EXAMEN DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

Transcripción

1 EXAMEN DE LÍMITES Y CONTINUIDAD Se recomienda: a) Antes de hacer algo, leer todo el eamen. b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del eamen en una hoja distinta. d) Es una hoja de eamen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. e) Recuerda mostrar todas las operaciones para conseguir la puntuación completa de cada apartado.. Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próimos años, por la función ft 5000t 0000, siendo t el número de años transcurridos. Se pide: t. Tamaño actual de la población. (0. p). Si esta función fuese válida indefinidamente, se estabilizaría el tamaño de la población? Justifica tu respuesta. (0.5 p)(0.5 p)(# 0.95 p). Calcula los límites siguientes:. (0.8 p). (0.8 p). 6 (0.8 p) (0.5 p)(#.9 p). Estudia la continuidad de la función dada por f if if 5 if if Para tener una idea clara de ella, ayudate de su representación gráfica. ((gra 0. p), (con0.5 p), (4 0.5 p 0. p)))(#.5 p) 4. Estudia las asíntotas de la función f (obl0.5 p 0. p))(#.8 p) ((hor0.5 p 0. p), (ver0.4 p 0. p), fjsp curso 0/ bhcs eamen de límites y continuidad

2 SOLUCIÓN. número de individuos de una determinada población de una especie protegida ft 5000t 0000, siendo t el número de años transcurridos t. f0 5000t individuos 0. p 0. Calculamos ft 5000t t individuos t t t t t t en el "infinito". 0.5 p Esto se debe a que la población no crece indefinidamente dado los recursos son finitos y hay fallecimientos. 0.5 p.. indeterminación Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la epresión:. 0.8 p indeterminación. Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la epresión del numerador: 0.8 p indeterminación Hemos de estudiar los límites laterales: p p. f if 5 if if Es una función definida a trozos, por lo que daremos una tabla para cada trozo. if Se trata de una recta, por lo que nos basta una tabla con dos valores y - - Puntos A,, B 4, fjsp curso 0/ bhcs eamen de límites y continuidad

3 5 if Se trata de una parábola con vértice en el punto 0,5 y las ramas hacia arriba simétrica con respecto al eje vertical, por lo que nos basta con la tabla siguiente. - 0 y if Puntos A,, C 0,5, D, Se trata de una recta, por lo que nos basta una tabla con dos valores. 4 y - Puntos E,, F 4, Los puntos quedan representados así: Que se unen para dar lugar a la gráfica siguiente: y ATENCIÓN: EL PUNTO, ES UN AGUJERO PUES LA FUNCIÓN NO ESTÁ DEFINIDA EN. Por su definición, la función es continua en R,, dado que se trata de una semi-recta, luego un trozo de parábola y luego una semi-recta. con0.5 p Ahora hemos de estudiar la discontinuidad en los puntos de cambio. Para Serán f fjsp curso 0/ bhcs eamen de límites y continuidad

4 f 5 5 Como los límites laterales son iguales es f. Pero no tenemos continuidad pues no eiste f. 0.5 p Tenemos en una discontinuidad evitable. 0. p Para Serán f 5 5 f Como los límites laterales son iguales no eiste f. Por lo que no tenemos continuidad. 0.5 p Tenemos una discontinuidad inevitable de salto finito en. 0. p 4. f 4. Horizontales Estudiamos los límites siguientes: f Entonces no hay asíntota horizontal si. 0.5 p 0.05 p Análogamente f Entonces no hay asíntota horizontal. 0.5 p 0.05 p 4. Verticales Vemos donde se anula el denominador de la epresión que define la función. 0 Estudiamos los límites laterales siguientes: f p f p Entonces la recta vertical es una asíntota vertical. 4. Oblicuas Pueden eistir dado que no hay asíntotas horizontales Estudiamos los límites siguientes: f 0. p m p n f m p Entonces y 6 es una asíntota oblicua. 0. p Análogamente para f m... n f m fjsp curso 0/ bhcs eamen de límites y continuidad 4

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