POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS: 1.- Suma y resta de polinomios: Sumando o restando los monomios que sean semejantes.

Transcripción

1 Recordemos previamente algunos conceptos: POLINOMIOS MONOMIO: expresión algebraica de la forma a x n, siendo a un número real y n un número natural. ( a se llama coeficiente, x n es la parte literal y n es el grado del monomio). Ej: 4x 3 es un monomio de coeficiente 4 y grado 3. Monomios semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal. Ej:2x, 3x POLINOMIO: Expresión algebraica que es suma o resta de varios monomios no semejantes. Se denomina binomio a la suma de dos monomios no semejantes, ej: 3x 2 5 y trinomio a la suma o resta de tres monomios, ej: 5x 4 2x + 6 El grado de un monomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Ej: P(x) = 4x 3 + 5x 2 + 2x +3 Es un polinomio completo, ordenado, de grado 3, su coeficiente principal es 4, y su término independiente es 3. OPERACIONES CON POLINOMIOS: 1.- Suma y resta de polinomios: Sumando o restando los monomios que sean semejantes. 2.- Producto de polinomios: Se multiplica cada monomio del primer factor por todos los monomios del segundo factor aplicando la propiedad distributiva y luego se suman los monomios semejantes. Ej: ( 5x 2 3x) (x 4 2x 2 + 5) = 5x 6 10x x 2 3x 4 +6x 3 15x = = 5x 6 13x 4 + 6x 3 +25x 2 15x El grado del polinomio resultante siempre es la suma de los grados de los factores. 3.- División de polinomios: Dividir dos polinomios P(x) : Q(x), es determinar dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) ( resto) que cumplan que : a) P(x) = Q(x) C(x) + R(X). (Recuerda que es la regla para comprobar una división D = d c + r ) b) Grado ( R(x)) < Grado (Q(x) ) Es decir, la división se acaba cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor Diremos que una división P(x) : Q(x) es exacta si el resto es cero, es decir, R(x) = 0. En ese caso diremos que : el polinomio Q(x) es un divisor de P(x) o P(x) es divisible entre Q(x). El grado del polinomio cociente es igual a la diferencia de los grados de los polinomios dividendo y divisor. Página 1 de 9

2 MÉTODO PARA DIVIDIR POLINOMIOS Ejemplo: Nota: Observa que el producto de cada monomio del cociente por cada uno de los monomios del divisor se coloca cambiado de signo, debajo del monomio semejante a él del dividendo y posteriormente se suman los monomios semejantes. Este proceso se repite hasta que el grado del resto es inferior al del divisor, en el ejemplo anterior, cuando el resto es de grado 1, ya que el divisor es de grado 2. Página 2 de 9

3 REGLA DE RUFFINI Se trata de un método para dividir polinomios entre binomios de la forma (x a), siendo a un número real. Como el polinomio dividendo es de grado 5 y el divisor es de grado 1, el cociente será de grado 5-1 = 4, así que: Ejercicios propuestos: Realiza las siguientes divisiones por el método de Ruffini Página 3 de 9

4 TEOREMA DEL RESTO Valor numérico de un polinomio: El valor numérico del polinomio P(x) en x = a es el valor que alcanza dicho polinomio al sustituir la variable x por a y efectuar las operaciones correspondientes. Se denota P(a). Ejemplo: Sea P(x) = x 3 + 2x 2 23x 60. P(1 ) = = 80 P( 1) = = 36 P(2) = = 90 P( 2) = = 14 P(3) = = 84 P( 3) = = 0 Si P(a) = 0, entonces diremos que x = a es raíz del polinomio P(x). Obsérvese que en el ejemplo anterior x = 3 es una raíz de P(x) TEOREMA DEL RESTO: El resto R de dividir el polinomio P(x) entre (x a) coincide con el valor numérico de P(x) en x = a. Es decir, P(a) = R Demostración: Sea C(x ) el cociente de dividir P(x) entre (x a). Como en cualquier división D = d C + R ----> P(x) = C(x) (x a) + R Sustituyendo en esta expresión x por a se obtiene: P(a) = C(a) (a a) + R----> P(a) = C(a) 0 + R ----> P(a) = 0 + R ---> P(a) = R cqd Ejercicio resuelto: Página 4 de 9

5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresar el polinomio como producto de otros polinomios (factores) del menor grado posible. TEOREMA DEL FACTOR: Si x = a es una raíz de P(x), entonces x a es un factor de P(x) Demostración: Si x = a es una raíz de P(x), por definición, P(a) = 0 Dividimos P(x) entre x a, si R es el resto de esta división, por el teorema del resto, R = P(a), Luego, R = 0 Como P(x) = (x a ) C(x) + R P(x) = (x a ) C(x) Luego (x a ) es un factor de P(x) cqd PROCEDIMIENTO DE FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: 1. Extraer factor común cuando sea posible. 2. Si el polinomio a factorizar es de grado mayor que dos: Localizamos las raíces enteras del polinomio (Buscamos x= a entre los divisores del término independiente tales que P(a) = 0) Aplicamos Ruffini sucesivamente con las raíces encontradas para factorizar el polinomio. 3. Si el polinomio a factorizar es de grado 2: Identificamos productos notables Hallamos las raíces del polinomio de 2º grado, resolviendo la ecuación que resulta de igualar a cero dicho polinomio. Si la ecuación resultante no tiene solución real, diremos que dicho polinomio es irreducible en Página 5 de 9

6 EJEMPLOS RESUELTOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Ejemplo1: Factoriza el polinomio P(x) = x 4 x 2 Si observas, podemos extraer factor común a x 2 así que P(x) = x 2 (x 2 1) Como x 2 1 = (x + 1) (x 1) (identidad notable...puede expresarse como suma por diferencia) luego P(x) = x 2 (x +1) (x 1) Ejemplo 2: Ejemplo 3 (Ampliación): Página 6 de 9

7 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Una de las aplicaciones de la factorización de polinomios es la simplificación de fracciones algebraicas. Una fracción algebraica es una fracción del tipo polinomios. 4x + 3 Ej: x 2 5 P( x), siendo P(x) y Q(x) dos Q( x) Simplificar una fracción algebraica es obtener una equivalente a ella que sea más sencilla. Si una fracción no puede simplificarse, se dice que es irreducible. Procedimiento para simplificar una fracción algebraica: Seguiremos los siguientes pasos: 1º) Descomponemos en factores los polinomios que están en el numerador y en el denominador. 2º) Dividimos numerador y denominador entre los factores que tengan en común. (El mismo procedimiento que usamos para simplificar una fracción numérica) Ejemplo: Página 7 de 9

8 RESUMEN TEMA : POLINOMIOS Página 8 de 9

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