Límites. Continuidad.
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- Lourdes Lucero Ávila
- hace 7 años
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1 Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid
2 Límite finito cuando x tiende a infinito (1)
3 Límite finito cuando x tiende a infinito (2) Se dice que el límite de la función f(x) cuando la variable x tiende a infinito es l y se escribe: lím f(x) = l x si para valores grandes de x, los valores de la función f(x) son muy próximos a l. El límite cuando x tiende a menos infinito se define de forma similar.
4 Límite infinito cuando x tiende a infinito (1)
5 Límite infinito cuando x tiende a infinito (2) Se dice que el límite de la función f(x) cuando la variable x tiende a infinito es infinito y se escribe: lím f(x) = x si para valores grandes de x, los valores de la función f(x) son muy grandes. El límite igual a menos infinito o los límites cuando x tiende a menos infinito se definen de forma similar.
6 Reglas generales para el cálculo de límites
7 Reglas generales para el cálculo de límites Sumas y diferencias: + = ; ± k =
8 Reglas generales para el cálculo de límites Sumas y diferencias: + = ; ± k = Productos: k = (k 0)
9 Reglas generales para el cálculo de límites Sumas y diferencias: + = ; ± k = Productos: Cocientes: k = ; k = (k 0) k = 0 ; k 0 = (k 0)
10 Reglas generales para el cálculo de límites Sumas y diferencias: + = ; ± k = Productos: Cocientes: Potencias: k = ; k = k = (k 0) k = 0 ; k 0 = (k 0) { { k > 0 0 k < 0 ; r > 1 r = 0 0 < r < 1
11 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados.
12 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados. Que un límite sea indeterminado no quiere decir que no exista. Quiere decir que no puede calcularse por las reglas generales.
13 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados. Que un límite sea indeterminado no quiere decir que no exista. Quiere decir que no puede calcularse por las reglas generales. Las indeterminaciones son de alguno de los tipos siguientes:
14 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados. Que un límite sea indeterminado no quiere decir que no exista. Quiere decir que no puede calcularse por las reglas generales. Las indeterminaciones son de alguno de los tipos siguientes: ;
15 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados. Que un límite sea indeterminado no quiere decir que no exista. Quiere decir que no puede calcularse por las reglas generales. Las indeterminaciones son de alguno de los tipos siguientes: ; 0 ;
16 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados. Que un límite sea indeterminado no quiere decir que no exista. Quiere decir que no puede calcularse por las reglas generales. Las indeterminaciones son de alguno de los tipos siguientes: ; 0 ; ; 0 0 ;
17 Casos de indeterminación Cuando en el cálculo de límites no pueden aplicarse las reglas generales, se habla de límites indeterminados. Que un límite sea indeterminado no quiere decir que no exista. Quiere decir que no puede calcularse por las reglas generales. Las indeterminaciones son de alguno de los tipos siguientes: ; 0 ; ; 0 0 ; 0 ; 1 ; 0 0
18 Límite cuando x tiende a un número finito (1)
19 Límite cuando x tiende a un número finito (2) El límite de la función f(x) cuando x tiende a x 0 es igual a l si para valores de x muy próximos a x 0, los valores de la función f(x) son muy próximos a l. En ese caso se escribe: lím f(x) = l x x 0
20 Función continua Definición (Función continua) Una función f(x) es continua en el punto x 0 si el límite de la función coincide con el valor de la función: f continua en x 0 lím x x 0 f(x) = f(x 0 )
21 Función continua Definición (Función continua) Una función f(x) es continua en el punto x 0 si el límite de la función coincide con el valor de la función: f continua en x 0 lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) Para que la función f(x) sea continua en x 0 deben cumplirse tres condiciones:
22 Función continua Definición (Función continua) Una función f(x) es continua en el punto x 0 si el límite de la función coincide con el valor de la función: f continua en x 0 lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) Para que la función f(x) sea continua en x 0 deben cumplirse tres condiciones: Existe la función en x 0.
23 Función continua Definición (Función continua) Una función f(x) es continua en el punto x 0 si el límite de la función coincide con el valor de la función: f continua en x 0 lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) Para que la función f(x) sea continua en x 0 deben cumplirse tres condiciones: Existe la función en x 0. Existe el límite de la función cuando x tiende a x 0.
24 Función continua Definición (Función continua) Una función f(x) es continua en el punto x 0 si el límite de la función coincide con el valor de la función: f continua en x 0 lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) Para que la función f(x) sea continua en x 0 deben cumplirse tres condiciones: Existe la función en x 0. Existe el límite de la función cuando x tiende a x 0. Ambos números son iguales.
25 Función continua Definición (Función continua) Una función f(x) es continua en el punto x 0 si el límite de la función coincide con el valor de la función: f continua en x 0 lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) Para que la función f(x) sea continua en x 0 deben cumplirse tres condiciones: Existe la función en x 0. Existe el límite de la función cuando x tiende a x 0. Ambos números son iguales. Las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y circulares son continuas en todo su dominio de definición.
26 Nueva definición de continuidad
27 Nueva definición de continuidad
28 Nueva definición de continuidad
29 Nueva definición de continuidad
30 Nueva definición de continuidad f continua en x 0 = lím x x 0 f(x) = f(x 0 )
31 Nueva definición de continuidad f continua en x 0 = lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) = f(x 0 )
32 Nueva definición de continuidad f continua en x 0 = lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) = 0
33 Nueva definición de continuidad f continua en x 0 = lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) = 0 = lím x 0 f = 0
34 Nueva definición de continuidad f continua en x 0 = lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) = f(x 0 ) = lím x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) = 0 = lím x 0 f = 0 Definición (Función continua) Una función es continua en el punto x 0 si a variaciones infinitesimales de la variable independiente, corresponden variaciones infinitesimales de la variable dependiente.
35 Tipos de discontinuidad(1): evitable
36 Tipos de discontinuidad(1): evitable
37 Tipos de discontinuidad(2): salto finito
38 Tipos de discontinuidad(3): infinito
39 Tipos de discontinuidad(4): esencial
40 Tipos de discontinuidad: clasificación
41 Tipos de discontinuidad: clasificación Evitable: existe el límite de la función pero no coincide con el valor de la función.
42 Tipos de discontinuidad: clasificación Evitable: existe el límite de la función pero no coincide con el valor de la función. Salto finito: existen los límites laterales pero no coinciden.
43 Tipos de discontinuidad: clasificación Evitable: existe el límite de la función pero no coincide con el valor de la función. Salto finito: existen los límites laterales pero no coinciden. Infinito: alguno de los límites laterales es infinito.
44 Tipos de discontinuidad: clasificación Evitable: existe el límite de la función pero no coincide con el valor de la función. Salto finito: existen los límites laterales pero no coinciden. Infinito: alguno de los límites laterales es infinito. Esencial: no existen límites ni son infinitos.
45 Asíntotas verticales
46 Asíntotas horizontales
47 Asíntotas verticales y horizontales: definición
48 Asíntotas verticales y horizontales: definición Definición (Asíntota vertical) La recta x = x 0 es asíntota vertical de la función f(x) si: lím f(x) = x x 0
49 Asíntotas verticales y horizontales: definición Definición (Asíntota vertical) La recta x = x 0 es asíntota vertical de la función f(x) si: Definición (Asíntota horizontal) lím f(x) = x x 0 La recta y = y 0 es asíntota horizontal de la función f(x) si: lím x f(x) = y 0
50 Asíntotas oblicuas
51 Asíntotas oblicuas: definición
52 Asíntotas oblicuas: definición Definición (Asíntota oblicua) La recta y = mx + b es asíntota de la función f(x) si la diferencia entre las ordenadas de los puntos de la curva y la recta tiende a cero cuando x tiende a infinito. lím (f(x) y) = lím (f(x) mx b) = 0 x x
53 Asíntotas oblicuas: definición Definición (Asíntota oblicua) La recta y = mx + b es asíntota de la función f(x) si la diferencia entre las ordenadas de los puntos de la curva y la recta tiende a cero cuando x tiende a infinito. lím (f(x) y) = lím (f(x) mx b) = 0 x x De aquí podemos calcular m y b: m = y b x f(x) b f(x) = lím = lím x x x x b = y mx = lím (f(x) mx) x
54 Agradecimiento Gracias por su atención.
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