Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributivo de la multiplicación respecto de la suma o resta.

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1 PARADA TEÓRICA 20 "Factor común y por grupos Facforizar un polinomio, de n cantidad de términos, es expresarlo como un producto de polinomios primos. Factor común Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributivo de la multiplicación respecto de la suma o resta. a(b = e) = a. b = a.c (el factor a se repite en ambos términos) Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a.b = a.c = a.(b = e) Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, puro encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común. El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el DCMde todos los coeficientes del mismo. Factorizar los siguientes polinomios: a) P(x) = 2i - 4x. p(x) = 2x.x x ~ 2x es el factor común de los dos términos. p(x) = 2x() ~ Expresión factoreada de P(x) a través del factor común i 2x 4x 2x ~ Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 2x. Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal. t) = 2(x2 _1) Polinomio normalizado p(x) = 2/ _1 = 2(~- Factor común por grupos ----c Se aplica el factor común por grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos. Factorizar los siguientes polinomios: a) p(x) = x 5-2x 4-3x + 6 p(x) = (x 5-2x 4 ) + (-3x + 6) ---l.~ Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma ~~ tal que en cada uno de ellos haya un factor común. x 4-3 p(x) = x4-(x - 2) -3(x - 2) ----l)oo~ En cada término debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo nuevamente como factor común l.~ Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda factorízada a través del factor común por grupos. b) Q(x) = 3i x + 2 = (3x 3 + 3/) + (2x + 2) = 3 (x.+ 1) + 2(x + 1) Q(x) = (x + 1)(3 + 2)

2 PARADA TEÓRICA 21 Suma y resta de potencias de igual exponente Para un polinomio de la forma p(x) = x" ± a" existen cuatro posibilidades: p(x) p(x) ::;::x" ± a" 1\ n es par = x" ± a" 1\ n es impar 1) P(x) = x 4-16 = x Se buscan las raíces de p(x): x 4-16 = O=> Ixl = 2 => Xl = 2 1\ x2 = -2 Por el teorema del resto: P(2) = O => (x - 2) es divisor de p(x) p( -2) = O => (x + 2) es divisor de p(x) Se aplica la regla de Ruffini V - 16):(x - 2) 1 O O O -16 (x 3 + 2x2 + 4x + 8):(x + 2) O O O 4 O p(x) = i - 16 = (i + 2i + 4x + 8)(x - 2) = (i + 4)(x + 2)(x - 2) 2) p(x) = x , no tiene raíces reales. 3) p(x) = x 3-27 = x Se buscan las raíces de p(x): x 3-27 = O => x = 3 Por el teorema del resto: P(3) = O => (x - 3) es divisor de p(x) 4) p(x) = x = x Se buscan las raíces de p(x): x ~ O => x = -2 Por el teorema del resto: p( -2) = O => (x + 2) es divisor de p(x) Se resuelve por la Regla de Ruffini p(x):(x - 3) Se resuelve por la Regla de Ruffini p(x):(x + 2) p(x) = x 3-27 = (x - 3)(i + 3x + 9) p(x) = (x 4-2x x + 16)(x + 2) Resumiendo: p(x) = x" ± a" Divisor/es n impar n par xn + a n (x + a) n n X - a (x - a) (x + a) 1\ (x - a) xn + a n No tiene divisores de la forma (x ± a) DiferenciQ de cuadrados a) p(x) = / - 9 = / = (x - 3) (x + 3) b) p(x) = x 4-25 = (x2)2-52 = (/ - 5)(/ + 5) e) p(x) = / - 49 = / = (x - 7)(x + 7) p(x) = i - a 2 = (x - a)(x + a)

3 Trinomio cuadrado y cuatrinomio Trinomio cuadrado perfecto i ± 2ax + a 2 = (x ± a)2 ~ Cuadrado de un binomio: f expresión factorizada del Trinomio cuadrado perfecto: trinomio cuadrado perfecto. desarrollo del cuadrado del binomio. i ± 2ax + a 2 = (x ± a)(x ± a) = (x ± a)2 a) p(x) = + 6x + 9 = i + 2.3x = (x + 3)2 x 3 b) Q(x) = i - 4x + 4 = i - 2.2x = (x - 2)2 x cubo perfectos -- x (x + a)2 = i + ax + ax + a 2 = i + 2ax + a 2 -x - a-- a I 2 x-a(x-a) e) R(x) = i + 8x + 9 = i + 2.4x I 11 t x 3*4 3 No es trinomio cuadrado perfecto (x - a)2 = - a(x - a) - a(x _ a) _ a 2 = i - ax + a 2 - ax + a 2 - a 2 = i - 2ax + a 2 Cuatrinomio cubo perfecto x 3 + 3a/ + 3a 2.x + a 3 = (x + a)3~ Cubo de un binomio: expresión factorizada del t cuatrinomio cubo perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo del binomio. x 3 ± 3ai + 3a 2.x ± a 3 = (x ± a)( x ± a)(x ± a) = (x ± a)3 ~ Expresión factorizada (x + a)3 = (x + a) (x + a) (x + a) = (i + 2ax + a 2 )(x + a) = x 3 + 3ai + 3a 2 x + a 3 (x - a)3 = (x - a) (x - a) (x - a) = (i - 2ax + a 2 )(x - a) = x 3-3a + 3a 2 x _ a 3 a)t(x) = x 3 + 6i + 12x + 8 = x j x = (x + 2)3 e) M(x) = x 3-4i + 8x - 8 * x 3-3.2i x - 23~ No es cuatrinomio cubo perfecto 1 6 *4 12 * 8 1

4 Teorema de Gauss Si el polinomio p(x), de grado n, con coeficientes enterosy término independiente no nulo, admite una raíz racional ~ (fracción ureducib!e), entonces p es divisor del término independientey q lo es del coeficiente principal.,. () n n-l n-2 Para hallar las ruices rucionoles de P x = ax + bx + cx d: se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal. se buscan las posibles raíces: p ~ Divisores del término independiente. q ~ Divisores del coeficiente principal. Todo polinomio p(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como: Siendo a el coeficiente principal de p(x) y Xl; X2;... ; X n SUS n raíces reales. Para hnllor las raíces racionales de p(x) = 2x 3-3/ - 8x - 3: Divisores del término independiente, (-3): ± 1, ± 3} Divisores del coeficiente principal, (2): ± 1, ± 2 Xl = ± Se especializa el polinomio p(x) parias posibles raíces (x n es raíz si p(x n ) = O). p( -1) = O ~ xi= -1, esraíz Posibles raíces ~ 1 1; X2 = ± "2 ; X3 = ± 3 ; X4 = p( - ~) = O ~ X2 = -~, es raíz P (3) = O ~ X3 = 3, es raíz p(x) = 2x 3-3/ - 8x - 3 ~ p(x) = 2(x + 1)(x + ~)(x - 3) Un polinomio p(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores iguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor. Polinomio factorizado Raíces Multiplicidad 1 Xl = -1 A x2 = -"2 A x3 = 3 Tres raíces simples Xl = X2 = -1 Una raíz doble P3(X) = (x - 2)3 = (x - 2)(x - 2)(x - 2) Una raíz triple Xl = x2 = -2 A x3 = ~ = Xs = 1-2, raíz doble y 1, raíz triple ps(x) = x 3 (x + 3) = x.x.xíx + 3) 0, raíz triple y -3, raíz simple

5 Casos combinados En algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de factorización hasta que los factores de los mismos sean primos. a) Si se puede sacar factor común, es el primer paso que se debe realizar, y luego analizar si a algunos de los factores se los puede seguir descomponiendo en nuevos factores. b) Se analizan las condiciones para sacar factor común por grupos, y luego se estudia si a algunos de los factores se los puede seguir descomponiendo en nuevos factores. e) Se puede también aplicar el Teorema de Gauss. Se encuentra una raíz de x x - 4. S(1) = OY se aplica la Regla de Ruffini con el divisor (x - 1) O x 3-5i + 8x - 4 = (x - 1)(/ - 4x + 4)