lím f(x) lím f(x) lím f(x) lím f(x) lím f(x)

Transcripción

1 . La siguiente gráfica corresponde a la función f(). Halla el valor de los siguientes ites: 0 - y La siguiente gráfica corresponde a la función g(). Halla el valor de los siguientes ites: y g() - g() g() 0 g() - g() g() - - g) g() Calcula los siguientes ites de la siguiente función definida a trozos: g() - - g() - g() - g() g() - g() y Dadas las funciones:

2 f() Calcula: 5 g() ( ) 5 h(t) ( ) t 5 5 g() 5 g() 5 h(t) t h(t) t Solución: 5. Sea f(). Calcula: - 6. Sea f() 6 8. Calcula: 7. Sea f() 6. Calcula: 0-8. Sea f() 6. Calcula: Calcula los siguientes ites: 5 ( ) ( 5) - g) h) i)

3 j) k) l) 5 - m) 0 n) o) - p) - q) r) s) t) u) v) Calcula los siguientes ites: ( ) 5 - ( ) - ( )( ) g) 6 5 h) 5 5 : i) - j) Calcula los siguientes ites: ( ) 6 ( )( ) 7 6 g) h) i) 6

4 . Los beneficios, en millones de euros, generados por el funcionamiento de una industria vienen dados en función del tiempo, en años, por: t b ( t) t Qué ocurre cuando pasan muchos años?. El número de individuos, en millones de una población, viene dado por la función: 8 t f ( t) ( t ) Donde t es el tiempo medio en años desde t 0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo, cuando el tiempo tiende a.. El número de fleiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función: 6 8 f ( ) Siendo días de entrenamiento y f() número de fleiones. Hacia qué valor se aproima el número de fleiones cuando crece el número de días de entrenamiento? 5. Una empresa de transporte estima que sus ganancias, en miles de euros, durante los próimos años seguirán la fórmula: t g( t) 5t 5 Donde la variable t,,,, 5,. Representa el tiempo en años medido a partir del presente. Se estabilizan las ganancias cuando t crece? Hacia qué valor? 6. Para las siguientes funciones calcula los ites que se piden: si < f() si < < si f ( ) f ( ) f ( )

5 si < f() si -< f ( ) f ( ) 0 f ( ) < f() - si - < 0 si 0 < 5 si 5 f ( ) 5 f ( ) f ( ) f ( ) 0 7. Dada la función: si < h( ) si < 9 si > Calcula los ites: h() - 5 h() h() 5 h() - h() h() 8. Estudia la continuidad en - y de la función: si < f ( ) si si > Clasifica los tipos de discontinuidades. 9. Estudia la continuidad de la función en los puntos 0 y. 5

6 si < 0 - g( ) si 0 < si > - 0. Dada la función: si F( ) - a si > Para qué valores de a la función F() es continua en?. Dada la función: b f ( ) a ( ) si ( - ) si > Halla a y b para que la función sea continua en, sabiendo que f(0). Estudia la continuidad de las siguientes funciones: si f() si < < si si < g() 6 si - si > < < h() - si - si > si 6

7 si i() < < si - si - < si > 0 j() - si - < 0 k() 5 h) m() i) n() 5 7 g) l() j) ñ(). Calcula a, b, c y d para que sea continua la función: si < a si < f ( ) b si < 5 c si 5 < 7 d si 7. Se considera la función: si < f ( ) a si - < si Halla los valores de a para los que f() es continua. 5. Los beneficios, en miles de euros, por la venta de un artículo en función de los gastos que se realizan en publicidad, en miles de euros, vienen dados por la función: 7

8 5 5 si 0 B() - ( - ) 0 si < 8 Donde representa la cantidad, en miles de euros, que se gasta en publicidad, y B() los beneficios, en miles de euros, que la empresa productora recibe por la venta del artículo. Es continua esta función? Qué ocurre si el gasto de publicidad es superior a 8.000? 5 6. Estudia la continuidad de la función f ( ), clasificando las 5 6 discontinuidades que se encuentren. Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? 7. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a las mismas: f() y y y y y SOLUCIONES Ejercicio.- 0 Ejercicio g) Ejercicio.- Ejercicio Ejercicio INDETERMINACIÓN Factorizamos los polinomios: Por tanto: ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 8

9 0-0 INDETERMINACIÓN - ( )( )( ) ( )( ) - ( )( ) Ejercicio INDETERMINACIÓN Factorizamos los polinomios: 6 8 ( )( ) ( ) Por tanto: ( )( ) ( ) ( ) INDETERMINACIÓN Por tanto, no eiste el ite pedido. Ejercicio INDETERMINACIÓN Factorizamos el polinomio del denominador: 6 ( )( ) Por tanto: 8 ( )( ) ( ) - 0 INDETERMINACIÓN 9

10 - - - Por tanto no eiste. - 6 Ejercicio INDETERMINACIÓN - Factorizamos los polinomios: Por tanto: - ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) INDETERMINACIÓN Por lo que no eiste INDETERMINACIÓN Por tanto no eiste. Ejercicio 9.- g) h) i) 0

11 j) 5 k) l) No eiste. Los ites laterales son distintos m). 0. No eiste 0 el ite. n) o) Simplificando p) Simplificando q) Simplificando ( ) r) Simplificando ( ) s) Simplificando ( )( ) 5 ( )( ) t) Simplificando ( )( ) ( )( ) u) Simplificando ( ) 5 ( ) v) Simplificando Ejercicio Ejercicio.- g) 0 h) 0 i) j) 8 i) 7 8 g) h) Ejercicio.- Que no habrá beneficios. Ejercicio.- La población inicial es de millones y a largo plazo habrá millón Ejercicio.- Cuando crecen el número de días de entrenamiento, el número de fleiones se aproima a 6. Ejercicio 5.- Se estabilizan a un millón de euros. Ejercicio 6.- No eiste. 0 No eiste. No eiste. 5

12 Ejercicio Ejercicio 8.- h() 5 7 h() 6 h() 7 5 h() No eiste. h() 5 h() Ejercicio 9.- Continuidad en -. Presenta una discontinuidad inevitable de salto. Continuidad en. Presenta una discontinuidad inevitable de salto. Continuidad en 0. Presenta una discontinuidad evitable. Continuidad en. Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. Ejercicio 0.- a Ejercicio.- a - y b. Ejercicio.- Hay que estudiar la continuidad en 0,,. No es continua en 0, ni en, ni en. Es continua en todo su dominio R. No es continua ni en - ni en., Es continua en su dominio ( ) En el único punto que presenta discontinuidad es -. Continua en R g) Continua en R { ± 7} h) Continua en R {,} i) Continua en R por ser polinómica j) Continua en R por ser una función eponencial. Ejercicio.- a 5, b, c 9 y d. Ejercicio.- a. Ejercicio 5.- La función es continua en el intervalo (0,8). Como la función no está definida para valores reales mayores que 8, no se pueden determinar los beneficios a partir de 8000 euros. Solución Ejercicio 6.- En presenta un punto de discontinuidad evitable y en presenta una R,. discontinuidad inevitable de salto infinito. Por tanto la función es continua en { } Al ser la primera discontinuidad evitable, la función puede definirse de la siguiente forma para evitar la discontinuidad en : 5 ( ) 5 6 si f 7 si Ejercicio 7.-

13 Las asíntotas son: - una asíntota vertical. Como y, ya tenemos la posición de la asíntota respecto a la asíntota vertical. Como y, entonces y es una asíntota horizontal. Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota, damos a valores muy grandes y estudiamos el signo de la diferencia entre la curva y la asíntota: Para el valor de la función es 0, , que es un valor menor que. Por tanto la curva en está por debajo de la asíntota. Para el valor de la función es, que es un valor mayor que, luego la curva está por encima de la asíntota. Como tiene asíntotas horizontales no tiene oblícuas y con lo estudiado anteriormente un esbozo de la gráfica es: y Asíntotas verticales y -. Asíntota horizontal y 0. Asíntotas verticales y -. Asíntota horizontal y 0. Asíntota oblícua y. No tiene horizontales. Asíntota vertical 0. Asíntotas verticales -,. Asíntota horizontal y 0. No tiene oblícuas. Asíntota vertical -. No tiene asíntotas horizontales y oblícua en y -.