x a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente.

Transcripción

1 or lo tanto: para determinar epresiones a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente. Apliquemos este resultado para encontrar los divisores del polinomio El término independiente es, sus divisores son:, -, y. robemos, por ejemplo, con a y dividamos por usando la regla de Ruffini: - 0 = r como el resto es cero, la división es eacta, luego, es divisible por y el cociente puede ser epresado como sigue: ó. EJERCICIOS.- Usar la regla de Ruffini para determinar el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) 7 b) 6 0 d) 6 c).- Cuánto debe valer m para que al dividir m por la división sea eacta?. 7. Valor de un polinomio para a El valor numérico de un polinomio sustituir por a en ( ) para a es el número que se obtiene al y lo designamos por a. or ejemplo, si 7 ara obtenemos 7 polinomio ( ) en es. ara obtenemos 7, es decir, el valor del Efectuemos ahora las divisiones: y 69

2 = r -6 r' y los restos r y r coinciden con, respectivamente. Estos resultados no son casuales, según demostraremos a continuación:. Teorema del resto El resto de la división de un polinomio polinomio cuando a, es decir: por a r a es igual al valor numérico del Antes de abocarnos a la demostración, es necesario comprender lo que nos dice el teorema: Si dividimos el polinomio por a resto r. Si calculamos el valor numérico del polinomio número al que llamamos Demostración Sabemos que: a C r en la igualdad anterior sustituimos por a, obtenemos: obtenemos, además de un cociente, un cuando = a, obtenemos un a. El teorema nos asegura que r es igual a a a a aca r 0 Ca r r luego a r, que es lo que queríamos probar. Ejemplo Cuál es el resto de la división de 0 7 r entonces el resto es 6.. por? Una aplicación inmediata e interesante del teorema del resto es la posibilidad de determinar, con cálculos sencillos, cuando un polinomio es divisible por otro de la forma a, lo que traducido a lenguaje matemático es: es divisible por a si y sólo si r 0 Ejemplo El polinomio 0 9 es divisible por? El resto de la división es: r por lo tanto la respuesta es afirmativa. 70

3 EJERCICIOS.- Calcular el valor numérico del polinomio 6 para: a) b) 0 c) d) e).- Calcular sin dividir, el resto de las divisiones que siguen: a) 9 c) 8 7 b) 8 d).- a) Calcular el cociente y el resto de la división 7 8 b) Según el resultado encontrado, puedes escribir el polinomio dividendo como producto de dos factores?...si tu respuesta es afirmativa...escríbelo!. Raíces de un polinomio Un número real a es raíz del polinomio 0 () si a es solución de la ecuación: Esta definición nos dice que si reemplazamos en el polinomio a la indeterminada por a, ésta verifica la ecuación (), es decir: a 0. Obtenemos así, una consecuencia importante: Si a es raíz de entonces el polinomio podemos epresarlo de la forma: a C donde C es el cociente de dividir a por a es divisible por a, por lo tanto a. Un ejemplo nos dejará mas clara esta conclusión.? Respondemos a esta pregunta, calculando: Ejemplo Es raíz del polinomio Como 0, es raíz de, por lo tanto Con la Regla de Ruffini determinamos el polinomio es divisible por. C dividiendo por :

4 C luego A () lo tenemos epresado como producto de dos polinomios, uno de º grado: por otro de º grado:. De igual manera, podemos analizar si es posible encontrar un factor a que divida al polinomio C. El término independiente,, es múltiplo de. Será una raíz?. como, efectivamente es raíz, C Regla de Ruffini para determinar el polinomio cociente C es divisible por y aplicamos nuevamente la - 6 C 8 0 luego C 8 por lo tanto C 8 Reemplazando este último resultado en la epresión () de (), nos queda 8 etrayendo el factor común del último paréntesis resulta: Es decir, hemos logrado una factorización completa de Observación: El grado de Si el polinomio. es y tiene raíces. En general, se cumple: es de grado n entonces tiene como máimo n raíces... Factor común En el polinomio C 8, el número divide a cada término, entonces pudimos etraerlo como factor común, es decir C Esta etracción que la hicimos casi al finalizar la factorización de, la podríamos haber realizado antes, más aún, en el futuro, cada vez que tengamos que factorear un polinomio, es conveniente primero etraer todos los factores comunes y luego continuar con su factorización. 7

5 Analicemos nuevamente al polinomio: 8 8 Observando los coeficientes notamos que son todos múltiplos de, así, es factor común: Luego continuamos con su factorización y debemos obtener: Ejemplos En las siguientes epresiones, etraer todos los factores comunes: 6 a b 8 abc a b c ab a c ab c Factorización de olinomios En este punto, son dos los interrogantes importantes que debemos plantearnos antes de desarrollarlo: Qué es factorear un polinomio? y Cómo lo hacemos?. La primera pregunta es probable que la recordemos: Factorear o factorizar un polinomio es epresarlo como producto de factores. Responder la segunda no es tan inmediata. Es natural suponer que los últimos temas desarrollados nos dan las herramientas que necesitamos. Volvamos al ejemplo analizado anteriormente: Al polinomio lo factorizamos totalmente y llegamos a lo siguiente: 8 8 Detengámonos un instante a analizar la epresión factorizada del polinomio: El número es igual al coeficiente principal del polinomio o el coeficiente del término de mayor grado. Los términos independientes de cada uno de los factores de primer grado, cambiados de signo,, y, son justamente las raíces de. Recuerda: aplicando la propiedad distributiva volvemos a la epresión que teníamos al principio. Esta forma de factorear el polinomio es en realidad un caso particular del siguiente resultado general: Si r n n,r,,rn son raíces del polinomio a a... a a n n o si se verifica: entonces el polinomio se puede escribir de la forma: r ; r 0 ; ; r 0 0 n a r r n r n llamada descomposición factorial del polinomio.-, es decir, 7

6 Ahora, ya estamos en condiciones de contestar el segundo interrogante. Vamos a factorear utilizando todo lo aprendido, los siguientes polinomios: Ejemplos A( ) 9 B ( ) 8 6 D( ) E 9 6 F 6 El primer paso a seguir (siempre que sea posible) es:. Sacar factor común Observamos que, los polinomios A ( ) y F ( ) tienen factor común, por lo tanto los etraemos: A( ) ( ) F 6. Como no quedan totalmente factorizados los polinomios, utilizamos las igualdades notables y/o el método de las raíces: odemos continuar factorizando al polinomio A ( ), utilizando las igualdades notables: 9 es una diferencia de cuadrados, por lo tanto: A( ) 9 ( )( ) A( ) 9 queda así totalmente factorizado. Los polinomios B ( ) y C ( ) son igualdades notables: cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados, respectivamente. Aplicando estos recursos logramos sus factorizaciones: B( ) C( ) 8 6 En los polinomios E ( ) y F( ) ( 6), no es posible usar ninguna igualdad notable. ara lograr su factorización, utilizaremos el método de las raíces, procediendo como sigue: Consideremos primero el polinomio F Antes, sacamos el factor común (esto significa que 0 es una raíz de F ), quedando epresado: F( ) ( 6) = Q () Q Ahora factoreamos a Q. El término independiente de Q? son:, -,, -,, -, 6 y 6. Cuáles de ellos son raíces de robamos: Q no es raíz Q - no es raíz Q es raíz por lo tanto, dividimos a Q por Q es - 6, cuyos divisores 7

7 Q luego, Q Q () Q, los divisores de son:, -, y, probamos repetimos el proceso con directamente con y (ya sabemos que y no son raíces). dividimos Q por Q no es raíz Q - es raíz luego: Q Q Q reemplazando en () obtenemos: Q Q Q aquí paramos el proceso, porque Q no tiene raíces reales (notemos que Q es la suma de dos cantidades siempre positivas, luego para todo R nunca es cero), luego reemplazando la última epresión de 6 Q en () obtenemos: que es la factorización completa del polinomio F 6 Factorizamos ahora al polinomio: E 9 6 El término independiente es, sus divisores son:, -, y Calculemos: 8 E 0 - es raíz E no es raíz 7

8 Dividimos E por Q luego: E ahora factorizamos:. Tenemos dos opciones: repetimos el procedimiento anterior o, como es un polinomio de º grado, podemos usar la fórmula para determinar sus raíces:, en consecuencia, las raíces son: 0, por lo tanto Q luego: quedando totalmente factorizado E ( ). Resumiendo 8 9 Determinamos alguna raíz entera de probando con los divisores del término independiente, por ejemplo a. Efectuamos la división de por a determinando otro polinomio aq Q tal que: Repetimos el proceso con Q y así seguimos hasta que obtenemos un polinomio que no se pueda descomponer y así tenemos la factorización de Nota: si un polinomio de grado n tiene al menos n raíces enteras, es fácil factorizarlo, de lo contrario es mucho más complicada su factorización. Con todo lo que hemos aprendido, además de factorizar, también podemos construir polinomios con características que nos convengan. or ejemplo: Sólo con raíces enteras: 0 Sólo con raíces fraccionarias: Con raíces enteras y fraccionarias: Sin raíces reales: E

9 EJERCICIOS.- Sin calcular, razona porqué y no son raíces del polinomio.- a) Razonar porqué,,,,, son posibles divisores de b) orqué no puede serlo?. c) Factorear el polinomio dado..- Factorear: a) 6 0 d) 8 b) 0 e) c) 8 f) 6.- Escribir un polinomio: a) con raíces -, y b) de cuarto grado con raíces -, y..6 EXRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Una epresión algebraica fraccionaria o epresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios, es decir: R tal que Q 0 Q Ejemplo a) ; b) ; c) ; d) Las epresiones algebraicas racionales son, en muchos aspectos, muy semejantes, a lo números fraccionarios (números racionales). Así por ejemplo en (a) es el numerador y es el denominador de la epresión algebraica. Cuando el numerador y el denominador de una epresión racional no tienen factores en común (ecepto y ) decimos que es irreducible. Las epresiones del ejemplo son todas irreducibles. Reducimos la epresión racional a su mínima epresión factorizando completamente el numerador y el denominador, simplificando los factores comunes, por ejemplo: Ejemplo a) b)

10 Dos fracciones algebraicas Q y R S ( ) S( ) R( ) Q( ) son equivalentes si y sólo si: La epresión: 6 es equivalente a, también lo es: 8 6 con, porque estas epresiones son obtenidas de las primeras efectuando simplificaciones. También son equivalentes ambas son iguales a y porque al simplificarse Es claro que al multiplicar el numerador y el denominador de una epresión algebraica por un mismo polinomio, se obtiene una epresión equivalente a la dada, es decir: Usando este último resultado, dadas varias epresiones podemos encontrar otras, equivalentes a ellas, que tengan el mismo denominador, es decir, las reducimos a común denominador. El ejemplo que sigue nos muestra como hacerlo: Ejemplos Reduce a común denominador las epresiones: ; ; rocedemos como cuando trabajamos con las fracciones, es decir, hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores factorizados:.,, m. c. m Recuerda: Mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor eponente El denominador común de las epresiones es el m.c.m. luego, se divide el m.c.m. por el denominador de cada epresión, posteriormente se multiplica cada numerador por el resultado de tal división, obteniendo las epresiones algebraicas: ; ; esta última no cambió, porque el denominador común es justamente su denominador. 78

11 79.6. Suma y Resta Ejemplo : La resta es un caso particular de la suma, por ejemplo: Ejemplo :.6. roducto o multiplicación Ejemplos: a) b) 9.6. Cociente o división Ejemplos: a) b) c) 7 ara sumar epresiones algebraicas racionales, se reducen a común denominador y se suman los numeradores resultantes.- El producto de dos epresiones algebraicas racionales es igual a la epresión que resulta de multiplicar los numeradores dividida por la multiplicación de los denominadores.- El cociente de dos epresiones algebraicas racionales es igual a la epresión que resulta de multiplicar la primera por la inversa de la segunda.-