TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD

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1 TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD 6.. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Dada la función f() = 2, a qué valor se aproima f() cuando se aproima a 2? Dada la función f() =?, a qué valor se aproima f() cuando tiende a Por lo tanto decimos que el límite de una función f() cuando se aproima a un número, a, es L, si cuando tomamos valores próimos a a, f() toma valores próimos a L. (Recuerda que a y L pueden ser números reales o ± ) ACTIVIDAD : Calcula el valor al que se aproima la función f() = Ent () cuando se aproima a 2. (La función f() = Ent() es la función PARTE ENTERA DE X, la cual nos devuelve la parte entera de cualquier número decimal, es decir, Ent(3,23) = 3, Ent(2,2) = 2, etc..). Pero veamos el concepto de límite de manera más formal. 6.2 CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Límites laterales: a) LÍMITE POR LA IZQUIEDA:El ite de una función f(), cuando tiende a un punto c por la izquierda, es un número real L, cuando para valores de muy próimos a c y menores que c, los valores de la función se aproiman al número L. cizq f =L

2 b)límite POR LA DERECHA:El ite de una función f(), cuando tiende a un punto c por la derecha, es un número real L, cuando para valores de muy próimos a c y mayores que c, los valores de la función se aproiman al número L. cder f = L Límite de una función en un punto: Decimos que el límite de una función f(), cuando tiende a un punto c, es un número L, cuando: cizq f = cder f =L Se escribe f = L. ACTIVIDAD 2: Calcula ACTIVIDAD 3: Calcula ACTIVIDAD 4: Calcula 2 Ent para ello calcula primero los límites laterales. para ello calcula primero los límites laterales. 3 para ello calcula primero los límites laterales. Límite de una función en el infinito: El ite de una función f(), cuando tiende a, es un número real L, cuando para valores muy grandes de, los valores de la función se aproiman a número L. f =L El ite de una función f(), cuando tiende a, es un número real L, cuando para valores muy pequeños de, los valores de la función se aproiman a número L. f =L ACTIVIDAD 5: Calcula ACTIVIDAD 6: Calcula ayudándote de una tabla de valores. ayudándote de una tabla de valores.

3 6.3. CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Para calcular el límite de una función f() en un punto c, basta con sustituir en dicha función la variable por el punto c, es decir: f = f c Ejemplo: Calcula ACTIVIDAD 7: Calcula : = =22 A) 3 B) 2 2 C) X 3 2 Para calcular el límite de una función f() en ±, basta con sustituir en dicha función la variable por ±, es decir: ± f = f ± Las reglas para operar con ± son las siguientes: SUMAS Y RESTAS: PRODUCTOS: COCIENTES: ) a + = + // a - = - 2) + = + // - - = - ) Si > entonces ( + ) = + y ( - ) = - 2) Si < entonces ( + ) = - y ( - ) =+ 3) + (+ ) = + // - (- ) = + // + (- ) = -. ) Si > entonces: = // = // =

4 POTENCIAS: 2) Si < entonces: = // 3) = // = = // = ) Si a> entonces: a = // a = a = 2) Si <a< entonces: a = // a = a = = LAS SIGUIENTES OPERACIONES SON INDETERMINACIONES QUE NO PODREMOS REALIZAR Y QUE PARA SABER SU VALOR SE PROCEDERÁ DE OTRA FORMA. ) - 2) ( ± ) 3) 4) 5) 6) 7) Veamos como resolver estos casos dependiendo del tipo de función a la que estemos calculando el límite. 6.4 CÁLCULO DEL LÍMITE DE FUNCIONES POLINÓMICAS Para calcular el límite de un función polinómica P() en un punto c, basta con sustituir en dicha función polinómica la variable por el punto c, es decir: P = P c. Para calcular el límite de un función polinómica P() en ±, basta con sustituir en dicha función polinómica la variable por ±, es decir: P =P ±. El límite siempre será ± el signo dependerá del ± signo del coeficiente principal. ACTIVIDAD 8 Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas: a) b) c) d) 2 2 e) f) 3 7 2

5 6.5 CÁLCULO DEL LÍMITE DE FUNCIONES RACIONALES. Para calcular este tipo de límites procedemos así: P P Q = c Q c Al realizar esto pueden presentarse dos indeterminaciones: a) Indeterminación : La indeterminación de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando. ACTIVIDAD 9 Calcula los siguientes límites de funciones racionales: a) b) 4 c) d) 2 b) Indeterminación : La indeterminación de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y denominador por la potencia máima del denominador. ACTIVIDAD Calcula los siguientes límites de funciones racionales: a) b) 4 2 c) 5 7 Cuando al sustituir en una función racional obtengamos laterales., calculamos los límites ACTIVIDAD Calcula los siguientes límites de funciones racionales: a) b) 3 3 c) 2

6 6.6 CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES. Pueden aparecer las siguientes indeterminaciones: a) La indeterminación y de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada. ACTIVIDAD 2 Calcula los siguientes límites de funciones irracionales: a) b) 2 c) 3 d) 2 2 e) b) La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo numerador y denominador por la potencia máima del denominador. ACTIVIDAD 3 Calcula los siguientes límites de funciones irracionales: a) 2 b) CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES DEL TIPO f g. Para calcular este tipo de límites procedemos así: P Q = c P Q c Puede aparecer la indeterminación : Para resolver esta indeterminación utilizamos la definición de número e: e= n n

7 Así trataremos de escribir nuestra función de forma que nos quede una epresión de la forma: f f Para ello hacemos lo siguiente:. P Q = 2. P Q = P Q P Q = c P Q = P Q P P Q P llamamos F() = P entonces: P P P Q P Q = c F F P Q =e F F P Q

8 6.8 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. Se dice que una función f() es continua en a si:. Eiste f(a). 2. Eiste f 3. f = f a Si una función no cumple alguna de estas condiciones, es discontinua en a. Decimos que la discontinuidad es evitable si: f. Eiste f(a) y, pero 2. No eiste f(a) y si eiste f f f a.. Decimos que la discontinuidad es de salto finito, cuando no eiste el los dos límites laterales son finitos, pero desiguales. f porque Decimos que la discontinuidad es de salto infinito, cuando uno de los dos límites laterales es infinito.