TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

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1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un punto f () = l Se lee: El límite cuando tiende a c de f() es l c Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando se aproima a c Notas: - Que se aproima a c significa que toma valores muy cerca de c (Se puede acercar por la izquierda o por la derecha). - l puede ser ó - y entonces = c es una asíntota vertical. Límites laterales de una función en un punto Límite por la derecha: f () = l Se lee: El límite cuando tiende a c por la derecha de f() es l c Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando se aproima a c por la derecha. Límite por la izquierda: f () = l Se lee: El límite cuando tiende a c por la izquierda de f() es l c Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando se aproima a c por la izquierda. Eisten del límite Para que eista el límite de una función en un punto es necesario que eistan los dos límites laterales y sean iguales.

2 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach LÍMITES EN EL INFINITO f () f () = = Se lee: El límite cuando tiende a más infinito de f() es más infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la toma valores grandes positivos. (1º cuadrante) Se lee: El límite cuando tiende a más infinito de f() es menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la toma valores grandes positivos. (4º cuadrante) f () = l Se lee: El límite cuando tiende a más infinito de f() es l Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando toma valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota vertical. f () f () = = Se lee: El límite cuando tiende a menos infinito de f() es más infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la toma valores grandes negativos. (º cuadrante) Se lee: El límite cuando tiende a menos infinito de f() es menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la toma valores grandes negativos. (º cuadrante) f () = l Se lee: El límite cuando tiende a menos infinito de f() es l Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando toma valores muy grandes negativos: y = l es una asíntota vertical.

3 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach CÁLCULO DE LÍMITES 1 Se sustituye la por el valor al que tiende 5 a) b) d) (sen ) e) log1 π 4 g) 4 7 j) 1 m) Indeterminaciones:,1 h) 4 7 c) 4 7 f) i) k) l) 1 1 n) ñ) k Hallar límites laterales a) b) d) e) a) Factorizar y simplificar 6 1 b) ( ) c) c) f) ( ) ± a b a) Si grado del numerador > grado del denominado r (El signo depende coeficient es 1 c) Si grado del numerador de la de mayor grado del numerador y del denominado r) = grado del denominado r (a y b son los coeficient es de la de mayor grado del numerador y del denominado r) Si grado del numerador < grado del denominado r b) d) - Se hacen operaciones. Cuando aparecen radicales, multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada a) b) 1 de los

4 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 4 f () 1 1 : Tipo número e : Aplicar : 1 = e a f() f () a g() = ó g().[f () 1] a e - En funciones definidas a trozos, en los puntos donde esté definida de distinta forma si me aproimo por valores más pequeños, que por valores más grandes, habrá que hacer límites laterales. a) Dada la función f() = - 7 si < si 11. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntotas verticales: = c y Cálculo: Puntos que anulan el denominador Puntos que anulan lo que está dentro del logaritmo Por abajo Aproimación: Calcular los límites laterales Por arriba Calcular su límite en los puntos,1, 7 - Asíntotas horizontales: y = b (Grado numerador Grado denominador) Cálculo: f () = Aproimación: f(± 1) Asíntota b < > Por debajo Por encima - Asíntotas oblicuas: y = m n (Grado Numerador Grado denominador = 1) Cálculo: m = f () ; n = (f () m) < Por debajo > Por encima Aproimación: f(± 1) Asíntota(± 1) RAMAS INFINITAS (Grado Numerador Grado denominador ) Cálculo: f () = ± ± a) y = d) y = 7 b) y = e) y = 1 1 c) y = f) y =

5 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach CONTINUIDAD La idea de función continua es la de que puede ser construida con un solo trazo. Una función f() es continua en el punto = a si f() = f(a) a Todas las funciones definidas por epresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora, eceptuando las funciones a trozos), son continuas en todos los puntos de su dominio. Las funciones a trozos habrá que estudiarlas en los etremos de sus trozos que pertenezcan al dominio. Tipos de discontinuidades - Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es infinito o no eiste. - Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales. - Discontinua evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor no coincide con f(a) o no eiste f(a) a) y = 5 b) y = c) y = d) log 4 si < si 4 e) y = f) y = g) y = 1 si 1 si = 4 1 si 4 h) Calcular el valor de n para que la función f() = sea n si > 4 continua en todo R. k si i) Calcular k para que y = sea continua en R 7 si =