Factorización de polinomios

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Claudia Montoya Maestre
hace 9 años
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1 Factorización de polinomios Entre las funciones importantes de la Matemática está la familia de las funciones polinómicas. Una función polinómica puede definirse de manera que su dominio sea el conjunto de todos los números reales o el conjunto de los números complejos Por ejemplo, la función puede considerarse como definida sobre : y esto significa que para cada número complejo, se tiene: Así, por ejemplo: Si, en cambio, se define se trata de una función diferente a, aunque tengan la misma regla de correspondencia. y son distintas, porque sus dominios respectivos son distintos; sin embargo, para todo número real, Ejercicio: Comprueba que si es un número real, visto como número complejo ( ), se cumple que Una de las diferencias interesantes que tienen las funciones y es la siguiente: 1.-, para todo número real, ya que, en ese caso, y por lo tanto 2.- para ciertos número complejos : equivale a ó Entonces, y

2 Se puede resumir esta información diciendo que la ecuación reales, pero sí tiene dos soluciones complejas: y. Se dice que y polinomio. Gráficamente, el hecho de no tener raíces reales el polinomio no tiene soluciones son las raíces del, significa que la curva que representa gráficamente a la función,, no corta al eje de las abscisas en ningún punto. Esto implica, además, que el polinomio, si se considera como función con dominio, no se puede factorizar, es decir, no se puede escribir como producto de polinomios de grado menor que 2. Si fuera posible factorizarlo, se tendría: para ciertos números reales y, y eso significa que y serían raíces reales del polinomio : Por otra parte, si se admiten coeficientes en, se tiene que decir, sí se puede factorizar en este caso. Estas consideraciones hechas aquí en torno al polinomio fueron, desde el Renacimiento (s. XVI) hasta entrado el siglo XIX, motivo para muchas investigaciones importantes de los matemáticos de la época, para poder responder preguntas como las siguientes:. Es 1. Qué relación hay entre las raíces de un polinomio y su factorización? 2. Es siempre posible factorizar un polinomio de grado, cualquiera que sea? En otras palabras: 3. Existe algún polinomio que no tenga ni una sola raíz, ni real, ni compleja? 4. Es siempre posible encontrar una fórmula para determinar las raíces de un polinomio dado? En lo que sigue, se estudiarán las respuestas que aquellos investigadores encontraron a estas y otras preguntas. El Teorema del Resto: Para descubrir la relación que hay entre una raíz de un polinomio y la factorización de éste, se puede comenzar observando lo siguiente, si: es un polinomio, y es un factor de, es decir, entonces es una raíz de, es decir,

3 Esto último es muy fácil de deducir a partir de las premisas dadas, pues Ahora, será cierta la afirmación recíproca? Es decir, será cierto que si es una raíz de un polinomio, entonces es un factor de? Por ejemplo, si Es fácil comprobar que es una raíz, pues. Podría asegurarse entonces que existe un polinomio qué, de grado 2, tal? Como la igualdad anterior equivale a decir que y la división es exacta, no resulta extraño el enterarse de que la respuesta a esta pregunta se obtiene fácilmente del llamado Teorema del Resto, que dice lo siguiente: Teorema del Resto: Si es un número real o complejo y es un polinomio de grado mayor o igual que 1, entonces al efectuar la división se obtiene como resto. Es decir, Esto significa que, por ejemplo, sin efectuar la división, se puede concluir a partir de la validez del Teorema del Resto, que el resto en esa división será -7 pues si entonces : La demostración del Teorema del Resto es muy sencilla: Suponiendo que es un polinomio de grado, y, al dividir a entre se obtiene un resto, de grado menor que 1, que es el grado del divisor. Es decir, es de grado cero (un número); así, se puede escribir. Pero y por lo tanto: Es decir,. Queda así demostrado el Teorema del Resto. Ahora, puede deducirse

4 fácilmente la respuesta a la pregunta anterior: si es raíz del polinomio, es un factor de? La respuesta es afirmativa. Esto responde a la pregunta 1) planteada antes. Por esa razón, un polinomio grado no puede tener más de raíces, porque si tiene raíces (,,..., ), entonces tiene los factores:,,..., es decir, de Eso significa que el grado de tiene que ser mayor o igual que. Ahora bien, esto dice que el número máximo de raíces de un polinomio de grado es, pero no dice nada acerca del número mínimo de raíces que puede tener. El Teorema que aclara este asunto es el llamado Teorema Fundamental del Álgebra (su nombre declara su importancia): Un polinomio de grado tiene exactamente raíces en. (Recordando que, esto significa que, de las raíces, algunas pueden ser reales). Este teorema fue demostrado en 1799 por primera vez por Gauss. Gráficamente, esto refleja en el hecho de que una función polinómica de grado que tenga sus raíces reales y distintas, cortará al eje de las abscisas en puntos. Por ejemplo, el polinomio tiene 3 raíces reales:,,. Su representación gráfica aproximada es la que se muestra en la figura de la derecha. El teorema Fundamental del Álgebra responde entonces a las preguntas 2) y 3): Como todo polinomio de grado ( ) tiene raíces:,,...,, y cada binomio de la forma es un factor de, entonces este polinomio se factoriza así: donde es un número real o complejo, no nulo. En otras palabras, todo polinomio se puede factorizar en factores lineales (de grado 1). En busca de las raíces : En los tiempos de la antigua Babilonia, los expertos en Matemáticas de aquella época, cerca de años a.c., conocían la fórmula para encontrar la raíz positiva de una ecuación de segundo grado, en esencia la que conocemos hoy. Más de años después, en el siglo XVI lograron algunos algebristas italianos encontrar las fórmulas para resolver las ecuaciones de grados 3 y 4. Después de estos logros casi heroicos, los matemáticos de los siglos XVII y XVIII trabajaron muy duro tratando de encontrar una fórmula para resolver ecuaciones de grado, sin obtenerla nunca. Tuvo que llegar el día en que todo este gran esfuerzo llegara a su fin, en los principios del siglo XIX. Dos jóvenes matemáticos de asombroso talento, Niels H. Abel y Evariste Galois demostraron que no es posible encontrar una fórmula que permita calcular las

5 raíces de un polinomio de grado 5 o mayor, a partir de sus coeficientes. Abel y Galois trabajaron independientemente, nunca se conocieron, y ambos murieron a muy temprana edad. Gracias a ellos, ya nadie se ocupa de tratar de encontrar una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5; se han desarrollado métodos de aproximación a las soluciones y de tanteo, que ayudan a encontrar las raíces de un polinomio de grado mayor o igual que 5. Hay varios hechos que es bueno conocer en relación a las raíces de un polinomio. Entre ellos, están los siguientes: 1.- Si el número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz de ese polinomio. En vista de esto, un polinomio de grado par puede tener todas sus raíces complejas, pero uno de grado impar debe tener al menos una raíz real. 2.- Una raíz de un polinomio se dice que es simple si el factor aparece sólo una vez en la factorización del polinomio; se dice que es doble si aparece dos veces y múltiple, si aparece 3 o más veces. Por ejemplo, si., se puede demostrar que Aquí, 2 es una raíz doble y es una raíz simple de. La representación gráfica de esta función polinómica es, aproximadamente, la que se muestra a la derecha. Se observa que en, la raíz doble, la curva es tangente al eje de las abscisas. 3.- Si el polinomio tiene coeficientes enteros, entonces cualquier raíz entera de es un divisor de. Por ejemplo, en el polinomio las dos raíces enteras:,, son divisores de 12. No es cierto que cualquier divisor de 12 es una raíz, porque en este caso 4 y 6 son divisores de 12 y no son raíces de. 4.- Si el polinomio tiene coeficientes enteros y es una raíz racional de, irreducible, entonces divide a y divide a. Por ejemplo: tiene como una de sus raíces a. Se cumple que 2 divide a, pues y 3 divide a 3, pues. 5.- Regla de Ruffini: En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma (x-r). Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla

6 de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x-r) (siendo r un número entero) si es coherente. Ahora se puede aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para encontrar las raíces de : Por lo tanto, Las 4 raíces de son: Así, la factorización de es:

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