TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

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1 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un punto f () = l Se lee: El límite cuando tiende a c de f() es l c Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando se aproima a c Notas: - Que se aproima a c significa que toma valores muy cerca de c (Se puede acercar por la izquierda o por la derecha). - l puede ser + ó - y entonces = c es una asíntota vertical. Límites laterales de una función en un punto Límite por la derecha: f () = l Se lee: El límite cuando tiende a c por la derecha de f() es l c + Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando se aproima a c por la derecha. Límite por la izquierda: f () = l Se lee: El límite cuando tiende a c por la izquierda de f() es l c Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando se aproima a c por la izquierda. Eisten del límite Para que eista el límite de una función en un punto es necesario que eistan los dos límites laterales y sean iguales.

2 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 8.1. LÍMITES EN EL INFINITO f () f () = + = Se lee: El límite cuando tiende a más infinito de f() es más infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la toma valores grandes positivos. (1º cuadrante) Se lee: El límite cuando tiende a más infinito de f() es menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la toma valores grandes positivos. (4º cuadrante) f () = l Se lee: El límite cuando tiende a más infinito de f() es l + Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando toma valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota vertical. f () f () = + = Se lee: El límite cuando tiende a menos infinito de f() es más infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la toma valores grandes negativos. (º cuadrante) Se lee: El límite cuando tiende a menos infinito de f() es menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la toma valores grandes negativos. (º cuadrante) f () = l Se lee: El límite cuando tiende a menos infinito de f() es l Significa: l es el valor al que se aproima f() cuando toma valores muy grandes negativos: y = l es una asíntota vertical.

3 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 8.1. CÁLCULO DE LÍMITES 1 Se sustituye la por el valor al que tiende 5 a) b) 5 d) (sen + ) e) log10 π 4 g) j) + m) o) 1 5 0,1 h) k) n) p) c) f) i) l) + 1 ñ) Indeterminaciones: - Se hacen operaciones. Cuando aparecen radicales, multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada a) b) c) ( ) d) ± Si grado del numerador > grado del denominador (El signo depende de los coeficientes de la de mayor grado del numerador y del denominador) a / Si grado del numerador = grado del denominador (a y b son los coeficientes b de la de mayor grado del numerador y del denominador) 0 Si grado del numerador < grado del denominador 5 + a) b) c) d) 5 5 k/0 Hallar límites laterales a) b) e) f) ( ) ( ) c) g) + d) h) + 0/0 Factorizar y simplificar a) b) c) f.g = f 1/ g 1/ g f = = 0 0

4 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 4 a). Ln 0 + b) e. 0 ó 0 0 : Tomar logaritmos 1 a) (Ln) b) : Tipo número e : Aplicar : 1 = e a + f() a) b) f () a g() = + f () ó g().[f () 1] a e Equivalencias: Sólo se pueden aplicar en productos y cocientes 0 sen tag 1 cos / arcsen arctag Ln ( + 1) e 1 f() 0 sen f() f() tag f() f() 1 cos f() f() / arcsen f() f() arctag f() f() Ln (f() + 1) f() e f() 1 f() 1 Ln - 1 f() 1 Ln f() f() - 1 a) d) sen 0 tag ( ) cos 1 b) c) 0 tag + 1 e) Ln Ln 11 - En funciones definidas a trozos, en los puntos donde esté definida de distinta forma si me aproimo por valores más pequeños, que por valores más grandes, habrá que hacer límites laterales. 5 si < a) Dada la función f() = Calcular su límite en los puntos,1, si

5 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 5 8. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntotas verticales: = c y Cálculo: Puntos que anulan el denominador Puntos que anulan lo que está dentro del logaritmo Por abajo Aproimación: Calcular los límites laterales + Por arriba - Asíntotas horizontales: y = b (Grado numerador Grado denominador) Cálculo: f () = Aproimación: f(± 1000) Asíntota b < 0 > 0 Por debajo Por encima - Asíntotas oblicuas: y = m + n (Grado Numerador Grado denominador = 1) Cálculo: m = f () ; n = (f () m) < 0 Por debajo > 0 Por encima Aproimación: f(± 1000) Asíntota (± 1000) RAMAS INFINITAS (Grado Numerador Grado denominador ) Cálculo: f () = ± ± a) y = d) y = b) y = e) y = c) y = f) y = + 5 +

6 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach CONTINUIDAD La idea de función continua es la de que puede ser construida con un solo trazo CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función f() es continua en el punto = a si f() = f(a), es decir, deben a eistir los dos límites laterales, ser iguales y coincidir con f(a). Tipos de discontinuidades - Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es infinito o no eiste. - Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales. - Discontinua evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor no coincide con f(a) o no eiste f(a) 8.. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO DEFINICIÓN Una función se dice que es continua en un intervalo (finito o infinito) de R si es continua en cada punto del intervalo. Todas las funciones definidas por epresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora, eceptuando las funciones a trozos), son continuas en todos los puntos de su dominio. Las funciones a trozos habrá que estudiarlas en los etremos de sus trozos que pertenezcan al dominio.

7 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 7 a) y = + 5 b) y = c) y = d) log 4 si < si 4 e) y = + f) y = g) y = + 1 si 1 si = si 4 h) Calcular el valor de n para que la función f() = sea + n si > 4 continua en todo R. + k si i) Calcular k para que y = sea continua en R 7 si = TEOREMA DE BOLZANO Si f() es continua en [a,b] y signo de f(a) signo de f(b), entonces eiste c (a,b) tal que f(c) = 0 CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE BOLZANO TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS (DARBOUX): Si f es continua en [a,b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b). Es decir, cualquiera que sea el número k, comprendido entre f(a) y f(b), eiste un número s, a < s < b, tal que f(s) = k

8 Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 8 OTRA CONSECUENCIA: Si f y g son funciones continuas en [a,b] y f(a) < g(a) y f(b) > g(b), entonces eiste un número s (a,b), tal que f(s) = g(s). TEOREMA DE WEIERSTRASS Si f es continua en [a,b], entonces tiene un máimo y un mínimo absolutos en ese intervalo. Es decir, eisten sendos números c y d, del intervalo [a,b] para los cuales se cumple que: cualquiera que sea [a,b] es f(c) f() f(d).