1. GENERALIDADES SOBRE LOS POLINOMIOS.
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- Ana Isabel Plaza Herrera
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1 GENERALIDADES SOBRE LOS POLINOMIOS Funciones polinómicas LAS DEFINICIONES Sea p la función definida por: p ( ) = 2( 2 ) + 2 ( 2 ) + 2 2, p es una función de R en R Y para todo real, se tiene p ( ) = Se dice entonces que p es una función polinómica de grado 2 La forma p ( ) = de la función polinómica p es reducida y ordenada en potencias decrecientes de Escribiendo p ( ) = , diremos que su forma es ahora reducida y ordenada en potencias crecientes de Una función polinómica es una función p de R en R para la cual eisten números reales a n, a n, a n 2,, a 2, a, a 0, tales que para todo R, p ( ) = a n n + a n n + + a a + a 0 Los números reales: a n, a n, a n 2,, a 2, a, a 0 se llaman coeficientes de p Si a n, 0, se dice que la función polinómica p es de grado n (n N) Notación y vocaburario: Se escribe gr(p) = n para epresar que la función polinómica es de grado n Se dice que a i i es el término de grado i y que a i es el coeficiente del término de grado i Ejemplos: La función: p ( ) = p ( ) = La función: p ( ) = a a + a 0 a 0 0 es una función polinómica de grado 3, porque se puede escribir en la forma: es de grado 2 si a 2 0, de grado si a 2 = 0 y a 0, de grado 0 si a = a 2 = 0 y Constatas así que las funciones constantes no nulas son funciones polinómicas de grado 0 Una función polinómica que tenga todos sus coeficientes nulos es la función nula OPERACIONES CON FUNCIONES POLINÓMICAS Sean las funciones polinómicas p y q definidas por: p ( ) = 2 3 q ( ) = 2 4 entonces: ( p + q) ( ) = ( 2 3 ) + ( 2 4) = ( p q) ( ) = ( 2 3 ) ( 2 4) = y, para todo real λ, (λp)() = λ 2 3λ λ De manera general: La suma de dos funciones polinómicas es una función polinómica El producto de dos funciones polinómicas es una función polinómica El producto de un número real por una función polinómica es una función polinómica Propiedad: Dos funciones polinómicas p y q no nulas son idénticas si y sólo si tienen el mismo grado y los términos del mismo grado de p y q tienen los mismos coeficientes Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007
2 RAÍZ DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Sea p una función polinómica Se dice que el número real α es una raíz (o también un cero de p), si p(α) = 0 Observación: Si p es una función polinómica p ( ) = a n n a n n a 2 2 a a 0 El número real α es raíz de a n n a n n a 2 2 a a 0 si y solamente si p(α) = 0 Las raíces de p() son entonces las soluciones de la ecuación p() = 0 Ejemplo: 3 es raíz del polinomio pues: 2( 3) 3 20( 3) 6 = 0 FACTORIZACIÓN ENTRE (X - α) Una función polinómica p es factorizable (o divisible) entre ( α) si eiste un polinomios q tal que: p() = ( α)q() A la función polinómica q se le llama cociente de la división de p entre ( α) Ejemplo: Εl polinomio es factorizable entre ( 3) pues = ( 3)( 2 2) Propiedad: Una función polinómica p es factorizable entre ( α) si y solamente sí α es raíz de p Ejemplo: Εl polinomio es factorizable entre ( + 2) pues 2 es raíz de mientras que, no es factorizable entre ( 5) pues 5 no es raíz de REGLA DE RUFFINI-HORNER Consideremos la función polinómica p definida por: p ( ) = a n n + a n n + + a a + a 0 Si efectuamos la división de p() entre ( α), obtenemos un cociente q() de grado n : q ( ) = b n n + b n 2 n b b + b 0 y un resto r de grado cero De modo que: p() = ( α)q() + r con gr(r) = 0 Se tiene así: p() = ( α)q() + r = ( α)( b n n + b n 2 n b b + b 0 ) + r = b n n + ( b n 2 αbn ) n + + ( b 0 αb) + r αb0 Luego, identificando los coeficientes de p con los de esta última función polinómica, se obtiene: b n = a n b n 2 αb n = a n de donde b n 2 = a n + αb n b n 3 αb n 2 = a n 2 de donde b n 3 = a n 2 + αb n 2 r αb 0 = a 0 de donde r = a 0 + αb 0 Estas últimas igualdades nos permiten deducir una regla (algoritmo) llamada regla de Ruffini-Horner, debida a Paolo Ruffini matemático italiano ( ) y a William G Horner, que determina el cociente y el resto de la división Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos
3 de la función polinómica p() entre ( α): α a n a n a n 2 a 2 a a αb n αb n 2 αb 2 αb αb 0 b b 0 r b n b n 2 b n 3 GRADO, RAÍCES Y FACTORIZACIÓN Si una función polinómica no nula admite k raíces distintas α, α 2,, α k entonces eiste una función polinómica q tal que: p() = ( α )( α 2 ) ( α k )q() Se dice que p es factorizable por el producto ( α )( α 2 ) ( α k ) El número de raíces de una función polinómica no nula es menor o igual a su grado PRÁCTICA DE LA FACTORIZACIÓN Sea la función polinómica p definida por: p() = Puesto que p() = 0, eiste una función polinómica q de grado 2 tal que: p() = ( )q() B/ PRIMER MÉTODO Determinemos q utilizando el método llamado de los coeficientes indeterminados Se trata de hallar tres números reales a, b y c tales que: p() = ( )(a 2 + b + c) Con: ( )(a 2 + b + c) = a 3 + (b a) 2 + (c b) c y: p() = a = + 4 b a = 2 Se obtiene, utilizando el teorema, el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas siguiente: que c b = admite por solución única: a = ; b = 3 y c = 4 c = 4 Observa que tres ecuaciones son suficientes para determinar a, b y c La cuarta ecuación es de hecho una confirmación de que es una raíz de p B/SEGUNDO MÉTODO Otro método para obtener q consiste en dividir entre la epresión Se adopta una disposición práctica análoga a la utilizada para la división entre números O, si lo prefieres utilizas el esquema de Ruffini: p() 2 ( ) p() 2 ( ) 3 ( ) etc Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos
4 2 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES Se denomina función polinómica de tercer grado o función cúbica a toda función f definida sobre R, por una epresión de la forma: p() = a 3 + b 2 + c + d con a 0 y a, b, c y d reales Ejemplo: La siguiente función está representada en un sistema de ejes cartesianos: Qué información nos da esta gráfica sobre el comportamiento de esta función? Hay intervalos en que la función es creciente? En que intervalos es decreciente? Los puntos de corte de la gráfica con los ejes que información nos da? Con O: los valores de para los cuales la función se anula y también a partir de ellos los intervalos donde la función es positiva o negativa Con Oy: obtenemos f(0) o sea el término independiente de f y f()=-4( Sea α un número, α es raíz de f() si y sólo sí f (α)=0 Propiedad: Toda función polinómica de grado 3 admite al menos una raíz real En el caso del ejemplo las raíces son: Como vimos en el ejemplo anterior, el hecho de conocer las raíces de una función polinómica de tercer grado es muy útil Y el resultado de ésta propiedad nos asegura de algún modo que cualquiera que sean los coeficientes de la función siempre es posible epresarlo como producto de dos o tres funciones de grado menor a) P() = a 3 +b 2 +c+d = (-α)(a 2 +b +c ) o, b) P()= a 3 +b 2 +c+d = a (-α)(-β)(-γ) Pero además, el hecho de poder factorizar una epresión, tiene también sus ventajas a la hora de tener que calcular determinadas epresiones, al igual que ocurre en el cálculo numérico CÓMO DETERMINAR LAS RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA DE TERCER GRADO? Ejemplo: Se quieren hallar todas las raíces de f()= , sabiendo que 3 es una raíz El procedimiento práctico para la obtención de una factorización del polinomio es el esquema de Ruffini: Los números que aparecen en la tercera fila serán los coeficientes de la epresión de 2º grado que completa la factorización del polinomio si se obtuvo resto 0 Para hallar las raíces del cocientes dispone de una fórmula y para obtener su factorización Luego de obtener que, 2 son raíces de = 0 se tiene que: f() = = ( 3)( ) = 2( 3)( + )( + 2) y que por lo tanto las raíces de f()= son: 3, y 2 Prescindimos de escribir la variable en las distintas potencias pero dejando una columna para cada una de ella Solo escribimos en cada columna los coeficientes (eventualmente 0 si uno de los términos de la variable no aparece) En la segunda fila y en una columna anterior al término de 3º grado escribimos la raíz y Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos
5 3 RAÍCES EVIDENTES EN UNA FUNCIÓN POLINÓMICA: RAIZ CERO: Una función polinómica admite raíz cero (0) cuando no tiene término independiente Ejemplo: f()= Factorizamos: f()= ( 2 +3+) RAÍZ UNO: Una función polinómica admite raíz uno () cuando la suma de sus coeficientes es cero Ejemplo: f()= RAÍZ MENOS UNO: Una función polinómica admite raíz menos uno ( ) cuando la suma de los coeficientes de los términos con eponente par más la de los términos con eponente impar es cero Ejemplo: f()= EJERCICIOS: CÁLCULOS Determina los coeficientes y el grado de cada una de las funciones polinómicas siguientes que deberás escribir en su forma reducida y ordenada p() = ( + )( + )( + ) p() = ( )( + )( + ) p() = (2 ) 3 p() = ( )( + ) + ( + ) + 3 p() = (+ ) Desarrolla y ordena, según potencias decrecientes, los polinomios siguientes: a) ( + ) b) ( + )( + 2) + ( + 2)( + 4) c) ( )( 2 + ) + ( 3 + )( + ) d) 2 ( +) ( + 2) e) ( + ) 3 ( + 2) 3 FACTORIZACIÓN 3 Busca el factor común y factoriza: a) 2 + ( + )( 3 + 2) b) c) ( 2 + ) + 2 ( + ) 2 d) ( 2 4)( +3) Sea la función polinómica: p() = Calcula p(2) y deduce una factorización de p() Resuelve luego la ecuación p() = 0 5 Da, para cada función polinómica p y para cada cero de p una factorización de p() Resuelve la ecuación p() = 0 a) p() = y p( 2) = 0; b) p() = y p( ) = 0 c) p() = y p( 2 ) = 0 6 a) Verifica que es raíz del polinomio: f() = b) Determina los números reales a, b y c tales que: f() = ( )(a 2 + b + c) 7 a) Verifica que es raíz del polinomio: f() = 3 2 b) Si = + h, calcula f ( + h) y factoriza h en esa epresión c) Deduce una factorización de f() 8 Idem que el ejercicio anterior para: a) raíz: 2 b) raíz: 9 a) Factoriza 3 8 b) Demuestra que la ecuación admite una única solución 0 Halla todos las funciones polinómicas de grado tres que admiten a los reales, 2 y 3 por raíces Eisten funciones polinómicas de grado tres que admiten a los reales, 2, 3, y 4 por raíces? 2 a) Verifica que y son raíces del polinomio: f() = b) Calcula f ( + h) y muestra que f() = ( + ) g() donde g() es un polinomio tal que g( ) = 0 c) Deduce una factorización de g() y luego de f() Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos
6 3 a) Determina el número real a para que el polinomio p() = a 84 sea divisible entre +2 b) Deduce una factorización de p() c) Resuelve luego la inecuación p() 0 4 Determina tres términos consecutivos de una sucesión aritmética de razón 4 sabiendo que su producto es igual a 5 b) Muestra que el punto M(; y) pertenece a (P) y a (H) si y sólo sí y = = 0 y y = -- c) Determina la intersección de (P) y (H) 20 Sea la función polinómica p() = y C la curva de ecuación y = p() a) Determina gráficamente el número de raíces de p CÁLCULOS CON FRACCIONES RACIONALES 5 Es posible simplificar una fracción racional si el numerador y el denominador tienen una raíz común Es posible simplificar las fracciones siguientes? Si tu respuesta es afirmativa, simplifícalas a) b) c) d) e) f) ( + 2) Da una escritura simplificada de f() en los siguientes casos: 2 a) f ( ) = b) f ( ) = c) + 4 f ( ) = b) Muestra que p admite una raíz entera c) Escribe la descomposición factorial de p 2 Sean las funciones polinómicas: p():= y q():= Y y C y C 2 las curvas de ecuaciones respectivas y = p() y y = q() d) e) f ( ) = f ( ) = INTERSECCIÓN DE CURVAS Y ECUACIÓN En los ejercicios del 7 al 9 se considera un referencial ortonormado 7 Determina una función polinómica de grado 3 y cuya representación gráfica pase por los puntos: 3 A(-; ); B(0; ); C(; ) y D(2; -- ) 2 8 a) Determina los números reales a, b y c de manera que la parábola (P) de ecuación y = a 2 +b+c pase por los puntos A(;0), B( ; ) y C( 3;2) b) Sea (H) la hipérbola de ecuación y = -- Verifica que (H) pasa por B c) Determina los puntos comunes de (P) y (H) 9 Sea la parábola (P) de ecuación y = 2 + y (H) la hipérbola de ecuación y = -- 2 a) Traza (P) y (H) (Utiliza 2 cm como unidad de longitud) Cuál parece ser su intersección? b) Asocia cada representación gráfica con la función polinómica correspondiente a) Ayudándote de las representaciones gráficas determina una raíz entera de p() q() c) Factoriza p() q() y deduce las soluciones de la ecuación p() = q() d) Resuelve en R la inecuación p() q() PROBLEMAS 22 ) Sea h() el polinomio a) Muestra que 2 y 2 son dos raíces de h() b) Determina los números reales a, b y c tales que: h() = ( 2 2)(a 2 + b + c) 3 2) Sea f() la fracción racional h ( ) 4 4 a) Determina el conjunto de definición de f() N ( ) b) Escribe f() de la forma donde N() y D() son dos D ( ) polinomios c) Resuelve la ecuación f() = 0 Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos
7 23 Sea el polinomio f() = Se desea determinar, si eiste, una raíz α de f que sea entera Se tiene entonces que α 3 7α 2 + 0α + 8 = 0 a) Escribiendo la igualdad anterior de la forma: ( α 2 + 7α 0) α = 8, verifica que necesariamente α es un divisor de 8 b) Cuáles son los valores positivos posibles de α? c) Determina una raíz entera de f d) Determina todas las raíces de f 24 El sólido representado en la figura está compuesto de un cubo de arista 5 cm, de un prisma recto cuya base AEI es un triángulo I J E A H D F B G C K Funciones polinómicas rectángulo en A e isósceles y de un tetraedro CBKG, cuyas caras CBK, CKG y CBG son triángulos rectángulos en C e isósceles Se corta ese sólido con un plano P paralelo al (ABC) y la distancia entre ambos planos es h ) Dibuja la sección del sólido con el plano P )Sean A,B, G, K, C, D, J, E I, las intersecciones de P con los segmentos [AE], [BF], [KG], [CG], [DH], [JH], [IE], A) Calcula el volumen V(h), en función de h el volumen del tetraedro CB K G y el volumen del prisma EI J D HJ b) Epresa el volumen V(h) del sólido comprendido entre los dos planos P y (ABC) 3) Sabiendo que el problema admite por solución un número entero, resuelve la ecuación: Vh ( ) A la manera de antes, Determina la arista de un cubo sabiendo que la suma de su volumen, de las áreas de las caras y de las longitudes de sus aristas es 208 (Busca la solución entera y luego las otras soluciones eventuales) = TRABAJOS COLECTIVOS 2 INTERSECCIÓN DE CURVAS Sabes que para sumar dos fracciones, es necesario reducirlas a un denominador común, que siempre se puede tomar como el producto de los denominadores Por ejemplo y admiten a por denominador común Pero pueden eistir otros, en este caso 5 5, que simplifican los cálculos Lo mismo sucede cuando se trabaja con las fracciones racionales SENTIDO DE VARIACIÓN DE UNA SUCESIÓN Considera la sucesión (u n ) cuyo término general está definido por: u n + 2 n = n 3 a) A partir de que índice u n está definido b) Calcula de diferencia u n+ u n (Debes reducir la epresión obtenida a común denominador) c) Cuál es el signo de u n+ u n? Deduce el sentido de variación de ( u n ) n 4 El objetivo de este trabajo es estudiar una situación en la cual las factorizaciones de polinomios permiten resolver problemas de intersección de curvas o de la posición de una curva respecto a otra Se considera en un referencial ortonormado del plano, la curva C de ecuación y = 3 y el punto A de C de A abscisa ) Sea r la recta que pasa por A de coeficiente director a) Determina una ecuación de r b) Estudia la intersección de r y C 2) Sea r 2 la recta que pasa por A de coeficiente director 2 a) Determina una ecuación de r 2 b) Escribe una ecuación (E) que permita obtener las abscisas de los puntos de intersección de r 2 FRACCIÓN RACIONAL 2 y C c) Verifica que es una raíz de (E) y determina tres números reales a, b y c, tales que para todo número : Se considera la función f definida en R por: f) = = ( )(a 2 + b + c) e) Estudia la intersección de r a) Determina el conjunto de definición de f 2 y C 3 Sea r b) teniendo en cuenta la parte, determina un denominador común a y a Calcula ahora f() b) Escribe una ecuación (E) que permita obtener las abscisas de 3 la recta que pasa por A de coeficiente director 3 a) Determina una ecuación de r los puntos de intersección de r 3 y C c) Verifica que es una raíz de (E) y determina tres números reales a, b y c, tales que para todo número : c) Resuelve la ecuación f() = 0 d) Escribe f( +) en forma de fracción racional y simplifica la = ( )(a 2 + b + c) f ( + ) d) Estudia la intersección de r fracción racional observando que su numerador y su denominador admiten un factor común la posición de la curva C respecto a la recta r 3 (es decir, indicar 3 y C f ( ) e) Estudia el signo de 3 (3 2) según los valores de y deduce si C esta por encima o debajo de r 3 ) Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos
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