Factorización de Polinomios

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1 Factorización de Polinomios Curso de Nivelación Ingreso FaMAF 2016 Marcelo E. Rubio Abstract En este apunte se introduce el concepto de factorización de polinomios, y se muestran algunas herramientas útiles para factorizar ciertos polinomios mediante varios ejemplos. Para ello, en las primeras secciones se revisan algunos conceptos sobre divisibilidad. Se recomienda al lector revisar previamente las operaciones entre polinomios. 1 Introducción Una de las operaciones básicas que aprendemos en la escuela es a dividir números naturales. El objetivo al hacer la división es encontrar dos nuevos números naturales: el cociente y el resto. Por ejemplo, si queremos hacer la división de 13 por 4, obtendremos como cociente 3, y como resto 1. Pero, qué significa esto? El cociente nos indica cuántas veces entra el 4 en el número 13, y el resto es lo que nos falta para llegar al 13, ó bien lo que sobra al repartir equitativamente 13 elementos entre 4 receptores. De hecho, vale que 13 = , es decir, el 4 entra 3 veces en el 13, y para llegar a 13 debemos sumar 1, esto es, su resto. No es difícil imaginar que esto suceda en general, siempre y cuando el dividendo sea mayor o igual al divisor. Así, dados dos números naturales a y b (con a > b), al efectuar la división entera a : b, obtendremos dos naturales: uno llamado cociente, que denotaremos con la letra q, y otro llamado resto, que denotaremos con la letra r. Siempre será r < q, pues si esto no fuera así, podríamos seguir haciendo la división hasta obtener un resto que sí lo cumpla 1. De esta manera, siempre es posible escribir al dividendo a como merubio@famaf.unc.edu.ar. 1 Una vez que la condición r < q se cumple, no es posible continuar con la división entera dado que se viola la condición de que el dividendo sea mayor o igual al divisor. 1

2 es decir, a = b q + r, dividendo = divisor cociente + resto. Esta estructura o descomposición del dividendo en términos de su divisor, cociente y resto, es tan general en los números enteros que se verifica también para polinomios. Esto es, dados dos polinomios P (x) y D(x) tales que el grado de P (x) sea mayor 2 al grado de Q(x), al efectuar la división P (x) : D(x), se obtienen dos nuevos polinomios: el polinomio cociente Q(x) y el polinomio resto R(x), tal que la descomposición P (x) = D(x) Q(x) + R(x), (1) se verifica. Es importante resaltar que, en analogía con la división entre números enteros, el algoritmo de división termina cuando el grado de R(x) es estrictamente menor al grado del divisor D(x), pues de lo contrario, podría seguirse con la división hasta lograr que eso suceda. Ejercicio: Revisar los ejemplos de división de polinomios que aparecen en el Capítulo de Polinomios del apunte del Curso de Nivelación y verificar que la igualdad (1) se verifica en todos los casos. 2 Divisibilidad y raíz de un polinomio Supongamos que tenemos dos polinomios P (x) y D(x) tal que el grado de P (x) es mayor al grado de D(x), y deseamos hacer la división P (x) : D(x). Diremos que P (x) es divisible por D(x) cuando R(x) = 0, es decir, el resto obtenido al hacer a división es el polinomio nulo. De este modo, P (x) = D(x) Q(x), sólo cuando P (x) es divisible por D(x). (2) Notar que esto es completamente análogo a lo que sucede con números enteros, en el sentido de que dos números enteros son divisibles si al efectuar su división, el dividendo es múltiplo del divisor 3. 2 La condición de que el grado de P (x) sea mayor al grado de Q(x) es equivalente a pedir que, para números enteros, el dividendo sea mayor que el divisor para poder efectuar la división entera. 3 Recordar que decimos que a es múltiplo de b si puedo encontrar un número entero c tal que a = bc. Claramente, esto es lo mismo que decir que a es divisible por b (y también por c!). 2

3 Otro concepto importante es el de raíz de un polinomio. Para introducirlo es conveniente recordar qué significa evaluar un polinomio en un número real. Evaluar o especializar un polinomio P (x) en un número real x = a, es encontrar el número P (a), es decir, reemplazar las x que aparecen en el polinomio por el número a. Por ejemplo, si P (x) = x 3 2x + 1 3, y deseamos evaluarlo en x = 1, debemos hacer P ( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) = 1 ( 2) = = 4 3. Es decir que P ( 1) es un número real, 4 3. Diremos que x = a es raíz del polinomio P (x) si al evaluarlo en dicho número obtenemos P (a) = 0. Por ejemplo, x = 3 es raíz de M(x) = x 2 + 2x + 3, pues M(3) = = = 0. Así, el número x = 1 no es raíz de M(x) ya que ( hacer la cuenta!) M(1) = 4 0. Por otra parte, es fácil ver que ( hacer la cuenta!) x = 1 también es raíz de M(x) pues M( 1) = 0. Es decir que M(x) tiene al menos dos raíces: x = 3 y x = Relación entre raíz y divisibilidad? Si tenemos un polinomio P (x) y un número real a, vale un resultado muy útil: x = a es raíz de P (x) sí y sólo sí P (x) es divisible por el polinomio D(x) = x a. 3

4 Con lo que hemos aprendido hasta aquí, podemos ver que la afirmación anterior es cierta. Pero también podemos verificarla si recordamos el Teorema del Resto visto en el teórico: Teorema del Resto: El resto de la división de P (x) por D(x) = x a es R = P (a). El teorema del resto nos permite adivinar (en realidad calcular) el resto de la división de P (x) por x a sin hacer toda la división. Esa es una de las utilidades de este teorema. Por ejemplo, para obtener el resto de la división de P (x) = x x por D(x) = x 1, no es necesario ( menos mal!) hacer toda la división. Simplemente aplicamos con mucho cuidado el Teorema del Resto. Para ello, lo primero que debemos hacer es identificar el valor de a que aparece en el teorema. En este caso, como D(x) = x 1, el valor de a es a = 1. Luego, para calcular el resto no debemos más que hacer R = P (1) = = = 88. Ahora usaremos este teorema para convencernos de que decir que x = a es raíz de P (x) es lo mismo que decir que P (x) es divisible por x a. Y el argumento es muy sencillo: Decir que x = a es raíz de P (x) es lo mismo que decir que P (a) = 0, que es lo mismo (usando el teorema del Resto) que decir que el resto de la división de P (x) por x a es R = P (a) = 0, o sea, es lo mismo que decir que P (x) es divisible por D(x) = x a (pues su resto es 0). 3 Factorización Supongamos que P (x) es un polinomio de grado n. Factorizar a P (x) es expresarlo como producto de binomios de la forma x r, es decir, escribirlo así: P (x) = a (x x 1 ) (x x 2 ) (x x n ), (3) donde a es el coeficiente principal de P (x), y los números x 1, x 2,, x n son n números que en general pueden ser reales o complejos, no necesariamente distintos entre sí y los cuales debemos encontrar. Si tenemos a P (x) expresado en forma factorizada, es decir, como se muestra en (3), es posible llevarlo a la forma polinómica a la que estamos acostumbrados, sólo aplicando la propiedad distributiva. Por ejemplo, si P (x) = 3(x 1)(x + 1)(x + 2), 4

5 entonces aplicando la propiedad distributiva (con cuidado!) obtenemos que P (x) = 3(x 1)(x + 1)(x + 2) = (3x 3)(x + 1)(x + 2) = (3x 2 + 3x 3x 3)(x + 2) = (3x 2 3)(x + 2) = 3x 3 + 6x 2 3x 6. El problema aparece cuando queremos pasar de forma polinómica a factorizada, y no al revés como hicimos recién. Es decir, cómo factorizamos un polinomio P (x) dado? En general, no hay ninguna receta que funcione siempre para cualquier caso. Aquí daremos algunas herramientas que pueden ser útiles en algunos casos que aparecen frecuentemente. 3.1 Factor común Cuando el polinomio P (x) no tiene término independiente, podemos recordar la propiedad inversa a la distributiva que aprendimos para números reales. Por ejemplo, el polinomio P (x) = 2x 2 4x puede ser factorizado del siguiente modo: identificamos los términos del polinomio y qué factores se repiten en cada uno. En este caso, vemos que el 2 es factor común de ambos términos (pues 4 = 2 2), y además x también es factor común de ambos términos. Luego, extraemos 2x como factor común y obtenemos P (x) = 2x 2 4x = 2x(x 2). Esta ya es la factorización de P (x), pues es producto de binomios de la forma x r: el primer factor de esa forma es x, pues x = x 0, y el segundo es x 2. Notar que si aplicamos la propiedad distributiva a 2x(x 2) reobtenemos la forma polinómica de P (x), es decir 2x(x 2) = 2x 2 4x. Otra alternativa en la cual puede aplicarse algo similar al factor común es lo que suele conocerse como factor común por grupos. Por ejemplo, consideremos ahora el polinomio Q(x) = 3x 3 + 3x 2 + 2x + 2. Es claro que no es posible en este caso proceder como en el ejemplo anterior, dado que Q(x) sí tiene término independiente, y es igual a 2. Sin embargo, 5

6 los cuatro términos que componen a Q(x) pueden ser agrupados del siguiente modo: 3x 3 + 3x 2 + 2x + 2 = (3x 3 + 3x 2 ) + (2x + 2), El primer paréntesis tiene como factor común a 3x 2. Luego, 3x 3 + 3x 2 = 3x 2 (x + 1), mientras que el segundo paréntesis tiene como factor común al 2, es decir, 2x + 2 = 2(x + 1). Reemplazando estas últimas dos identidades en la expresión de más arriba, obtenemos: Q(x) = 3x 2 (x + 1) + 2(x + 1). Notamos ahora que Q(x) tiene dos términos, y el factor común a ambos es x + 1. Luego, lo extraemos como factor común: Q(x) = (x + 1) (3x 2 + 2). Por razones que veremos más adelante, no es posible llevar a 3x a una forma factorizada como la de (3). Esto es cierto en general para polinomios de la forma ax n + b, con n un número par y a, b > 0. Por lo tanto, la factorización de Q(x) es Q(x) = (x + 1)(3x 2 + 2). 3.2 Diferencia de cuadrados Como recordará el lector, dados dos números reales cualesquiera a y b, siempre se cumple que a 2 b 2 = (a b)(a + b). Esta propiedad de los números reales puede ser de utilidad para factorizar muchos polinomios. Por ejemplo, si queremos factorizar a M(x) = x 2 1, podemos usar la fórmula anterior tomando a = x y b = 1, o sea, Otro ejemplo es el siguiente: Si x 2 1 = (x 1)(x + 1). N(x) = 9x , 6

7 podemos tomar a = 3x 2 y b = 1 en la fórmula anterior y tenemos 5 ( N(x) = 3x 2 1 ) ( 3x ). 5 5 Por último, factoricemos el polinomio S(x) = x 4 1. Notamos que el primer término es el cuadrado de x 2, mientras que el segundo término es el cuadrado de 1, por lo que tenemos una diferencia de cuadrados. Entonces, razonando como en los ejemplos anteriores, tenemos que S(x) = (x 2 1)(x 2 + 1). Notar que el primer factor de S(x) es también una diferencia de cuadrados! Luego podemos volver a aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados, y obtener x 2 1 = (x 1)(x + 1), como en el primer ejemplo que dimos. Reemplazando esta última identidad en S(x), obtenemos su factorización: S(x) = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1). El último factor no es una diferencia de cuadrados, por lo que no es posible factorizarlo de este modo. Más aún, el exponente de la variable es 2, que es un número par y como 1 > 0, x no es factorizable. 3.3 Cuadrado de un binomio Otra de las famosas identidades válidas para números reales es el cuadrado de un binomio: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, de la cual se deduce fácilmente la siguiente: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. Estas igualdades nos pueden servir para factorizar ciertos polinomios de grado 2 y aún de grados más altos. A modo de ejemplo, consideremos el polinomio P (x) = x 2 + 2x + 1. Notamos que el primer término es x 2, es decir, es el cuadrado de x. Por otro lado, el tercer término es 1, que lo podemos pensar como el cuadrado de 1. Y 7

8 finalmente, el término del medio, 2x, es el doble producto del primer término por el tercero, es decir 2x = 2 x 1. Por lo tanto, la fórmula del cuadrado del binomio se aplica directamente tomando a = x y b = 1, y así obtenemos que P (x) = x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2. Esta es la factorización de P (x). Esta fórmula del cuadrado del binomio no siempre es útil para factorizar polinomios de grado 2. Por ejemplo, si queremos factorizar a Q(x) = x 2 2x + 4, vemos que no tiene la estructura que necesitaríamos para el cuadrado de algún binomio, pues si bien el primer término es el cuadrado de x y el segundo término es el cuadrado de 2, el término del medio no es el doble producto de x por 2. Entonces en este caso la fórmula del cuadrado del binomio no es útil. Sin embargo, veamos algunos otros ejemplos en los que sí es posible usarla. Supongamos que queremos factorizar a M(x) = x 2 6x + 9. Observamos que el primer término es el cuadrado de x, y el tercer término es el cuadrado de 3. Además, si hacemos 2 x 3 = 6x, por lo que están dadas las condiciones del cuadrado de un binomio. En este caso, como el término del medio tiene un signo, vale que M(x) = x 2 6x + 9 = (x 3) 2. Por útimo, y como adelantamos antes, es interesante resaltar que este procedimiento puede ser usado para factorizar polinomios de grado más alto. Un ejemplo de ello es el polinomio T (x) = 4x x Notar que el primer término es el cuadrado de 2x 2, mientras que el tercer término es el cuadrado de 3. Además, 2 (2x 2 ) 3 = 12x 2, que es justo el término del medio! Luego, por la primera fórmula del cuadrado de un binomio tomando a = 2x 2 y b = 3, obtenemos que T (x) = (2x 2 + 3) 2. 8

9 4 Factorización en general Como alertamos al principio, no hay una receta para factorizar cualquier polinomio que a uno se le ocurra, al menos con lápiz y papel, y los ejemplos anteriores son herramientas útiles sólo cuando pueden ser aplicadas, es decir, para ciertas clases de polinomios. La pregunta que nos hacemos ahora es cómo factorizar polinomios que no pueden ser factorizados mediante los casos de factor común, factor común por grupos, diferencia de cuadrados o cuadrado de un binomio. Tal es el caso, por ejemplo, del polinomio M(x) = x 3 7x + 6. Es fácil verificar que no es posible usar ninguna de las herramientas que vimos en la sección anterior para factorizarlo. En este caso, entonces debemos proceder de otro modo. Recordemos que factorizar un polinomio es expresarlo como producto de binomios, o sea de la forma P (x) = a (x x 1 ) (x x 2 ) (x x n ). De esta expresión puede verse que x = x 1 es raíz de P (x). Cómo vemos eso? Pues evaluando a P (x) en x = x 1 obtenemos P (x 1 ) = (x 1 x 1 ) (x }{{} 1 x 2 ) (x 1 x n ) = 0. =0 Por lo tanto, P (x 1 ) = 0 y x 1 es raíz de P (x). Esto mismo vale para x 2, x 3, y así siguiendo hasta el x n. Es decir que factorizar un polinomio es equivalente a encontrar todas sus raíces. De aquí proviene la importancia de entender el concepto de raíz de un polinomio. Y eso sí vale siempre, a diferencia de los casos vistos en la sección anterior. Por lo tanto, volviendo al problema de factorizar a M(x), basta con encontrar todas sus raíces. Pero... Cómo encontrar las raíces de un polinomio? Bueno, para esto tampoco hay ninguna receta piola 4. Lo primero que podemos hacer es intentar encontrar una raíz adivinando. Por ejemplo, si probamos con x = 1, veamos qué pasa: M(1) = = = 0. Buenísimo! como M(1) = 0, entonces x 1 = 1 es una raíz de M(x). Pero por lo que aprendimos en el teorema del resto, esto es equivalente a decir que 4 En realidad sí hay una forma piola, siempre y cuando sólo busquemos las raíces enteras. Suele llamarse Teorema de Gauss, y lo pueden chusmear en cualquier libro de matemática del secundario o en internet. 9

10 M(x) es divisible por x 1, y entonces vale la descomposición de siempre (dividendo = divisor por cociente): M(x) = (x 1) Q(x). Ahora hay que hallar a Q(x)! Para ello, hacemos la división correspondiente, es decir (x 3 7x + 6) : (x 1). Hay varias formas de hacer esta división. Una forma es como lo aprendimos hacer en el cursillo. Otra forma es mediante la conocida Regla de Ruffini, que no incluiremos en estas notas. Pero haciendo la división de la forma usual ( hacerla!), se obtiene que Q(x) = x 2 + x 6, y resto cero (como era de esperarse). Luego, M(x) = (x 1)(x 2 + x 6). Ahora debemos hallar las raíces de x 2 + x 6. De nuevo, podemos tratar de adivinar! Pero en este caso, como el polinomio es de grado 2, podemos hallarlas fácilmente mediante la conocida Fórmula de Baskhara: las raíces del polinomio ax 2 + bx + c son x 1 = b + b 2 4ac, y x 2 = b + b 2 4ac. 2a 2a Con ayuda de las fórmulas anteriores, encontramos rápidamente que las raíces de Q(x) son x 1 = 2 y x 2 = 3. Luego, las tres raíces de M(x) son x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, y como el coeficiente principal de M(x) es a = 1, tenemos que la factorización de M(x) es M(x) = a(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) (4) = (x 1)(x 2)(x ( 3)) = (x 1)(x 2)(x + 3). 10

11 5 Más ejemplos: casos combinados Ejemplo 1: Factorizar P (x) = x 4 2x 3 + x 2. Solución: Notamos primero que P (x) no tiene término independiente (es 0), y un factor común a los tres términos es x 2. Luego, P (x) = x 2 (x 2 2x + 1). El segundo factor es un polinomio de grado 2. Vemos que el primer término es el cuadrado de x, el tercer término es el cuadrado de 1, y el término del medio es el doble producto del primer término por el tercero. Por lo tanto, x 2 2x + 1 = (x 1) 2 y finalmente, P (x) = x 2 (x 1) 2. Notar que el polinomio x 2 2x + 1 también podría haberse factorizado obteniendo las raíces empleando la Fórmula de Baskhara. En ese caso se hubiera obtenido x 1 = x 2 = 1. Ejemplo 2: Factorizar P (x) = 8x 3 8. Solución: Ambos términos contienen el 8, por lo que P (x) = 8(x 3 1). Para factorizar a x 3 1, notamos que x = 1 es raíz, ya que = 1 1 = 0. Por lo tanto, efectuamos la división de x 3 1 por x 1 (es decir, x menos la raíz que adivinamos). Haciendo la división, se obtiene como cociente a Q(x) = x 2 + x + 1, y resto cero, como era de esperarse. Ahora, como Q(x) es de grado 2, podemos calcular sus raíces aplicando la fórmula de Baskhara con a = b = c = 1. Al intentar realizar el cálculo, obtenemos raíces complejas, por lo que Q(x) no tiene raíces reales, y por lo tanto lo dejamos como está. Finalmente, la factorización buscada es No olvidar el coeficiente principal! P (x) = 8(x 1)(x 2 + x + 1). Ejemplo 3: Factorizar P (x) = x 3 3x 2 4x Solución: Inspeccionando a P (x), vemos que podemos agrupar el primer término con el segundo, y el tercero con el cuarto; es decir, P (x) = (x 3 3x 2 ) (4x 12). Notar que el signo delante del segundo paréntesis ha ocasionado un cambio de signo en el 12. Luego, como x 3 3x 2 = x 2 (x 3) y 4x 12 = 4(x 3), reescribimos a P (x) como P (x) = x 2 (x 3) 4(x 3), 11

12 y como el factor x 3 es común a ambos términos, lo extraemos como siempre: P (x) = (x 3) (x 2 4). Vemos ahora que el segundo factor es una diferencia de cuadrados. Luego, x 2 4 = (x 2)(x + 2) y finalmente la factorización resulta P (x) = (x 3)(x 2)(x + 2). Ejemplo 4: Factorizar P (x) = 3x x 2 24x Solución: Extrayendo factor común 3 (podríamos haber extraído el 3 sin el signo menos también, es similar), obtenemos P (x) = 3(x 3 5x 2 + 8x 4). Intentaremos encontrar las raíces de x 3 5x 2 +8x 4. Notar que si evaluamos en x = 1, obtenemos = = 0, por lo que x = 1 es raíz de x 3 5x 2 +8x 4 y por lo tanto x 3 5x 2 +8x 4 es divisible por x 1. Efectuando tal división (hacerla!) se obtiene el cociente Q(x) = x 2 4x + 4. Por lo tanto, x 3 5x 2 + 8x 4 = (x 1)(x 2 4x + 4), y por lo tanto hasta ahora tenemos P (x) = 3(x 1)(x 2 4x + 4). El último factor es un polinomio de grado 2, por lo que sus raíces pueden ser obtenidas mediante la fórmula de Baskhara. No obstante, notamos que x 2 4x + 4 = (x 2) 2 aplicando la fórmula del cuadrado de un binomio. Finalmente, la factorización buscada es P (x) = 3(x 1)(x 2) 2. 12