CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 1) Cierto artículo de lujo se vende en pesos. La cantidad de ventas es de artículos al año. Se considera imponer un impuesto a las ventas de tales artículos. Si el nivel del impuesto se fija en R%, las ventas caerán en 500R artículos al año, qué valor de R dará un ingreso total al gobierno de pesos al año por concepto de este impuesto? Qué valores de R darán al gobierno un ingreso de al menos pesos al año? ) Considere la función 40 1 si 3,, 7 f) a si. Para qué valores de a la función es continua en? 3) Para la siguiente función determine: a) Dominio y raíces b) Asíntotas horizontales y verticales c) Bosquejo gráfico f) ) Un controlador aéreo sitúa aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto de encuentro ver figura). Uno de ellos avión 1) está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora. El otro avión ) está a 00 millas del punto y vuela a 600 millas por hora. a) A qué velocidad decrece la distancia entre los aviones? b) De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes? 5) Grafique la función f) ) señalando claramente: a) Dominio y raíces b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Máimos y mínimos relativos d) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo e) Puntos de infleión f) Máimos y mínimos absolutos si los hubiese) g) Gráfica de la función 6) Una lata de aceite tiene la forma de un cilindro con fondo plano en la base y una semiesfera en la parte superior. Si esta lata debe contener un volumen de pulgadas cúbicas y se desprecia el espesor del material, determine las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario para fabricarla. canek.azc.uam.m: / 3/

2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 Respuestas 1) Cierto artículo de lujo se vende en pesos. La cantidad de ventas es de artículos al año. Se considera imponer un impuesto a las ventas de tales artículos. Si el nivel del impuesto se fija en R%, las ventas caerán en 500R artículos al año, qué valor de R dará un ingreso total al gobierno de pesos al año por concepto de este impuesto? Qué valores de R darán al gobierno un ingreso de al menos pesos al año? El total de artículos que se venden cobrando R% de impuesto es R; el precio de venta de estos artículos es R). El impuesto que se paga por esta venta es R) R , según lo enunciado, 100 o sea 00R 5R R 40R Resolvemos esta cuadrática R 40 ± { ± Eisten dos soluciones para el impuesto: 8% y 1%. Para resolver la segunda pregunta, hacemos el mismo planteamiento y nos queda la desigualdad R) R , 100 o sea, 00R 5R 1 90 R 40R Vamos a calcular las raíces de la cuadrática R 40 ± { ± Tenemos entonces R 40R R 16)R 4). Para saber dónde la cuadrática es negativa usamos la tabla Signo de Intervalo R 16 R 4 R 40R R<16 < 4) + 16 <R<4 + R>4 > 16) Vemos entonces que cobrando un impuesto en el rango de 16% a 4% se obtiene una ganancia no menor que la deseada. 16% 4%

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E ) Considere la función 40 1 si 3,, 7 f) a si. Para qué valores de a la función es continua en? Para que la función sea continua en, se debe cumplir lím f) f) a. Si tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos: ) 0, ) 0. es decir, una indeterminación 0 0 Primero vamos a trabajar el denominador de f). Puesto que es un polinomio de segundo grado que tiene como cero o raíz a, sabemos que divide al polinomio. Para saber la factorización correspondiente hacemos la siguiente división: Tenemos entonces que )3 + 7). Un poco de álgebra: 40 1 ) )3 +7) ) )3 + 7) ) )3 + 7) ) )3 + 7) ) + 5) ) 4 )3 + 7) ) ) +, ) Ahora podemos calcular el límite ) +5 lím f) lím ) ) f) a, sí cumple la condición deseada. 6

4 4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 3) Para la siguiente función determine: a) Dominio y raíces Dominio: D f R { 3, 3 }. f) Raíces. Vemos que: f) la raíz de la función es 3. b) Asíntotas horizontales y verticales Puesto que calculamos: f) +3 9 lím f) ± + 3 ) 1 9 ) lím ± ; ), ) 0; entonces, y 0 es una asíntota horizontal. Se tiene también que 3 y 3 son las asíntotas verticales. Vamos a calcular los límites laterales en esos puntos: Primero 3. Si 3 < 3 +3< , entonces: +3 lím f) lím ) ) 1. 0 Si 3 + > 3 +3> , entonces: +3 lím f) lím ) ) Segundo 3 Si 3 <3 3 < 0 3 0, entonces: +3 lím f) lím ) ). Si 3 + >3 3 > , entonces: +3 lím f) lím ) ) c) Bosquejo gráfico Con toda la información anterior tenemos que el bosquejo gráfico de f) es:

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E f) ) Un controlador aéreo sitúa aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto de encuentro véase figura). Uno de ellos avión 1) está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora. El otro avión ) está a 00 millas del punto y vuela a 600 millas por hora. Avión 1 dt) yt) t) Avión a) A qué velocidad decrece la distancia entre los aviones? En todo momento, t arbitrario, se tiene la relación: d t) t)+y t); derivando con respecto a t: dt)d t) t) t)+yt)y t) y despejando d t): d t) t) t)+yt)y t). t)+y t) Si escribimos como t 0 el instante al que se refiere el enunciado, tenemos que: d t 0 ) t 0) t 0 )+yt 0 )y t 0 ) t 0 )+y t 0 ) ) ) 00) + 150) millas/h.

6 6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 b) De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes? El tiempo que tienen los aviones para llegar al punto 0, 0) es hora, hora. Es decir, los aviones chocarían en 0 minutos si no se cambia la trayectoria. 5) Grafique la función f) ), señalando claramente: a) Dominio y raíces Dominio: D f R. Raíces: 0y 3. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Derivamos para conocer los intervalos de monotonía: f ) ) El signo de la primera derivada lo da + 1. Vemos que 1 es un punto crítico; f) es decreciente si, 1 ) ; f) es creciente si 1 ), +. c) Máimos y mínimos relativos Por lo anterior 1 es un mínimo local, por el criterio de la primera derivada. d) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo Calculamos la segunda derivada: f ) ) ; vemos entonces que & son los que dan el signo de la segunda derivada. Puesto que se anulan en 0yen, nos ayudamos de la tabla siguiente para conocer los intervalos de concavidad de

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E la función f) Signo de Intervalo f ) <0< ) + 0 << + >> 0) f) es cóncava hacia arriba en, 0), + ); f) es cóncava hacia abajo en 0, ). e) Puntos de infleión Por lo anterior, en cambia la concavidad, y por lo tanto es un punto de infleión. f) Máimos y mínimos absolutos si los hubiese) En 1 tiene un mínimo absoluto; f) no tiene máimo absoluto. g) Gráfica de la función La gráfica de la función f) es y 3 1 6) Una lata de aceite tiene la forma de un cilindro con fondo plano en la base y una semiesfera en la parte superior. Si esta lata debe contener un volumen de pulgadas cúbicas y se desprecia el espesor del material, determine las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario para fabricarla. Usamos la figura h r r

8 8 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 El volumen total consta de dos partes: el volumen del cilindro más el volumen de la semiesfera: V r h r El material usado coincide con el área total de la superfice eterior que consta del área de la base, más el área lateral del cilindro y el área de la semiesfera: A) M r +rh + 1 4r. B) Ésta es la función a la cual deseamos minimizar. Consta de dos variables. De la relación A) despejamos h: r h r3 h r r. C) 3 Sustituimos este valor en B) y obtenemos: Mr) r +r r 3r r Calculamos primera y segunda derivada: M r) r 10r r 3r M r) 10 ) 3 r +r 4 3 r 5 3 r r r r > 0, mínimo. r3 Calculamos puntos críticos igualando a cero la primera derivada: M r) 0 10r r )1 600 r Sustituyendo este valor en C): h ) ) ) 1 ) 3 ) ) ) 1 ) 1 ) ) 1 r, es decir, hallamos que la lata con las condiciones dadas debe tener la altura del cilindro igual que el radio de la base..