia arriba en el intervalo. ; 0/. 9. Puntos de infleión: La función f tiene cambios de concavidad en D en D 0; además es continua en dichos puntos. Por esto tiene puntos de infleión en D en D 0. Las coordenadas de dichos puntos de infleión son Œ ; f. / D. ; 6 p /. ; 7:6/ Œ0; f.0/ D.0; 0/. Es importante notar que en D 0 la función f es continua, no es derivable tiene un punto de infleión. De hecho tiene tangente vertical, pues: f 0 f.h/ f.0/.0/ D lím D lím.4 h/h!0 h!0 h D lím!0 4 h h D ) 4 D C : 0 C 0. Un bosquejo de la gráfica es el siguiente:

14 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I D f./ 4 6 p El máimo local resulta ser el máimo absoluto R f D. ;. Ejercicios 9.. Soluciones en la página?? Gráfica de una función polinomial.. Sea la función f./ D. /. Encuentre los etremos relativos absolutos si tiene), los intervalos donde sea creciente donde sea decreciente, también calcule dónde es cóncava hacia arriba dónde es cóncava hacia abajo. Finalmente haga la gráfica.. Dada la función f./ D 4, determinar: a. Puntos críticos clasificación. b. Intervalos donde crece o bien decrece. c. Puntos de infleión. d. Los intervalos de concavidad. e. Gráfica de f.. Para la función h./ D 4 8 C 8, encuentre: a. Los intervalos en los cuales h es creciente o bien decreciente. b. Los valores máimos mínimos locales de h. c. Los intervalos de concavidad hacia arriba hacia abajo. Los puntos de infleión. d. Bosqueje la gráfica de esa función. 4. Sea la función f./ D C 6 C C. a. Encontrar los intervalos de monotonía de la función. Es decir, aquellos intervalos donde la función es creciente aquellos donde es decreciente.

15 9. Bosquejo de la gráfica de una función b. Encontrar los intervalos de concavidad de la función. Es decir, aquellos intervalos donde la función es cóncava hacia abajo aquellos donde es cóncava hacia arriba. c. Hacer un bosquejo de la gráfica de la función.. Para la función f./ D. 4/, determine: a. Los intervalos de crecimiento los de decrecimiento. Los etremos relativos. b. Los intervalos de concavidad hacia arriba los de concavidad hacia abajo. Los puntos de infleión. c. La gráfica. 6. Considere la función f W R! R definida por f./ D 6 6 C 4 C. a. Determinar dominio, intervalos de continuidad lím f./, lím f./. No determine!!c las raíces de f.) b. Determine los puntos críticos los intervalos de monotonía. c. Clasifique los puntos críticos etremos) determine los intervalos de concavidad. d. Obtenga los puntos de infleión, la gráfica de f el número de raíces de f. No intente calcular las raíces de f.) Ejercicios 9.. Soluciones en la página?? Gráfica de una función racional.. Para la función f./ D, determinar los intervalos de crecimiento de decrecimiento, los puntos críticos su clasificación, así como los intervalos de concavidad hacia abajo hacia arriba. Finalmente, con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función.. Para la función f./ D. /, determinar los intervalos de crecimiento de decrecimiento, los puntos críticos su clasificación, así como los intervalos de concavidad hacia arriba hacia abajo. Finalmente, con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función.. Sea la función f./ D 4. /. Proporcione: a. El dominio de la función : D f. b. Las raíces de la función. c. Los intervalos de monotonía. d. Los intervalos de concavidad. e. La gráfica de la función. 4. Sea la función f./ D C. Proporcione:

16 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I a. El dominio de la función. b. Los intervalos de monotonía. c. Los intervalos de concavidad. d. Los puntos de infleión. e. La gráfica de la función.. Considere la función h W R! R definida por h./ D : Halle el dominio las raíces de la función. Las asíntotas verticales las horizontales. Los puntos críticos. Los intervalos de concavidad. Haga un bosquejo de esa función. 6. Sea la función f./ D : Diga en qué intervalos es cóncava hacia arriba, cóncava hacia C abajo, determine los puntos de infleión grafique. 7. Dada la siguiente función: f./ D C C ; determine los intervalos de monotonía de f./, los puntos etremos grafique esa función. 8. Graficar la función f./ D, determinando: a. Dominio, raíces simetría. b. Asíntotas. c. Intervalos de monotonía. d. Intervalos de concavidad. e. Puntos críticos su clasificación. Puntos de infleión. 9. Sea la función f./ D. /. a. Encuentre los puntos críticos los intervalos de crecimiento decrecimiento. b. Encuentre los puntos de infleión los intervalos de concavidad. c. Encuentre las asíntotas verticales horizontales. d. Haga un bosquejo de la gráfica. 0. Para la función f./ D C, determine: a. Dominio, raíces paridad. b. Intervalos de crecimiento de decrecimiento. c. Intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo puntos de infleión. d. Intervalos de continuidad la clasificación de discontinuidades. e. Ecuaciones de las asíntotas verticales de las asíntotas horizontales. f. Máimos mínimos relativos absolutos. g. Esbozo gráfico rango.

17 7 9. Bosquejo de la gráfica de una función 7. Para la función f./ D 4, determine: a. El dominio las raíces de la función. b. Los intervalos en los cuales f es creciente o bien decreciente. c. Los valores máimos mínimos locales de f. d. Los intervalos de concavidad hacia arriba hacia abajo. e. Las asíntotas verticales horizontales. f. La gráfica de esa función.. Considere la función f./ D. 4/ determine: a. El dominio, raíces e intervalos de continuidad. b. Asíntotas verticales horizontales. c. Los intervalos de monotonía, los puntos máimos mínimos absolutos relativos). d. Los intervalos de concavidad puntos de infleión. e. Bosquejo gráfico rango.. Para la función f./ D C, determine: a. Dominio, raíces, paridad. b. Intervalos de crecimiento de decrecimiento. c. Intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo; puntos de infleión. d. Intervalos de continuidad la clasificación de discontinuidades. e. Ecuaciones de las asíntotas verticales de las asíntotas horizontales. f. Máimos mínimos relativos absolutos. g. Esbozo gráfico rango. 4. Para la función f./ D a. Dominio, raíces, paridad.. /, determine: b. Intervalos de crecimiento de decrecimiento. c. Intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo; puntos de infleión. d. Intervalos de continuidad la clasificación de discontinuidades. e. Ecuaciones de las asíntotas verticales de las asíntotas horizontales. f. Máimos mínimos relativos absolutos. g. Esbozo gráfico rango. Ejercicios 9.. Soluciones en la página??

18 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Gráfica de una función con radicales.. Sea f./ D. C /, determinar D f ; intervalos de monotonía de concavidad; máimos mínimos locales, puntos de infleión. Usando esta información, dibujar un esbozo de la gráfica de la función f./.. Sea f./ D p p, determinar los intervalos de monotonía de concavidad de f ; máimos mínimos locales, puntos de infleión. Usando esta información, esbozar la gráfica de f.. Considere la función f./ D 4 p. Determinar: a. Dominio, raíces, intervalos de continuidad. b. Intervalos de monotonía puntos etremos. c. Intervalos de concavidad. d. Bosquejo gráfico. Proporcione el rango. 4. Grafique la función f./ D. C / señalando claramente: a. Dominio raíces. b. Intervalos de crecimiento decrecimiento. c. Máimos mínimos relativos. d. Intervalos de concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo. e. Puntos de infleión. f. Máimos mínimos absolutos si los hubiese). g. Gráfica de la función.

19 9 9. Bosquejo de la gráfica de una función 9 Ejercicios 9.. Gráfica de una función polinomial, página??. Decreciente en R no tiene valores etremos; cóncava hacia arriba en. ; /; cóncava hacia abajo en.; C/. 8 D f./ Punto de infleión 4. a. Crece en. ; 0/ en.; C/; decrece en. ; / en.0; /; b. en D en D ha mínimos locales; en D 0 ha un máimo; c. cóncava hacia arriba en ) p ; C ; ; cóncava hacia abajo en p p ) en ) ; p ; en D p en D p ha puntos de infleión.. a. Puntos críticos: D 0 & D ; D es un mínimo; b. decreciente en ; ) ; ) creciente en ; C ; c. I.0; 0/ e I.; /; d D h./ d. cóncava hacia arriba en. ; 0/ en.; C/; e. cóncava hacia abajo en.0; /. p p nto crítico un punto de infleión es máimo local es mínimo local D f./ a. Crece en ; C p ) ; C ; decrece en p ) en p ; C p ) ; b. cóncava hacia abajo en. ; /; cóncava hacia arriba en. ; C/;

20 0 Cálculo Diferencial e Integral I c. D f./ 6. a. D f D R donde f es continua; lím f./ D C;! b. 0:8996 & D 0 son los puntos críticos; creciente en C p ) ; 0 en ) C p ; C ; decreciente en ; 0; C p ) ; C p ) en p p C. a. Creciente en Œ0; C/; decreciente en. ; 0 ; el único etremo relativo es.0; 64/, que es un mínimo; ) b. cóncava hacia abajo en ; p en ) p ; ; cóncava hacia ) arriba en. ; /, p ; p en.; C/; c. los puntos. ; 0/ infleión. p ; 6 ) son de c. en 0:8996 ha un mínimo relativo; d. en D 0 ha un máimo relativo; f./ es cóncava en C p 9 ; f./ es convea en C p 9 ; q C p D f./ q C p C p 9 ; C p 9 ; C ; D f./ Cóncava puntos de infleión:. 0:; :768498/; no tiene raíces. Cóncava crítico punto de infleión máimo local mínimo local 0 p p Convea C 64 ó n c ava Convea

21 9. Bosquejo de la gráfica de una función Ejercicios 9.. Gráfica de una función racional, página??. En D 0 ha punto crítico; crece en.0; / en.; C/; f./ es convea en ) ; C. decrece en. ; / en. ; 0/; f.0/ D 0 es un mínimo relativo; D f./ cóncava hacia abajo en. ; /.; C/; cóncava hacia arriba en. ; /; 8 D f./. a. D f D R f g; b. las raíces: f ; g; c. decreciente en:. ; en.4; C/; creciente en:.; 4/; d. cóncava hacia abajo en:. ; / ; ) ; ) cóncava hacia arriba en: ; C. e.. Los puntos críticos están en D 0 en D ; D f./ 4 4 crece en. ; 0/ en.; C/; decrece en.0; /; f./ es cóncava en. ; 0/ [ 0; ) ; 4. a. D f D R; b. creciente en:. ; 0/; decreciente en:.0; C/;

22 Cálculo Diferencial e Integral I c. cóncava hacia arriba en: p ) p ) ; ; C ; cóncava hacia abajo en: p p ) ; ; p ) p ) d. I ; e I 4 ;. 4 e. cóncava en D f./ p p; ) p; ) 0 en C. 0:4 0:4 p 4 D f./ 7. f./ es creciente en:. ; / en.; C/; decreciente en:.; / en.; /; p p ha puntos críticos en D en D.. Puntos críticos: D & D ; crreciente en. ; 0/ en.0; /; decreciente en. ; / en.; C/; D f./ en D máimo; ha un mínimo en D ha un h./ es cóncava hacia arriba en h./ es cóncava hacia abajo en p ) ; 0 p ) ; C ; ; p ) 0; p ) ; los puntos p ; 8 p son de infleión. ) p ; 8 p ) 8. a. D f D R f g; tiene una raíz en D 0. Es impar; p p 0: 0: D h./ p p b. D & D son asíntotas verticales; D 0 es asíntota horizontal; c. creciente en. ; /,. ; / en.; C/; 6. Ha puntos de infleión en D 0 & D p; p ) convea en ; en 0; p ) ; d. cóncava hacia arriba en. ; /.0; /; cóncava hacia abajo en. ; 0/.; C/; e. no tiene puntos críticos;

23 9. Bosquejo de la gráfica de una función.0; 0/ es un punto de infleión. D f./ d. f es continua en. ; 0/.0; C/; f tiene una discontinuidad esencial infinita en D 0; e. D 0 es asíntota vertical; D 0 es asíntota horizontal; f. en D ha un punto máimo local estricto; f no tiene máimo ni mínimo absoluto; g. el rango de f es R. 9. a. Punto crítico: D 0; creciente en. ; 0/ en.; C/; decreciente en.0; /; b. cóncava hacia arriba en cóncava hacia abajo en.; C/; ) ; ; ) ; en en D D f./ ha un punto de infleión; c. D es asíntota vertical; d. D es asíntota horizontal. D f./. a. D f D R f ; Cg; raíz D 0; b. creciente en. ; / en. ; 0/; decreciente en.0; / en.; C/; c. en D 0 ha un máimo local; d. cóncava hacia arriba en. ; / en.; C/; e. cóncava hacia abajo en. ; /; f. asíntotas verticales: D & D ; asíntota hotizontal: D. g. D f./ 0. a. D f D R f0g; raíz: D ; no es par ni impar; ) b. creciente en ; ; ) decreciente en ; 0 en.0; C/; c. cóncava hacia arriba en. ; / en.0; C/; cóncava hacia abajo en. ; 0/; punto de infleión en D ;. a. D f D R f g; raíz: D 0; f./ es continua en su dominio;

24 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I b. D 0 es asíntota horizontal; D es asíntota vertical; c. creciente en. ; /; decreciente en. ; / en.; C/; f no tiene máimo relativo ni absoluto; en D ha un mínimo local que es absoluto; g. D f./ d. cóncava hacia abajo en. ; 4/; cóncava hacia arriba en. 4; / en.; C/; en D 4 ha un punto de infleión; p e. D f./ El rango: R f D R. [ R f D ) 6 ; C. 4. a. Dominio: D f D R f g; raíz: D 0; no es par ni es impar;. a. Dominio: D f D R f 0 g; raíz: D p ; no es ni par ni impar; b. decreciente en. ; 0/ en.0; /; creciente en.; C/; ) c. cócava hacia arriba en ; p.0; C/; ) cócava hacia abajo en p ; 0 ; D p punto de infleión; d. la función es continua en todo su dominio; en D 0 tiene una discontinuidad esencial; e. D 0 es una asíntota vertical; no tiene asíntotas horizontales; f. D es un mínimo local; no eisten máimos ni mínimos absolutos. b. decreciente en. ; / en.; C/; creciente en. ; /; c. cóncava hacia abajo en. ; /; cóncava hacia arriba en. ; C/; en D ha un punto de infleión; d. continua en su dominio R f g; en D ha una discontinuidad esencial infinita; e. D 0 es asíntota horizontal de f./; D es asíntota vertical de f./; f. en D ha un mínimo local que es un mínimo absoluto; no tiene máimo absoluto;

25 9. Bosquejo de la gráfica de una función g. rango: R f D [ ) 4 ; C. D f./ Ejercicios 9.. Gráfica de una función con radicales, página??. D f D R ; crece en. ; decrece en. ; /; /, en. ; 0/ en.0; C/; cóncava hacia arriba en. ; /. ; 0/; cóncava hacia abajo en.0; C/; puntos críticos en D 0, D en D ; en D ha un mínimo. En D ha un máimo; ha punto de infleión en D 0.. 0:984; 0:749487/ es punto de infleión. D f./ 0:749 0:9 0: D f./ p 4. Creciente en.0; 0:4/; decreciente en. ; 0/ en.0:4; C/; cóncava hacia arriba en. ; 0:984/; cóncava hacia abajo en. 0:984; 0/.0; C/;.0; 0/ es un mínimo local;.0:4847; 0:98/ es un máimo local;. a. D f D [ ) ; C ; no tiene raíces; es continua en todo su dominio; ) 7 b. creciente en ; C ; decreciente en ; 7 ) ; el punto crítico único: mínimo absoluto; 7 ; ) 8 c. la función es cóncava hacia arriba. es un

26 6!!! 6 Cálculo Diferencial e Integral I d. c. D es un mínimo local; d. cóncava hacia arriba en. ; 0/.; C/; cóncava hacia abajo en.0; /; D f./ e..0; 0/.; p /.; :74/ son puntos de infleión; f. en D tiene un mínimo absoluto; f./ no tiene máimo absoluto. [ ) R f D 8 ; C. g. p 4. a. Dominio: D f D R ; raíces: D 0 & D ; D f./ ) b. decreciente en ; ; ) creciente en ; C ;