Límite de una función Funciones continuas

Transcripción

1 Límite de una función Funciones continuas Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

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3 1 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO Límite cuando la variable tiende a infinito. Cuando escribimos f) = l queremos decir que cuando la variable se hace muy grande los valores de la función son muy próimos al número l. Gráficamente sería así: Figura 1: Límite cuando la variable tiende a infinito Vemos que en este caso la gráfica de la función cuando se hace muy grande se aproima a la recta horizontal = l. Veremos más adelante que esta recta se llama asíntota horizontal de la función ver figura 1 izquierda). Si el ite es infinito y de modo muy parecido si es menos infinito) escribimos: f) = y significa que eligiendo suficientemente grande la función toma valores tan grandes como se quiera, es decir, la gráfica de la función corta a cualquier recta horizontal ver figura 1 derecha). De forma más precisa figura 1): Figura 2: Límites cuando tiende a infinito Definición 1 Límite finito cuando ). El ite de la función f) cuando tiende a infinito es l, y se escribe: f) = l

4 2 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A UN NÚMERO FINITO. 4 si dado un número cualquiera ε mayor que cero, eiste un valor de la variable 0 tal que para los valores de mayores que 0, la distancia entre los valores de la función y el ite son menores que ε: ε > 0 0 > 0 = f) l < ε Definición 2 Límite infinito cuando ). Se dice que el ite de la función f) cuando la variable tiende a infinito es infinito y se escribe: f) = si dado cualquier número M, eiste un valor de la variable 0 a partir del cual los valores de la función son mayores que M: M 0 > 0 = f) > M Los ites cuando la variable tiende a menos infinito se definen de modo similar. Todas las reglas de cálculo de ites que hemos visto en el tema de sucesiones pueden aplicarse al cálculo de ites de funciones cuando la variable tiende a infinito. Ejercicio 1. Calcular los siguientes ites: 2 3 3) = = = = ) 2 = e ) = e ) +1 = e 1 2 ) 5+1 = e ) = e 0 = ) 2 = ) 2 1 = e = 0 ) ) 2 = = ) ) = =

5 2 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A UN NÚMERO FINITO. 5 Figura 3: Limite cuando la variable tiende a un valor finito 2. Límite cuando la variable tiende a un número finito. Cuando escribimos f) = l 0 queremos decir que cuando la variable toma valores próimos a 0, pero distintos de 0, la función f) toma valores próimos a l ver figura 3 izquierda). Es importante destacar que el ite de una función en un punto no depende del valor de la función en ese punto sino de los valores que toma en los puntos próimos. Para que haya ite, ni siquiera es necesario que eista la función en ese punto pero debe eistir en los puntos próimos. De forma más precisa figura 4): Definición 3 Límite cuando 0 ). El ite cuando tiende a 0 de la función f) es igual a l y se escribe: f) = l 0 si ε > 0 δ 0 < δ = f) l < ε. Figura 4: Límite cuando tiende a un número finito Si en los puntos próimos a 0 la función toma valores muy grandes, mayores que cualquier número fijado

6 3 FUNCIONES CONTINUAS. CASOS DE DISCONTINUIDAD. 6 previamente, diremos que la función tiende a infinito ver figura 3 derecha). f) = 0 El ite igual a menos infinito se define de modo similar. Si el ite tiende a 0 es infinito o menos infinito), la recta = 0 es una asíntota vertical de la función. 3. Funciones continuas. Casos de discontinuidad. Con las funciones que utilizamos habitualmente, si tienen ite finito, suele ocurrir que el ite de la función en un punto 0 coincide con el valor de la función: f) = f 0 ) 0 En este caso se dice que la función es continua en 0. Destaquemos que para que una función sea continua en 0 debe cumplirse que: - Eiste el ite de la función en el punto 0. - Eiste la función en el punto 0, es decir, el punto 0 pertenece al dominio de la función. - Ambos números 0 f) y f 0 ) son iguales. Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto. Pueden presentarse los siguientes casos: Discontinuidad evitable. Hemos dicho que el ite depende del valor que toma la función en los puntos próimos al punto pero es independiente del valor de la función en el punto. Así, es posible que una función tenga ite en el punto 0 pero no eista la función en ese punto o no coincida con el ite). En este caso se dice que la función presenta una discontinuidad evitable. f tiene una discontinuidad evitable en 0 0 f) f 0 ) Por ejemplo, la función: f) = sen no está definida en el punto = 0 ver figura 5). Sin embargo puede demostrarse queda sen = 1 0 Se llama discontinuidad evitable porque es posible darle un nuevo valor a la función en el punto de discontinuidad de modo que la nueva función así definida sea continua. Por ejemplo en la función anterior, definiendo: { sen f) = 0 1 = 0 obtenemos una función continua igual a la anterior en todos los puntos salvo en = 0. Salto finito. Algunas funciones tienen ites diferentes según que la variable se aproime al punto por la derecha o por la izquierda ver figura 6). Los ites laterales se indican mediante: f) ; 0 f) + 0

7 3 FUNCIONES CONTINUAS. CASOS DE DISCONTINUIDAD. 7 Figura 5: Discontinuidad evitable Figura 6: Discontinuidades por salto finito y por ite infinito donde los superíndices y + indican que tiende a 0 por la izquierda y por la derecha respectivamente. Que tiende a 0 por la izquierda significa que es próimo a 0 pero menor que 0 y que tiende a 0 por la derecha significa que es próimo a 0 pero mayor que 0. Por ejemplo, la función: { < 2 f) = tiene un salto finito en = 2, puesto que: f) = 1 ; 0 f) = Infinitos. El tercer tipo de discontinuidad son los infinitos de la función, es decir, los puntos 0 tales que: f) = 0 Por ejemplo, la función: f) = + 1 1

8 4 ASÍNTOTAS. 8 tiene un punto de discontinuidad en = 1 ya que ver figura 6): = Discontinuidad esencial. Se produce este tipo de discontinuidad cuando no eisten los ites laterales ni son infinitos. Por ejemplo, la función: f) = sen 1 no tiene ite cuando tiende a 0 figura 7). Podemos ver que, cuando la variable es muy próima a cero, la función oscila rápidamente entre 1 y 1 con una frecuencia que tiende a infinito a medida que tiende a cero. Figura 7: Discontinuidad esencial 4. Asíntotas. Las asíntotas son rectas tangentes a la curva en el infinito. En el caso de asíntotas verticales, esto significa que cuando tiende a 0 la distancia entre la curva y la asíntota tiende a cero y la pendiente de la curva tiende a infinito. En asíntotas horizontales y oblicuas la distancia entre la curva y la asíntota tiende a cero y, además, la pendiente de la curva se hace igual a la pendiente de la recta cero en el caso de la asíntota horizontal) cuando tiende a infinito. Podemos considerar los siguientes tipos de asíntota: Asíntotas verticales ver figura 6 derecha): = 0 asíntota vertical de f) 0 f) = Por ejemplo la función: y = tiene una asíntota = 1 puesto que: =

9 5 NUEVA DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD 9 Asíntotas horizontales ver figura 8 izquierda): y = y 0 asíntota horizontal de f) f) = y 0 Figura 8: Asíntota horizontal y oblicua Por ejemplo, y = 0 es una asíntota horizontal de la función y = = 0 Asíntotas oblicuas ver figura 8 derecha): porque: y = m + b asíntota oblicua de f) [f) m + b)] = 0 Puesto que y la ordenada de la asíntota) y f) son iguales cuando tiende a infinito, podemos calcular la pendiente m de la asíntota, del siguiente modo: y = m + b = m = y b f) b f) = = Una vez calculada la pendiente, se obtiene la ordenada en el origen b: y = m + b = b = y m = [f) m] Por ejemplo, para obtener la asíntota de la función: f) = se calculan los siguientes ites: = = ) de forma que la asíntota es y = = 2 = = 0

10 5 NUEVA DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD 10 Figura 9: Función continua 5. Nueva definición de continuidad Llamemos = 0 + figura 9): f) = f 0 ) = f 0 + ) = f 0 ) 0 0 = 0 [f 0 + ) f 0 )] = 0 = 0 f = 0 donde se ha llamado f a la variación de la función f cuando la variable cambia en la cantidad. Esta nueva definición puede epresarse de la siguiente forma: una función es continua, si a variaciones infinitesimales de la variable dependiente, corresponden variaciones infinitesimales de la variable dependiente. 6. Reglas para el cálculo de ĺımites 6.1. Límites cuando Reglas generales: Para calcular estos ites pueden aplicarse las siguientes reglas: ± k = k = k 0) k = { k > 0 0 k < 0 r = { r > 1 0 r < 1 k = k 0 = Cuando no se pueden aplicar esas reglas, los ites se llaman indeterminados y es preciso aplicar otros procedimientos. Son ites indeterminados los del tipo: Funciones polinómicas y racionales: Las indeterminaciones que se presentan se resuelven teniendo en cuenta solamente los términos de mayor grado de cada polinomio. Para calcular el ite de la diferencia de dos fracciones que tienden a infinito se hace previamente la resta. Otras funciones: Si hay que comparar infinitos de distintos tipos en indeterminaciones del tipo / o se tiene en cuenta que los infinitos más grandes son los eponenciales a ), después los potenciales n ) y finalmente los logarítmicos log a )

11 7 DOS LÍMITES IMPORTANTES Límites cuando tiende a un número c Regla general: Se aplica la definición de función continua, es decir, se sustituye por c. Límites infinitos: Si al calcular el ite de una fracción por el procedimiento anterior, el denominador es cero y el numerador es distinto de cero, el ite es infinito. Para saber si es + o, se calculan los ites laterales. Límites indeterminados: Si al calcular el ite de un cociente de polinomios resulta que, tanto el numerador como el denominador tienden a cero indeterminación del tipo 0/0), puede resolverse esta indeterminación dividiendo numerador y denominador por c. 7. Dos ĺımites importantes 7.1. El ĺımite 0 sen Figura 10: Límite de sen En la figura 10 se ha representado un ángulo sobre una circunferencia de radio 1. Si el radio es igual a la unidad, la longitud del arco coincide con la medida del ángulo en radianes. El seno y el coseno del ángulo son iguales a la ordenada y la abscisa del etremo del arco y así se han representado en la figura. También se ha representado un segmento de longitud igual a tg. De la figura se deduce que: sen < < tg y dividiendo por sen : 1 < sen < tg sen Cuando 0: 1 0 y también: sen 0 sen = sen = 1 < sen < 1 cos 1 cos = 1 1 = 1 = = sen 0 sen = 1

12 7 DOS LÍMITES IMPORTANTES El ĺımite 0 ln1 + ) La base de los logaritmos neperianos ln) es el número e. Este número se define como el ite de la siguiente función: e = ) o cambiando por 1/: Entonces: e = ) 1 ln1 + ) 1 = ln1 + ) = 0 0 ln1 + ) 1 = ln e = Aplicaciones al cálculo de ĺımites El hecho de que los dos ites que acabamos de calcular sean iguales a 1 quiere decir que cuando es próimo a 0, las funciones sen y ln1 + ) son aproimadamente iguales a. Esto lo podemos epresar de la siguiente manera: si 0 sen y ln1 + ) A partir de estas aproimaciones podemos obtener valores aproimados para otras funciones cuando 0: tg arsen artg 1 cos 2 2 e 1 1 ± ) n 1 ± n Estas aproimaciones pueden utilizarse para calcular ites. Solamente hay que tener cuidado cuando el numerador o denominador de una fracción son nulos después de hacer la sustitución. A partir del ite del logaritmo puede obtenerse una epresión útil para calcular ites indeterminados del tipo 1 : u 1 y v = u v = e u 1)v En efecto, sea l = u v. Entonces: y de aquí que: ln l = ln u v = aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia = v ln u = sumando y restando 1 = v ln [1 + u 1)] = multiplicando y dividiendo por u 1 l = e u 1)v ln [1 + u 1)] = vu 1) u 1 = vu 1) = y puesto que ln[1+u 1)] u 1 =1

13 8 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Propiedades de las funciones continuas Admitiremos sin demostración los siguientes teoremas relativos a funciones continuas: Teorema. Si f es una función continua en 0 y f 0 ) 0, en un entorno de 0 la función toma el mismo signo que en 0. Teorema. Si f es continua en 0 está acotada en un entorno de 0. Teorema. Una función continua en un intervalo cerrado, esta acotada en ese intervalo. Teorema Bolzano). Si la función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los etremos del intervalo a y b entonces eiste un punto interior del intervalo ξ en que el valor de la función es cero figura 11): f continua en [a, b] y signo fa) signo fb) = ξ a, b) fξ) = 0 Figura 11: Teorema de Bolzano Como consecuencia del teorema de Bolzano se verifica también que: Teorema Darbou). Si f es una función continua en [a, b] f toma en el interior de ese intervalo todos los valores comprendidos entre fa) y fb). Teorema Weierstrass). Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza un valor máimo y un valor mínimo en ese intervalo. Ejercicio 2. Demostrar que la ecuación e = 0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1]. Sea la función f) = e Esta función es continua en el intervalo [0, 1] puesto que es suma de funciones continuas en ese intervalo. Además f0) = e = 1 < 0 f1) = e = e > 0 De acuerdo con el teorema de Bolzano eiste un número ξ comprendido entre 0 y 1 en el que f vale 0. Entonces ξ es una solución de la ecuación.