MATEMÁTICA INGRESO GUÍA N 7 POLINOMIOS. 14) Definiciones y Operaciones 15) Factorización 16) Simplificación de Expresiones. Prof. M arcos A.

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1 MATEMÁTICA INGRESO GUÍA N 7 POLINOMIOS 14) Definiciones y Operaciones 15) Factorización 16) Simplificación de Expresiones Fatela

2 MATEMÁTICA TEMA Nº 14 POLINOMIOS, OPERACIONES" Fatela En este tema se tratará sobre: Polinomios: Definiciones básicas. Operaciones entre polinomios: Suma. Resta. Multiplicación. División. Regla de Ruffini. Relación entre Dividendo, Divisor, Cociente y Resto. Teorema del Resto. Potenciación de Polinomios. POLINOMIOS: DEFINICIONES BÁSICAS. Un polinomio es una "expresión algebraica entera". Se entiende por esto a una expresión matemática que involucra letras y números, donde la incógnita (x) aparece sólo elevada a exponentes naturales (enteros positivos) y multiplicada por números reales llamados coeficientes. También puede tener un término constante, llamado término independiente, que correspondería a una potencia de exponente cero de "x". a n : Coeficiente Principal n : Grado a : Coeficiente Cuadrático a 1 : Coeficiente Lineal P(x) a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n + + a x + a 1 x + a 0 Término Principal Término Cuadrático Término Lineal Término Independiente Con n N 0 y [ i / i N 0 (0 i n)] : a i R N 0 N {0} Polinom ios - M atem ática - -53

3 Con el símbolo N 0 se denotan todos los números naturales más el cero. El polinomio es entonces una sumatoria de términos; compuestos cada uno de ellos por un coeficiente (número real) y una parte literal (por letras). Según el número de términos que lo componen, recibe el nombre de monomio, binomio, trinomio, cuatrinomio, etc. Cuando hay más de un término se designa genéricamente como polinomio, vocablo que se forma con el prefijo "poli" (muchos) y "nomio" (de nombre o denominación). De esta forma un polinomio es una expresión matemática con muchos "nombres" o denominaciones". Coeficiente Parte Literal P(x) x 3 Monomio Q(x) 3 x Binomio Polinomios R(x) x x + 7 Trinomio S(x) 5 x x x + Cuatrinomio Definiciones: Grado de un polinomio:"n" Es el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita "x". Por lo tanto es un número natural, o puede ser cero. Término Principal: Es el término donde la incógnita aparece elevada a su máximo exponente o sea al grado del polinomio. Coeficiente Principal: Es el coeficiente del término principal, o sea el número real que multiplica a la potencia de mayor grado de "x". Término Independiente: Es el llamado término de grado cero y es un número real y constante, pues en este término no aparece la variable "x". Término Lineal: Es el término de primer grado del polinomio. De allí la expresión "lineal" que hace referencia a línea recta. Coeficiente Lineal: Es el coeficiente del término lineal. Como todos los coeficientes es un número real. Término Cuadrático: Es el término de segundo grado del polinomio. De allí la expresión "cuadrático" que hace referencia a la parábola. Coeficiente Cuadrático: Es el coeficiente del término cuadrático. Como todos los coeficientes es un número real. Polinom ios - M atem ática

4 Polinomio Mónico, o Normalizado: Es un polinomio cuyo coeficiente principal es igual a uno. P(x) x + 3 Q(x) x 5 x + 1 R(x) x 6 1 Polinomios Mónicos, o Normalizados S(x) x x 5 Polinomio Ordenado: En un polinomio ordenado todos los términos se ordenan con las potencias de "x" en forma creciente o decreciente. Lo más común es el ordenamiento en forma decreciente de los exponentes de "x", con el término principal en primer lugar. P(x) x 3 5 x + 3 x + 1 Q(x) 1 + x 3 x x 4 R(x) x x 5 x 5 Polinomio Ordenado en forma decreciente Polinomio Ordenado en forma creciente Polinomio desordenado Polinomio Completo: Un polinomio está completo cuando aparecen en el mismo los términos correspondientes a todas las potencias de "x" desde el término principal hasta el término independiente. Si un polinomio careciera de alguna potencia de "x", hay que agregar el término correspondiente a dicha potencia con un coeficiente igual a cero, para completar al polinomio. P(x) x 5 5 x + 3 x P(x) x x x 3 5 x + 3 x + 0 Polinomio Ordenado pero Incompleto Polinomio Completo y Ordenado Muy Importante: Si falta el término independiente también hay que agregar el "+ 0" Cuando falte el término independiente es importante acordarse de agregar el "+ 0" para completarlo, de modo de no cometer errores al realizar la división Polinom ios - M atem ática

5 o aplicar la regla de Ruffini, dado que en estas operaciones se debe reservar una columna para cada potencia de "x". Polinomio Reducido: Todo polinomio debe expresarse en forma reducida, lo que implica que deben operarse los términos que tengan la misma parte literal (iguales potencias de "x"), de modo que quede sólo un término por cada potencia de "x". P(x) x 5 5 x + 3 x + x Polinomio no Reducido P(x) x 5 x + x Polinomio Reducido En general, trabajaremos con polinomios con una sola incógnita (casi siempre "x", pero podría haber otra letra). A veces pueden aparecer otras letras en la parte literal de los términos de un polinomio además de la incógnita. Para encontrar el grado del polinomio hay que prestar atención a la letra que se indique como incógnita y no distraerse con otras letras que pudiera haber. P(x) x 5 5 a b x + 3 a 6 x + Polinomio en "x" de grado n 5 Q(s) t 5 s x 5 s 4 Polinomio en "s" de grado n 4 Letras que se indican como incógnitas Por todo lo expuesto, en los polinomios o expresiones algebraicas enteras no se permiten más que potencias naturales de "x", de modo que no son polinomios expresiones que tengan a la incógnita: Dividiendo en fracciones (o sea con potencias de exponente negativo). Como exponentes en potencias (funciones de tipo exponencial). Como argumento de logaritmos (funciones de tipo logarítmico). Como argumento de funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.). Para Practicar a) 5 x 3 + x 1 b) 3 5 x5 + 1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios: 3 x 6 x + 3 c) 3 x x sen(π) x + 5 d) 3 x 3 + x sen(x+1) + e) 4 x 4 + x 3 x f) log (3). x 7 x + 5 Polinom ios - M atem ática

6 g) 1 x 3 + x 1 h) x x 5 4 x + x 1 Respuestas: a) Sí b) No c) Sí d) No e) No f) Sí g) No h) No ) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla: Fatela Polinomio Incógnita Grado Coeficiente Principal Término Independiente P(x) x x x Q(s) s x s 5 x 6 s 3 R(t) 3 t t 4 + a 3 b S(x) x + 5 x x A) SUMA: OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS Para sumar polinomios, hay que tener en cuenta que sólo se pueden sumar los términos que tienen igual parte literal, o sea iguales letras elevadas al mismo exponente. Se suman entonces los coeficientes de los términos de la misma parte literal y se repite idéntica la parte literal. Conviene en estos casos escribir los polinomios de modo tal que los términos de igual parte literal queden alineados verticalmente, por ejemplo: Sumar P(x) 3 x x 7 y Q(x) x 3 x +1 + P(x) 3 x x 7 Q(x) x 3 x + 1 B) RESTA: P(x) + Q(x) 3 x x 3 x 6 Para restar polinomios, el polinomio minuendo menos el sustraendo, hay que sumar el primero con el opuesto del segundo. O sea que la resta de Polinom ios - M atem ática

7 polinomios es un caso particular de suma, sólo que hay que afectar al segundo polinomio por el signo menos, lo que implica un cambio de signo para todos los términos de dicho polinomio. Dados P(x) 3 x x 7 y Q(x) x 3 x + 1 : Obtener el polinomio: P(x) Q(x) P(x) Q(x) P(x) + [ Q(x)] Q(x) x 3 x +1 Q(x) ( x 3 x + 1) x + 3 x 1 + P(x) 3 x x 7 Q(x) + x + 3 x 1 P(x) Q(x) 3 x x + 3 x 8 C) MULTIPLICACIÓN: Comenzaremos multiplicando dos monomios: Por ejemplo, si: P(x) 3 x y Q(x) 5 x3 P(x). Q(x) 3 x. 5 x3 6 x 5 5 P(x). Q(x) 6 x 5 5 Se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales también entre sí, en este último caso se aplican las propiedades de potencias de igual base. Ahora multiplicaremos un monomio por un polinomio: Por ejemplo, si: P(x) 3 x y Q(x) 5 x 7 x + 3 P(x). Q(x) 3 x. (5 x 7 x + 3) 15 x x 3 9 x P(x). Q(x) 15 x x 3 9 x Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Si la multiplicación es entre dos polinomios: Polinom ios - M atem ática

8 Por ejemplo, si: P(x) 3 x + x y Q(x) 5 x 7 x + 3 P(x). Q(x) ( 3 x + x). (5 x 7 x + 3) Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. P(x). Q(x) 15 x x 3 9 x + 10 x 3 14 x + 6 x P(x). Q(x) 15 x x 3 3 x + 6 x Otra forma más cómoda de hacer este producto es: + 5 x 7 x x + x 10 x 3 14 x + 6 x 15 x x 3 9 x 15 x x 3 3 x + 6 x Se realiza el producto como si se tratara de una multiplicación entre números, y se van ordenando los términos de modo que queden alineados verticalmente los que tienen igual parte literal, para luego sumar estos términos. Cuando se multiplican dos polinomios, el polinomio producto obtenido tiene como grado la suma de los grados de los polinomios operados. Para Practicar 1) Dados los polinomios: P(x) 3 x + 1 Q(x) x x + 5 R(x) x 3 4 x, hallar: a) P + Q R b) 3 Q ½ P c) P. Q + R d) P. (Q + R) Resultados: a) x 3 + x + 5 x + 6 b) 3 x 15/ x + 9/ c) 4 x 3 5 x + 9 x + 5 d) 3 x x 3 17 x + 9 x + 5 Polinom ios - M atem ática

9 D) DIVISIÓN: Fatela Antes de explicar el proceso a realizar para dividir dos polinomios, comenzaremos por un repaso del procedimiento que se sigue para realizar la división entre dos números. Dividendo Divisor Resto Cociente Hallar el resto implica restar el dividendo con el producto cociente por divisor O lo que es igual, sumar el dividendo con el producto cociente por divisor cambiado de signo Un proceso parecido a éste seguiremos para dividir polinomios Para dividir polinomios: El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente. El polinomio divisor sólo debe estar ordenado en forma decreciente. Se procede de la siguiente manera: 1) Se toma el término principal del polinomio dividendo y se lo divide por el término principal del polinomio divisor. ) El resultado se anota en el cociente. 3) Luego se multiplica dicho término del cociente por todos los términos del divisor y se van colocando los resultados, con el signo cambiado, debajo del término con igual parte literal en el polinomio dividendo. 4) Se realiza la suma del dividendo más el polinomio recientemente formado. Se verifica que se anule el término principal del dividendo, con lo cual disminuirá en una unidad el grado del mismo. 5) Se "baja" un nuevo término del dividendo para continuar la división. Polinom ios - M atem ática

10 + Fatela 6) Se repite el procedimiento con el polinomio que va quedando a la izquierda (volviendo al paso 1), hasta que el polinomio que quede sea estrictamente de menor grado que el polinomio divisor. 7) Una vez llegado a este punto, el polinomio que queda a la izquierda es el resto y se ha obtenido ya completo el polinomio cociente, quedando finalizada la división. Por ejemplo, realizar la división: ( x 4 3 x + 5 x) : (x ) Comenzamos completando y ordenando el dividendo: D(x) x x 3 3 x + 5 x + 0 x x 3 3 x + 5 x + 0 x x x x 3 3 x 4 x x x + 5 x 5 x + 10 x x x + 30 R(x) 30 x x + 5 x + 15 C(x) En este caso el Resto es un polinomio de grado cero Cuando se dividen dos polinomios, el grado del polinomio cociente es igual a la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. En este ejemplo el dividendo es de cuarto grado y como el divisor es de primer grado el polinomio cociente será de tercer grado. A su vez, el polinomio resto "siempre" tiene un grado menor al del divisor, de lo contrario la división no está concluida y debe seguir operándose. En este ejemplo, donde el divisor es de primer grado el resto será de grado cero, o sea un número constante. REGLA DE RUFFINI Cálculos Auxiliares 4 x x x 3 4x 4x x 5x x Para resolver divisiones como la precedente, donde el divisor es un polinomio mónico o normalizado de primer grado, existe una regla práctica: "la Regla de Ruffini", que permite obtener todos los coeficientes del polinomio cociente completo y ordenado, y el resto de la división (que en estos casos siempre es un número constante o sea un polinomio de grado cero). 5x 15x 15 x Polinom ios - M atem ática

11 Regla de Ruffini Condición necesaria para aplicar la Regla de Ruffini: El divisor debe ser de la forma: x a x 4 x 3 x + 5 x + x 4 3 x 0 x 3 x + 5 x + 0 Coeficientes del polinomio Dividendo completo y ordenado Término independiente del Polinomio divisor cambiado de signo "a" R(x) Resto C(x) x x + 5 x + 15 Cociente Para aplicar la Regla de Ruffini, se procede de la siguiente manera: 1) Se colocan en una misma fila todos los coeficientes del polinomio dividendo completo y ordenado. ) Trazamos debajo un par de líneas, una horizontal y otra vertical, como muestra el dibujo. 3) En el ángulo de la izquierda se coloca el término independiente del polinomio denominador cambiado de signo, que también equivale a la raíz o cero del mismo polinomio. Le llamaremos "a". 4) El primer número (el coeficiente principal del dividendo) se baja directamente a la última fila. 5) Se multiplica "cruzadamente" el valor de "a" por el coeficiente principal recientemente "bajado" y el resultado se anota en la segunda columna y en una segunda fila, debajo de los coeficientes del dividendo. 6) Se suma algebraicamente en forma vertical, anotándose el resultado en la última fila y se continúa multiplicando en forma cruzada hasta terminar de operar el último coeficiente del dividendo. 7) Una vez terminado este proceso, el último número de la fila de resultados es el resto del polinomio, que siempre en estos casos Polinom ios - M atem ática

12 (cuando el divisor es de la forma: x a) es un número constante o sea un polinomio de grado cero. 8) Los restantes números de la última fila son los coeficientes del polinomio cociente completo y ordenado. Para Practicar 1) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la operación completa, y cuando sea posible aplicar la regla de Ruffini para verificar los resultados obtenidos. a) b) c) d) 5 3 D(x) 3x + x 6x d(x) x D(x) x + 3x 5x + x + 1 d(x) x + x D(x) 5x x 6x + x + d(x) x D(x) 6 x 5x + x + x + 1 d(x) x 1 C(x) 3 x 4 6 x x 8 x + 50 R(x) 100 C(x) 5 x x 3 3 x + 45 x 114 R(x) 50 x 341 C(x) 6 x x 5 5 x x 3 10 x + 8 x 8 R(x) 10 C(x) x 3 + x 5 x + 1 R(x) 10 x + RELACIÓN ENTRE DIVIDENDO, DIVISOR, COCIENTE Y RESTO Veremos ahora la relación que existe en toda división entre el Dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Dividendo: D Resto: R divisor: d Cociente: C D C d + R Si se trata de polinomios, se cumplirá: D(x) C(x) d(x) + R(x) Sólo si una división es exacta (tiene resto cero) puede decirse que su resultado es igual al cociente Siempre que se haga una división entre polinomios puede verificarse el resultado aplicando esta fórmula. Polinom ios - M atem ática

13 Para Practicar Fatela 1) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas anteriormente, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto. TEOREMA DEL RESTO El Teorema del Resto se emplea para obtener el resto de una división sin realizar la misma y aún sin aplicar la Regla de Ruffini. Tiene la misma validez que la Regla de Ruffini: se aplica sólo para divisiones por un polinomio divisor de la forma: x a, o sea para divisores mónicos o normalizados de primer grado. Como veremos más adelante, cuando se intenta factorear un polinomio es importante conocer el resto de la división de dicho polinomio por otro de la forma: x a, incluso antes de realizar la división, porque se busca que el resto sea cero, con lo cual la división será exacta y dicha división se podrá igualar al cociente obtenido. Cuando ello no ocurre y el resto es distinto de cero se busca otro polinomio divisor de la forma "x a" hasta hallar uno para el cual el resto sea cero y por lo tanto la división sea exacta. En estos casos es útil el Teorema del Resto, donde se buscará obtener en forma rápida el resto de una división sin siquiera intentar realizarla. Al dividir polinomios, se cumple: D(x) C(x) d(x) + R(x) Si el polinomio divisor es de la forma: x a D(x) C(x) (x a) + R Se obtiene una identidad, o sea una expresión donde ambos miembros son iguales para todo valor de "x" En este caso el resto siempre será un número constante y no una función de "x" Si se toma: x a, la igualdad también se satisfará: D(a) C(a) (a a) + R Teorema del Resto D(a) R El Resto de una división de un polinomio D(x) por otro de la forma: x a, es igual al valor que toma el polinomio D(x) cuando "x" es igual a "a" Polinom ios - M atem ática

14 Si al dividir dos polinomios: D(x) d(x) el resto es cero, se dice que: D(x) es divisible por d(x). La división es exacta. Si d(x) x a, entonces "a" es una raíz o cero de D(x), puesto que D(a) R 0 d(x) es un factor de D(x): Si R 0 D(x) C(x) d(x) D(x) C(x). d(x) Para Practicar 1) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda. ) Halla el valor de k para que: 5 x k x + 3 sea divisible por x +. (k 3/) 3) Encuentra el valor de k de modo que 1 sea raíz del polinomio: P(x) x 4 3 x + k x + (k 0) 4) Calcular a y b para que se cumpla que: P(x) x + a x + b tenga como raíces a 5 y 0. (a 5/; b 0) 5) Calcular a y b para que se cumpla que: P(x) 4 x + a x + b deje resto 1 al dividirse por x y tenga a 1 como raíz. (a 3; b 1) POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS Estudiaremos las fórmulas que permiten realizar la potencia cuadrática y cúbica de un binomio. Cuadrado de un Binomio (a + b) (a + b). (a + b) a + a b + a b + b Cuadrado de un binomio (a + b) a + a b + b Trinomio Cuadrado Perfecto Polinom ios - M atem ática

15 Cubo de un Binomio (a + b) 3 (a + b). (a + b) (a + a b + b ). (a + b) a + a b + b (a + b) (a + b) 3 a a b + 3 a b + b 3 a b + a b + b 3 a 3 + a b + a b a a b + 3 a b + b 3 Cubo de un binomio Cuatrinomio Cubo Perfecto Para Practicar 1) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios: a) ( 5 x 3 + x 5 ) (5 x 6 0 x x 10 ) b) ( x 4 11 x 3 ) 3 (8 x 1 13 x x x 9 ) c) ( 7 x 5 x 3 ) (49 x x x 6 ) d) ( x 6 4 x) 3 ( 8 x x x 8 64 x 3 ) Trabajo Práctico: "Polinomios, Operaciones" 1) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios: a) 5 x 3 + x 5 b) 3 5 x5 + π x 3 6 x + ln 3 c) 5 x 3 7 x sen(πx) d) 4 x 3 + x 3 x x e) e x 3 x tg(π) x + 1 f) x 7 x + log x (5) g) x x cos(π/4) x 1 h) x 5 7 x + x 3 1 Polinom ios - M atem ática

16 ) Dados los siguientes polinomios, completar la tabla: Polinomio Incógnita Grado Coeficiente Principal Término Independiente P(r) r b 7 r 5 + a Q(t) s t 3 5 s 5 t 6 s 3 R(x) 3 t 5 x + x 4 3 x 3 S(w) x x w + 3 w 5 3) Dados los polinomios: P(x) x 3 5 x 3 x + 15 Q(x) 4 x 3 x + 5 R(x) x 3 Hallar: a) ½.Q(x) [R(x) P(x)] b) [R(x)] P(x) Q(x) c) 3 P(x) Q(x) [R(x)] 3 d) ½ R(x) P(x) ¼ Q(x) 4) Realizar las siguientes divisiones, efectuando la operación completa, y cuando sea posible aplicar la regla de Ruffini para verificar los resultados obtenidos. a) 4 D(x) x 3x + 5x d(x) x 3 b) D(x) 4x + x 3x d(x) x c) 3 5 D(x) 3x 5x + x x + d(x) x + x 3 d) D(x) 6 x + 5x + x x 5 d(x) x + 3 5) Verificar los resultados obtenidos en las divisiones realizadas en el ejercicio anterior, mediante la fórmula que relaciona: Dividendo, divisor, cociente y resto. 6) Calcular el resto de las divisiones realizadas antes, por medio de la aplicación del Teorema del Resto en los casos que corresponda. 7) Halla el valor de k para que: 3 k x 5 x + 1 sea divisible por x 3 Polinom ios - M atem ática

17 8) Encuentra el valor de k de modo que 5 sea raíz del polinomio: P(x) x 4 5 x k x + 0 9) Calcular a y b para que se cumpla que: P(x) x + ¼ a x 3 b tenga como raíces a 3 y. 10) Calcular a y b para que se cumpla que: P(x) 3 a x + b x deje resto 7 al dividirse por x + 1 y tenga a como raíz. Fatela 11) Resolver las siguientes potencias cuadráticas y cúbicas de los siguientes binomios: a) (3 x 3 x ) b) ( 6 x 3 7 x 5 ) 3 c) ( x x 3 ) d) (5 x 4 x ) 3 1) Dado P(x) x 3 1 x x + 60; Q 1 (x) x 3 y Q (x) x + 5, entonces: Q 1 (x) es factor de P(x) y Q (x) no lo es Ni Q 1 (x) ni Q (x) son factores de P(x) 13) Si P 1 (x) x 3 1/7; P (x) a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 y Q(x) P 1 (x) + P (x) y además es un Cuatrinomio Cubo Perfecto, entonces los coeficientes de P (x) valen: 14) Si P 1 (x) x x 5 x + 4; P (x) a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 ; Q(x) x x 7 x + 3 y además Q(x) P 1 (x) P (x) entonces los coeficientes de P (x) valen: a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) Q 1 (x) y Q (x) son factores ambos de P(x) Q (x) es factor de P(x) y Q 1 (x) no lo es a) b) c) d) e) a 3 0 ; a ; a 1 ; a 0 1 a 3 1 ; a 1 ; a 1 3 ; a 0 1 a 3 0 ; a 1 ; a 1 1/3 ; a 0 0 a 3 1 ; a ; a 1 1/3 ; a 0 3 Ninguna Respuesta Anterior es Correcta a 3 3; a ; a 1 ; a 0 1 a 3 3 ; a ; a 1 ; a 0 1 a 3 ; a 1; a 1 ; a 0 0 a 3 3 ; a 3; a 1 ; a 0 Ninguna Respuesta Anterior es Correcta Ninguna Respuesta Anterior es Correcta Polinom ios - M atem ática

18 Respuestas del trabajo Práctico: "Polinomios, Operaciones" 1) a) No b) Sí c) No d) No ) e) Sí f) No g) Sí h) No Fatela Polinomio Incógnita Grado Coeficiente Principal Término Independiente P(r) r b 7 r 5 + a r b 7 + a Q(t) s t 3 5 s 5 t 6 s 3 t 6 s 3 5 s 5 R(x) 3 t 5 x + x 4 3 x 3 x t 5 S(w) x x w + 3 w w 5 3) a) 3 x 3 5 x 6 x + 41/ b) 8 x x x 4 14 x 3 x x 141 c) 8 x x 4 5 x 3 63 x 11 x + 6 d) x 5 3 x 4 15/ x / x + 8 x 95/4 3 5 x 3 4) a) C(x) x x + 6 x + 3 R(x) 69 b) C(x) x 4 6 x x 57 x R(x) 55 c) C(x) x 3 x + 10 x 31 R(x) 91 x 91 d) C(x) x x + 4 x 13 R(x) 1 x ) Verificar el ejercicio anterior 6) Verificar el resto en a) y b) del 4) 7) k 14/7 8) k 5 9) a 4 ; b 10) a 4/9 ; b 11/3 11) a) 9 x 6 1 x x 4 b) 16 x x x x 15 c) x 8 8 x x 6 d) 15 x x x 8 8 x 6 1) Opción a) 13) Opción c) 14) Opción b) Polinom ios - M atem ática

19 MATEMÁTICA TEMA Nº 15 POLINOMIOS, FACTORIZACIÓN" Fatela En este tema se tratará sobre: Qué es factorizar un polinomio? Para qué factorizar los polinomios? Casos de Factoreo: 1) Factor Común. ) Factor Común por Grupos. 3) Trinomio Cuadrado Perfecto. 4) Cuatrinomio Cubo Perfecto. 5) Diferencia de Cuadrados. 6) Suma o Resta de Potencias de Igual Exponente. 7) Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y Distintas. Descomposición en Factores de un Polinomio: Teorema Fundamental del Álgebra Factorización por tanteo: Teorema de Gauss Casos Combinados de Factoreo. QUÉ ES FACTORIZAR UN POLINOMIO? Factorizar un polinomio es descomponerlo en factores, de manera que el polinomio que inicialmente es una suma algebraica de términos, se transforme en un producto entre factores (dentro de los cuales puede haber también sumas o restas). Por ejemplo, el siguiente polinomio se puede factorizar como: Expresión Polinómica Expresión Factorizada P(x) x x x 3 (x + 1) (x 1) (x + 3) Ahora veremos las técnicas a emplear para realizar la descomposición en factores o factorización de todo tipo de polinomios, que se agruparán en los siete casos de factoreo, los cuales se describirán en detalle y luego se combinarán entre sí. Polinom ios - M atem ática

20 PARA QUÉ FACTORIZAR LOS POLINOMIOS? Fatela Los polinomios se factorizan porque la descomposición en factores ayuda a simplificar expresiones algebraicas. Por ejemplo, si se tiene la expresión fraccionaria: Siempre debe aclararse la condición que debe cumplir "x" para que la expresión simplificada sea equivalente a la original. En este ejemplo, vemos que "x" debe ser distinta de 1 y de 1, para que la igualdad 1 sea correcta. De otro modo, por ejemplo si x tomara el valor "1", el primer miembro de la expresión mencionada sería una indeterminación (0/0) que no podría calcularse, mientras que el segundo miembro sería igual a "4", lo cual plantea claramente una diferencia que hace que esta igualdad no sea válida para ese valor de "x". CASOS DE FACTOREO: Los casos típicos de factoreo, que se estudiarán en detalle a continuación son siete: 1) FACTOR COMÚN: ( x + 1)( x 1)( x + 3) ( )( ) 3 x + 3 x x 3 x 1 x + 1 x 1 1 x x + 3 x x 3 x 1 x + 3 Factor Común "a" Se factorizan ambos polinomios y se simplifican los factores que corresponda Expresión Válida x / x ± 1 a. b + a. c a. (b + c) Distributiva (del producto respecto a la suma) Cuando todos los términos de un polinomio presentan un factor en común, el mismo puede extraerse como factor, dejando entre paréntesis la suma algebraica de los factores no comunes, tal como se muestra en el cuadro superior. Sacar un factor común es la operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva (de la multiplicación respecto a la suma). Cuando haya una expresión algebraica (con letras y números) se tiene que sacar el máximo factor común que se pueda extraer, lo cual implicará que se tengan que factorear o descomponer en factores primos los coeficientes. Polinom ios - M atem ática

21 Luego de esto, el factor común estará compuesto por todos los factores (entre letras y números) que sean comunes a todos los términos del polinomio con su menor exponente. Por ejemplo vamos a factorear el polinomio: P(x) 8 x 3 1 x + 0 x P(x) 8 x 3 1 x + 0 x 3 x 3 3 x + 5 x P(x) x ( x 3 x + 5) P(x) 4 x ( x 3 x + 5) Siempre conviene revisar el resultado aplicando mentalmente la propiedad distributiva, para verificar que coincida con el polinomio dado inicialmente. Para Practicar Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común": a) P(x) 5 x 7 35 x x b) Q(x) 4 9 x3 y x y x6 y 5 c) R(x) 80 a 3 b c 4 30 a 4 b c 5 70 a 5 b 5 c Resultados: a) 5 x (x 5 7 x + 3) b) 4 3 x y ( 1 3 x y x4 y 4 ) c) 10 a 3 b c (8 b c 3 a c 3 7 a b 4 ) ) FACTOR COMÚN POR GRUPOS: En el factor común por grupos, no existe un factor común "total" para todo el polinomio, sino que existen factores comunes si el polinomio se separa en grupos. Para ello el polinomio debe contar con un número par de términos desde cuatro en adelante. Una vez separado el polinomio en los grupos que corresponde, debe extraerse el factor común en cada grupo. En este primer paso el polinomio Polinom ios - M atem ática

22 todavía no está factoreado, pues la operación "externa" o principal sigue siendo la suma algebraica. Al sacar factor común en cada grupo es necesario a veces manipular la expresión para que vayan quedando iguales los paréntesis, que representan a los factores no comunes de cada grupo. Esto se hace para luego extraer como factor común "total" a dicho paréntesis. Así se completa el factoreo del polinomio, quedando entre paréntesis, como no comunes, los términos sacados en el primer paso como factores comunes de cada grupo. Grupos a x + a y + b x + b y a (x + y) + b (x + y) (x + y) (a + b) a x + a y + b x + b y (x + y) (a + b) Grupos x 3 + x + 3 x + 6 x (x + ) + 3 (x + ) (x + ) (x + 3) x 3 + x + 3 x + 6 (x + ) (x + 3) Con otro ejemplo veremos como se "acomodan" los factores comunes por grupos a fin de que quede igual el paréntesis en cada grupo: Grupos x 3 3 x x + 6 x (x 3) (x 3) (x 3) (x ) x 3 3 x x + 6 (x 3) (x ) Como resulta obvio, no en cualquier caso se podrá aplicar el factor común por grupos. Para hacerlo debe darse la circunstancia de que pueda aparecer un paréntesis común, luego del factoreo de los grupos. Polinom ios - M atem ática - -53

23 Para Practicar Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común por grupos": a) P(x) 5 x 3 35 x + x 14 b) Q(x) 3 x3 + 3 x 10 3 x 15 c) R(x) x 4 5 x 3 x + 10 d) S(x) y x 3 x y x + 3 x + y 6 Resultados: a) (x 7) (5 x + ) b) x (x 5) c) (x 5) (x 3 ) d) (y 3) (x x + ) 3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Tal como demostramos en la guía anterior N 14, el desarrollo del cuadrado de un binomio es un trinomio llamado Trinomio Cuadrado Perfecto. Ahora realizaremos el pasaje inverso, dado un trinomio que es cuadrado perfecto, llegaremos a obtener el binomio que elevado al cuadrado equivaldrá al polinomio dado. Factoreo Trinomio Cuadrado Perfecto a + a b + b (a + b) Cuadrado de un binomio Desarrollo Se hace notar que el Cuadrado de un Binomio corresponde a un polinomio expresado en forma factorizada, de modo que se ha realizado el factoreo del polinomio dado: (a + b) (a + b) (a + b) Polinom ios - M atem ática

24 Por ejemplo: Se extrae raíz cuadrada P(x) x + 6 x + 9 (x + 3) x 3 Fatela Se extrae raíz cuadrada x 3 6 x Siempre se debe verificar que coincida el término central del trinomio P(x) x + 6 x + 9 (x + 3) Para realizar el factoreo, el procedimiento a seguir es el siguiente: 1) Dado el trinomio se ubican los dos términos que son cuadrados perfectos, a los cuales se les puede sacar la raíz cuadrada en forma exacta. Necesariamente deben ser términos positivos y las letras deberán estar elevadas a exponentes pares. ) Se les extrae la raíz cuadrada a dichos términos, encontrándose así los términos que serían el "a" y el "b" del binomio a obtener. 3) Por último debe verificarse que en realidad se trata de un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se calcula el doble producto de "a" por "b" y se revisa si coincide con el término central del polinomio. De ser así, ha concluido el factoreo y el polinomio dado equivale al cuadrado del binomio hallado. Resulta obvio que el polinomio dado puede estar desordenado y el llamado "término central" podría no estar en el centro del mismo. Otro ejemplo: P(x) x 10 x + 5 (x 5) x Para Practicar 5 x ( 5) 10 x P(x) x 10 x + 5 (x 5) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Trinomio Cuadrado Perfecto": a) P(x) x + 4 x + 4 b) Q(x) x x + 1 Si el término central es negativo, debe tomarse la raíz cuadrada negativa de uno de los cuadrados perfectos (por ejemplo del segundo); para que luego, al hacer la verificación, haya coincidencia de signo con dicho término central. Polinom ios - M atem ática

25 c) R(x) 4 x 1 x + 9 d) S(x) 9 x x 3 y + 5 y 4 e) T(x) x 4 + ¼ + x f) U(x) x + 1 x 36 Resultados: a) (x + ) b) (x 1) c) ( x 3) d) (3 x y ) e) (x + ½) f) (x 6) 4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Factoreo Cuatrinomio Cubo Perfecto a a b + 3 a b + b 3 (a + b) 3 Cubo de un binomio Desarrollo Se hace notar que también el Cubo de un Binomio corresponde a un polinomio expresado en forma factorizada, de modo que se ha realizado el factoreo del polinomio dado: (a + b) 3 (a + b) (a + b) (a + b) Por ejemplo: Saco raíz cúbica P(x) x x + 1 x + 8 (x + ) 3 x 3 x 1 x Saco raíz cúbica 3 x 6 x Siempre se debe verificar P(x) x x + 1 x + 8 (x + ) 3 que coincidan los términos centrales del cuatrinomio Polinom ios - M atem ática

26 Para realizar el factoreo, el procedimiento a seguir es el siguiente: Fatela 1) Dado el cuatrinomio se ubican los dos términos que son cubos perfectos, a los cuales se les puede sacar la raíz cúbica en forma exacta. Pueden ser términos positivos o negativos y las letras deberán estar elevadas a exponentes múltiplos de tres. ) Se les extrae la raíz cúbica a dichos términos, encontrándose así los términos que serían el "a" y el "b" del binomio a obtener. 3) Por último debe verificarse que en realidad se trata de un cuatrinomio cubo perfecto, para lo cual se calculan los que deberían ser los términos centrales del cubo del binomio hallado y se revisa si coincide con los términos centrales del polinomio dado. De ser así, ha concluido el factoreo y dicho polinomio equivale al cubo del binomio obtenido. Obviamente el polinomio a factorear puede estar desordenado y los llamados "términos centrales" podrían no estar en la parte central del mismo. Otro ejemplo: P(x) x 3 15 x + 75 x 15 (x 5) 3 x 5 3 x ( 5) 75 x En este caso no hay incertidumbre sobre el signo de los términos "a" y "b" del binomio a obtener, puesto que la raíz cúbica asigna un único valor a cada número. 3 x ( 5) 15 x P(x) x 3 15 x + 75 x 15 (x 5) 3 Como el binomio obtenido es una resta, los signos del cuatrinomio quedan alternados Para Practicar Factorear los siguientes polinomios aplicando "Cuatrinomio Cubo Perfecto": a) P(x) x 3 3 x + 3 x 1 b) Q(x) x x + 7 x + 7 c) R(x) 8 x 3 48 x + 96 x 64 d) S(x) 7 x x y + 5 x y + 15 y 3 e) T(x) x 6 9 x 4 y x y 10 7 y 15 f) U(x) x x x 6 Polinom ios - M atem ática

27 Resultados: a) (x 1) 3 b) (x + 3) 3 c) ( x 4) 3 d) (3 x + 5 y) 3 e) (x 3y 5 ) 3 f) (x 3 + 9) 3 5) DIFERENCIA DE CUADRADOS: Ya demostramos en el apunte N 1, que el producto de la suma por la resta de dos números "a" y "b" da como resultado la diferencia entre los cuadrados de ambos números. De modo que este quinto caso de factoreo se reduce a aplicar esta propiedad en sentido inverso. Ya vimos que: (a + b) (a b) a a.b + a.b b Diferencia de Cuadrados a b (a + b) (a b) Producto de la Suma por la Diferencia de dos números Por ejemplo: P(x) 4 x 9 ( x + 3) ( x 3) Se extrae raíz cuadrada x 3 Suma por la resta de las bases P(x) 4 x 9 ( x + 3) ( x 3) Otro ejemplo: P(x) x 4 16 (x + 4) (x 4) (x + 4) (x + ) (x ) Se extrae raíz cuadrada x 4 x P(x) x 4 16 (x + 4) (x + ) (x ) Para realizar el factoreo, el procedimiento a seguir es el siguiente: 1) Se separan los cuadrados perfectos, que siempre deben estar restando. Pueden ser también potencias de cualquier exponente que sea par. ) Se extraen las raíces cuadradas de estos términos. Se toma siempre las raíces positivas. Polinom ios - M atem ática

28 3) Luego se reemplaza el polinomio dado por el producto entre la suma y la diferencia de las bases de los cuadrados recientemente halladas. Como vimos en el ejemplo anterior, a veces puede aplicarse este método en forma reiterada, hasta la descomposición máxima que se pueda realizar del polinomio. Para Practicar a) P(x) x 64 b) Q(x) 9 x 5 Factorear los siguientes polinomios aplicando "Diferencia de Cuadrados": d) S(x) 81 x 4 65 e) T(x) x 6 1 c) R(x) 36 x y 4 49 z 6 Resultados: a) (x + 8) (x 8) b) (3 x + 5) (3 x 5) c) (6 x y + 7 z 3 ) (6 x y 7 z 3 ) f) U(x) 16 9 x4 1 5 y d) (9 x + 5) (3 x + 5) (3 x 5) e) (x 3 + 1) (x 3 1) f) x + y x y ) SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE: Se trata de factorear binomios con suma o resta de dos potencias de igual grado. Se sugiere que el alumno aplique siempre lo recomendado en este cuadro. a n + b n Resto 0 1 Si "n" es impar n a + b a + b n a n b n C(x) a n + b n C(x) (a + b) Resto 0 a n ± b n n a b a b n C(x) a n b n C(x) (a b) Si "n" es par a n + b n a n b n No se puede factorear Aplicar Diferencia de Cuadrados 3 4 Polinom ios - M atem ática

29 Caso 1: Suma de Potencias de Exponente Impar: Fatela En este caso se debe proceder a dividir el polinomio dado por la suma de las bases de las potencias que lo integran. Veamos un ejemplo: P(x) x x Las bases son: x y x + x + 0 x + 0 x + 8 x x 4 + x + x + x (x x + 4) (x + ) Usamos la Regla de Ruffini para realizar la división Resto La división es exacta Caso : Resta de Potencias de Exponente Impar: En este caso se debe proceder a dividir el polinomio dado por la resta de las bases de las potencias que lo integran. Veamos un ejemplo: P(x) x 3 8 x 3 3 Las bases son: x y x x + 0 x + 0 x 8 x x x x x 3 8 (x + x + 4) (x ) Usamos la Regla de Ruffini para realizar la división Resto La división es exacta Caso 3: Suma de Potencias de Exponente Par: En este caso no se puede factorear. Algunos ejemplos: P(x) x + 4 Q(x) 4 x + 9 R(x) x y 4 Suma de potencias con exponente par: no se puede factorear Polinom ios - M atem ática

30 Caso 4: Resta de Potencias de Exponente Par: Fatela En este caso lo más conveniente es aplicar la diferencia de cuadrados, para realizar el factoreo de manera rápida y llegar hasta la máxima descomposición posible del polinomio dado. Para ello hay que adaptar el polinomio a factorear hasta "acomodarlo" como una diferencia de cuadrados, y aplicar el quinto caso de factoreo. Por ejemplo: P(x) x 6 64 x 6 6 Se trata de un sexto caso Se adapta como diferencia de cuadrados (x 3 ) 8 Se aplica el quinto caso de factoreo (x 3 + 8) (x 3 8) Luego se aplica el sexto caso a cada uno de los factores, tal como vimos en la página anterior (x x + 4) (x + ) (x + x + 4) (x ) x 6 64 (x + ) (x ) (x + x + 4) (x x + 4) Si no se hace esto, y se intenta una solución similar al caso (que no es recomendada para potencias de exponente par) el proceso de factorización se hace más complicado, como se muestra a continuación: P(x) x 6 64 x 6 6 Las bases son: x y Resolveremos el problema anterior aplicando Ruffini desde el inicio (no recomendable) x x + 0x + 0x + 0x + 0x + 0x 64 x x Resto Usamos la Regla de Ruffini para realizar la división x x x x 4 x 8 x 16 x La división es exacta Polinom ios - M atem ática

31 ( )( ) x 6 6 x 5 + x x x + 16 x + 3 x ( ) x x ( x + x + 4) + 8 (x + x + 4) x ( x ) ( ) ( ) x x + 4 x x ( x )( ) ( ) x x + 4 x x Agrupamos para sacar factor común en grupos Sacamos factor común en grupos Aplicamos sexto caso a este término Como vemos, arribamos al mismo resultado final, pero la solución es más trabajosa. Primero hemos aplicado la Regla de Ruffini para dividir el polinomio dado por la resta de sus bases, con lo cual ha quedado un polinomio cociente de quinto grado. Ahora tenemos que descomponer este polinomio, para lo cual hay que tomar factor común en grupos. Si esta elección no se hace en forma correcta la descomposición del polinomio se traba. Por último tenemos que aplicar el sexto caso al binomio cúbico que aparece luego del factor común en grupos. Se recomienda al alumno que no siga este camino, sino que se ajuste a lo expuesto en el cuadro inicial sobre como operar en el sexto caso, de modo de evitar que se trabe la descomposición del polinomio en todos sus factores posibles y con ello no pueda simplificar convenientemente las expresiones dadas. Para Practicar ( x )( ) ( x )( ) x x + 4 x x + 4 x + a) P(x) x b) Q(x) x 3 7 c) R(x) x 6 1 Factorear los siguientes polinomios aplicando "Suma o Resta de Potencias de Igual Exponente": Resultados: a) (x + ) (x 4 x x 8 x + 16) b) (x 3) (x + 3 x + 9) d) S(x) x e) T(x) x f) U(x) 8 x 3 15 c) (x x + 1) (x + 1) (x + x + 1) (x 1) Polinom ios - M atem ática

32 d) x (No se puede descomponer) Fatela 7) Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y distintas: Un último caso de factoreo lo constituyen los polinomios cuadráticos que tienen dos raíces reales y distintas. Como ya vimos en la guía N 10 "Función Cuadrática" los polinomios de segundo grado se pueden factorear conociendo sus raíces: Por ejemplo: P(x) a x + b x + c a (x X 1 ) (x X ) Sólo se puede aplicar este caso de factoreo cuando el trinomio cuadrático tiene raíces reales y distintas P(x) x + 10 x + 1 P(x) (x + 5 x + 6) e) (x + ¼) (x + ½) (x ½) f) (4 x + 10 x + 5) ( x 5) Aplicando la fórmula resolvente las raíces son X 1, y X 3 P(x) (x + ) (x + 3) P(x) x + 10 x + 1 (x + ) (x + 3) Es importante, además de sacar las raíces X 1 y X y colocar los factores respectivos, no olvidar de repetir el coeficiente principal "a" como factor, pues en caso contrario está mal realizado el factoreo: la expresión hallada no coincidiría con el polinomio dado aunque tuviera sus mismas raíces. Si el polinomio cuadrático tiene raíces reales e iguales, este caso se hace coincidente con el tercer caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Por ejemplo: P(x) x + 6 x + 9 Aplicando la fórmula resolvente las raíces son X 1 X 3 P(x) (x + 3) (x + 3) P(x) x + 6 x + 9 (x + 3) Si el polinomio cuadrático no tiene raíces reales, se dice que el mismo es "irreducible en el campo real" y se debe dejar tal cual está. Por ejemplo: P(x) x + 3 x + 9 P(x) x + 3 x + 9 No tiene Raíces Reales Polinomio Cuadrático Irreducible Polinom ios - M atem ática

33 Obsérvese que el binomio: P(x) x + 4 que habíamos visto como un sexto caso de factoreo que no se podía reducir en factores, corresponde a un polinomio cuadrático irreducible pues no tiene raíces reales. También al aplicar el sexto caso de factoreo para exponentes impares, cuando se realiza la división por Regla de Ruffini, queda siempre un polinomio cociente que no se puede seguir factoreando: es un polinomio irreducible en el campo real, puede ser cuadrático (ver página 11) o de mayor orden (ejercicio a). Para Practicar Factorear los siguientes polinomios aplicando "Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y distintas": a) P(x) x 7 x + 10 d) S(x) x 6 x 5 b) Q(x) x x 6 c) R(x) 3 x 18 x + 15 Resultados: a) (x ) (x 5) b) (x 3) (x + ) c) 3 (x 5) (x 1) e) T(x) 5 x 0 x 105 f) U(x) 4 x 7 x + 10 d) (x + 5) (x + 1) e) 5 (x + 3) (x 7) f) 4 x 7 x + 10 (Irreducible) DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DE UN POLINOMIO Pueden darse distintas situaciones al descomponer un polinomio de grado "n": A) El polinomio tiene todas sus raíces reales y distintas: Si el polinomio P(x) de grado "n", tiene todas sus "n" raíces reales y distintas, se podría descomponer en factores: P(x) a n. (x X 1 ). (x X ) (x X n ) Coeficiente Principal Descomposición factorial de un polinomio con raíces reales y distintas Como caso particular, vemos que si el polinomio es de segundo grado, la descomposición factorial del polinomio coincide con la forma factorizada de la función cuadrática. B) El polinomio tiene todas sus raíces reales, simples o múltiples: Si el polinomio P(x) de grado "n", tiene todas sus "n" raíces reales (entre iguales y distintas) se podría descomponer en factores como lo indica el cuadro que sigue. Vemos que hay un factor por cada raíz real simple, y por cada raíz real múltiple hay un factor elevado al orden de multiplicidad de dicha raíz. Polinom ios - M atem ática

34 P(x) a n. (x X 1 ). (x X ) (x X i ) ri. (x X j ) r j Fatela Órdenes de multiplicidad de las raíces múltiples Raíces Simples Coeficiente Principal Raíces Múltiples Por ejemplo, si el polinomio P(x) cuyo coeficiente principal es y tiene raíces reales y simples en X 1 y X 3 y una raíz doble en X 3 5, el mismo se puede expresar en factores como: P(x). (x + ) (x 3) (x 5) C) El polinomio tiene raíces complejas: Si el polinomio P(x) de grado "n", tiene raíces no reales (pares complejas conjugadas) en la descomposición en factores aparecerán polinomios cuadráticos irreducibles: P(x) a n (x X 1 ) (x X ) (x X i ) ri (x X j ) rj (x + α x + β) Raíces Simples Raíces Múltiples Coeficiente Principal Por ejemplo, según lo visto en la página 1: Pares Complejas Conjugadas x 6 64 (x + ) (x ) (x + x + 4) (x x + 4) Este polinomio tiene dos raíces reales y simples, y dos pares complejas conjugadas, representadas por los polinomios cuadráticos irreducibles. O sea dos raíces reales y cuatro no reales. En caso de tener raíces no reales, las mismas aparecen siempre de a pares complejas conjugadas. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: Como conclusión de todo lo visto, el Teorema Fundamental del Álgebra establece que "todo polinomio de grado "n" tiene "n" raíces en total", entre las cuales se cuentan las reales y simples, las reales y múltiples con su respectivo orden de multiplicidad y los pares de complejas conjugadas". Polinom ios - M atem ática

35 FACTORIZACIÓN POR TANTEO: Fatela Ya sabemos como factorizar una ecuación de segundo grado con raíces reales (séptimo caso de factoreo), pero cuando el polinomio es de mayor grado y no podemos aplicarle ningún caso de factoreo no existen fórmulas resolventes sencillas para poder conocer sus raíces y con ello hacer la factorización del polinomio. En estos casos, lo habitual es buscar una primera raíz por tanteo. Esto significa que le damos un valor cualquiera a "x" (generalmente se prueba con ± 1, ±, etc.) y se calcula el valor del polinomio P(x). Si P(x) 0, hemos encontrado una raíz "X 1 " y con ello ya tenemos un término (x X 1 ) de la descomposición en factores del polinomio. Luego dividimos P(x)/(x X 1 ) y obtenemos un polinomio de grado "n 1", el cual se trata de factorizar por algún caso o se vuelve a aplicar el mismo método de búsqueda de una raíz por tanteo, para continuar el proceso hasta la descomposición total del polinomio. Por ejemplo, para factorear el polinomio: P(x) x x + x 6 1) Buscamos una raíz por tanteo: probaremos con x 1 P(1) P(1) P(1) 0 Hemos encontrado por tanteo una raíz en X 1 1 ) Con el objeto de seguir factoreando el polinomio, dividiremos al mismo por el factor encontrado (x X 1 ) de su descomposición factorial: 1 3 P(x) x + 4x + x 6 x + 5x + 6 x X x 1 De manera que: P(x) (x + 5 x + 6) (x 1) Usamos la Regla de Ruffini para realizar la división Resto P(x) (x + ) (x + 3) (x 1) Aquí aplicamos séptimo caso: Por lo tanto las Raíces de este polinomio serán: X 1 1; X y X 3 3 Polinom ios - M atem ática

36 TEOREMA DE GAUSS: Fatela Para no tener que realizar el "tanteo" a ciegas existe el Teorema de Gauss, el cual nos proporciona una lista acotada de probables raíces racionales del polinomio. Pero un polinomio puede tener también raíces reales no racionales (irracionales) con lo cual la utilidad de este teorema es relativa. Dado un polinomio con coeficiente principal "a n " y término independiente "a 0 ", el Teorema de Gauss establece que si este polinomio tiene raíces racionales (pertenecientes al conjunto Q) entonces las mismas están dentro de una lista que se puede armar tomando todas las fracciones posibles cuyo numerador sea un divisor de "a 0 " y cuyo denominador sea divisor de "a n ". De esta forma, el Teorema de Gauss nos brinda una lista finita de posibilidades para buscar por tanteo una probable raíz racional del polinomio. Por ejemplo, siguiendo con el polinomio: P(x) x x + x 6 a n 1 1) Hallamos los divisores del término independiente a 0 6: D(a 0 ) D( 6) {± 1, ±, ± 3, ± 6} a 0 ) Hallamos los divisores del coeficiente principal a n 1: D(a n ) D(1) {± 1} 3) Haciendo el cociente entre los números enteros de los divisores de "a 0 " sobre los de "a n ", tenemos la lista de posibles raíces racionales del polinomio: n { ± 1, ±, ± 3, ± 6} { ± } D(a 0) ± ± ± ± D(a ) 1 { 1,, 3, 6} Si P(x) tiene raíces racionales, están en esta lista Como ya vimos en la página anterior, P(x) tiene las tres raíces racionales, que son: X 1 1; X y X 3 3 y se cumple que están en esta lista La obtención de la lista de probables raíces racionales, por aplicación del Teorema de Gauss, no me asegura que algunos de estos números sean raíces del polinomio. Es perfectamente posible que el polinomio P(x) no tenga raíces racionales, sino sólo raíces irracionales y/o complejas, con lo cual la utilidad de este teorema es limitada. Polinom ios - M atem ática

37 Para Practicar Factorear los siguientes polinomios aplicando la factorización por tanteo o el Teorema de Gauss: Fatela a) P(x) x x 7 x 10 b) Q(x) x 3 x x 1 c) R(x) x 3 + x x 40 d) S(x) x 3 4 x + 1 x 9 Resultados: a) (x ) (x + 5) (x + 1) b) (x 3) (x + x + 4) c) (x + 4) (x 5) (x + ) d) (x 1) (x 3 x + 9) CASOS COMBINADOS DE FACTOREO Al factorear polinomios es muy común que se tengan que combinar los distintos casos de factoreo que hemos visto. Por lo general se sugiere que el alumno vaya revisando en el orden dado los siete casos de factoreo vistos, para ver si los puede aplicar. O sea, antes de ver si hay algún factor común, no intentar aplicar otro caso, pues si lo hacemos a menudo la factorización posterior se complica y nos va a costar más llegar a la expresión más descompuesta posible. A continuación veremos algunos ejemplos de factorización combinando casos de factoreo: Ejemplo N 1 P(x) 0 x 45 P(x) 5. (4 x 9) P(x) 5. ( x + 3) ( x 3) Sacamos Factor Común Aplicamos Diferencia de Cuadrados P(x) 0 x 45 5 ( x + 3) ( x 3) Ejemplo N P(x) x + 8 x 8 P(x). (x 4 x + 4) P(x). (x ) Sacamos Factor Común Aplicamos Trinomio Cuadrado Perfecto P(x) x + 8 x 8. (x ) Polinom ios - M atem ática

38 Ejemplo N 3 P(x) x x x 3 P(x) x (x + 3) (x + 3) P(x) (x + 3) (x 1) P(x) (x + 3) (x + 1) (x 1) Sacamos Factor Común por Grupos Aplicamos Diferencia de Cuadrados P(x) x x x 3 (x + 3) (x + 1) (x 1) Ejemplo N 4 P(x) 81 x 3 4 P(x) 3. (7 x 3 8) P(x) 3. [(3 x) 3 3 ] z 3 x P(z) 3. [(z) 3 3 ] Sacamos Factor Común Para factorizar el término [(3 x) 3 3 ] planteo un cambio de variable, a una variable "z"; que va a ser necesario para poder aplicar el sexto caso con la Regla de Ruffini. En caso contrario al aplicar el caso tendría que dividir por (3 x ) que no es mónico z 1z + 0 z + 0 z 8 z + z + 4 z z Usamos la Regla de Ruffini para realizar la división Resto P(z) 3. (z + z + 4) (z ) P(x) 3. [(3 x) + (3 x) + 4] [(3 x) ] P(x) 3. (9 x + 6 x + 4) (3 x ) Reemplazamos "z" por "3 x" P(x) 81 x (9 x + 6 x + 4) (3 x ) Polinom ios - M atem ática

39 Para Practicar a) P(x) 45 x + 80 Factorear los siguientes polinomios aplicando casos combinados de factoreo: d) R(x) x 3 x + x 4 Fatela b) Q(x) 3 x 30 x + 75 e) S(x) 5 x 3 30 x + 60 x 40 c) R(x) x 3 3 x 16 x + 48 f) R(x) x 6 x Resultados: a) 5 (3 x + 4) (3 x 4) b) 3 (x 5) c) (x + 4) (x 4) (x 3) d) (x + ) (x x + 1) e) 5 (x ) 3 f) x (x + 1) (x + 1) (x 1) Trabajo Práctico: "Polinomios, Factorización" 1) Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común": a) P(x) 30 x 5 4 x 3 18 x 7 b) Q(x) 5 8 x y x y x3 y c) R(x) 81 a 6 b 3 c 7 a 3 b c a 7 b 6 c 4 ) Factorear los siguientes polinomios aplicando "factor común por grupos": a) P(x) 3 x 3 15 x + x 5 b) Q(x) 1 x 3 + x x 14 c) R(x) x x 4 6 x 18 d) S(x) y x x + y x 4 x + 4 y 8 3) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Trinomio Cuadrado Perfecto" a) P(x) x 8 x + 16 b) Q(x) x 10 x + 5 d) S(x) 4 x 4 1 x y y 10 e) T(x) 4 x x c) R(x) 5 x + 0 x + 4 f) U(x) 4 x + 1 x 9 4) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Cuatrinomio Cubo Perfecto": Polinom ios - M atem ática

40 a) P(x) x 3 1 x + 48 x 64 b) Q(x) x x x c) R(x) 7 x 3 7 x + 9 x 1 Fatela d) S(x) 8 x x z + 54 x z + 7 z 3 e) T(x) 15 x 1 75 x 8 y + 15 x 4 y 4 y 6 f) U(x) x x x ) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Diferencia de Cuadrados": a) P(x) x 49 b) Q(x) 16 x 81 c) R(x) 5 x 6 y 100 z 8 d) S(x) 16 x 4 1 e) T(x) x 4 56 f) U(x) 5 4 x6 1 9 z 6) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Suma o Resta de Potencias de Igual Exponente": a) P(x) x b) Q(x) x 3 15 c) R(x) x 6 79 d) S(x) x + 9 e) T(x) x f) U(x) 7 x 3 8 7) Factorear los siguientes polinomios aplicando "Polinomio Cuadrático con Raíces Reales y distintas": a) P(x) x 3 x 4 b) Q(x) x 8 x + 15 c) R(x) 5 x 10 x 40 d) S(x) x x + 3 e) T(x) x 6 x + 0 f) U(x) 3 x 5 x + 4 8) Factorear los siguientes polinomios aplicando la factorización por tanteo o el Teorema de Gauss: a) P(x) x 3 + x 5 x 6 b) Q(x) x 3 + x + 3 x 18 c) R(x) x 3 + x 17 x + 15 d) S(x) x 3 + x 4 x ) Factorear los siguientes polinomios aplicando casos combinados de factoreo: a) P(x) 8 x + 50 d) R(x) 3 x x 6 x 1 b) Q(x) x + 0 x + 50 e) S(x) 4 x 3 36 x x 108 c) R(x) x 3 x 9 x + 18 f) R(x) x 7 16 x 3 Polinom ios - M atem ática