TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO

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1 TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x y 3 z Partes de un monomio COEFICIENTE El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. PARTE LITERAL La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. GRADO El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de x y 3 z es: = 6. OPERACIONES CON MONOMIOS. SUMA Y RESTA o Solo sumamos o restamos aquellos monomios que tengan igual parte literal, dejando la parte literal como está y sumando o restando los coeficientes. Ejemplo 1: 5a + a = 7a Ejemplo : 5a - a = 3a MULTIPLICACIÓN / DIVISIÓN o A diferencia de la suma y resta no hace falta que tengan la misma parte literal. Lo que se hace es lo siguiente: 1. Multiplicar signos. / Dividir signos.. Multiplicar coeficientes. / Dividir coeficientes. 3. Hacer la multiplicación de potencias de la parte literal, es decir, SUMAR EXPONENTES. / Hacer la división de potencias de la parte literal, es decir, RESTAR EXPONENTES. Ejemplo 1: 3ab (-a)= -6a b Ejemplo : 8ab 4 : ab = 4b 1

2 3. POLINOMIO Un polinomio es una expresión algebraica donde se suman o restan dos o más monomios. Ejemplo: P(x) = x + 3x + El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Según su grado los polinomios pueden ser de: PRIMER GRADO P(x) = 3x + SEGUNDO GRADO P(x) = x + 3x + TERCER GRADO P(x) = x 3 x + 3x + 4. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = x 3 + 5x 3; x = 1 P(1) = = = 4 5. OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA o Solo sumamos aquellos monomios que tengan igual parte literal, dejando la parte literal como está y sumando los coeficientes. Para ello hay que ordenarlos según su grado. Dejamos un hueco, si no existe algún grado Ejemplo: P(x)=5x 3-3x +5 y Q(x)= x + 5x -3 P(x) + Q(x) RESTA 5x 3-3x +5 + x + 5x -3 5x 3 + x + x + o Para poder hacer la resta, necesitamos hacer el opuesto al polinomio que restamos, y después hacemos una suma. El opuesto consiste en cambiar el signo a todo el polinomio Ejemplo: P(x)= 5x 3-3x +7 y Q(x)= -3x 3 + x - 5x +1 P(x) - Q(x) Q(x)= -3x 3 + x - 5x +1 LE HAGO EL OPUESTO OP [Q(x)]= 3x 3 -x + 5x -1 5x 3-3x x 3 -x + 5x -1 x 3 -x + x +6

3 MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN o Colocamos el multiplicando y el multiplicador como una multiplicación normal, pero al ir calculando se ordena dejando huecos. Se multiplican los monomios, con lo que se multiplica signo, coeficiente y se suman los exponentes. Ejemplo: P(x)=5x 3 - x +7 y Q(x)= 3x + x P(x) Q(x) 5x 3 - x +7 x 3x + x 5x 4 - x +7x 15x 5-6x 3 + 1x 15x 5 +5x 4-6x x + 7x o Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico: P(x) = x 5 + x 3 x 8 Q(x) = x x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 : x = x 3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: 3

4 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. x 4 : x = x Procedemos igual que antes. 5x 3 : x = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x : x = 8 10x 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x 3 + x + 5x + 8 es el cociente. 4

5 6. PRODUCTOS NOTABLES o CUADRADO DE UNA SUMA: (a + b) = a + ab + b El cuadrado del primero número MÁS dos por el primer número y por el segundo MÁS el cuadrado del segundo número. EJEMPLO: (x + 3) = x + x 3 +3 = x +6x +9 o CUADRADO DE UNA RESTA: (a - b) = a - ab + b El cuadrado del primero número MENOS dos por el primer número y por el segundo MÁS el cuadrado del segundo número. EJEMPLO: (x - 3) = x - x 3 +3 = x -6x +9 o SUMA POR DIFERENCIA: (a + b) (a b) = a - b El cuadrado del primero número MENOS el cuadrado del segundo número. EJEMPLO: (x - 3) (x +3)= x - 3 = x -9 PASAR DEL RESULTADO DEL PRODUCTO NOTABLE AL PRODUCTO NOTABLE Para obtener el producto notable sin resolver a partir del resultado, se hace lo siguiente: 1. Hacemos la raíz cuadrada del coeficiente de x y su resultado va con la x. Si sale uno no se pone.. El signo que se pone después, es el signo que va con la x. 3. Hacemos la raíz cuadrada del término independiente (el número solo) Ejemplo: Dado X 6x + 9, obtener su identidad notable 1. Hacemos la raíz cuadrada del coeficiente de x y su resultado va con la x El signo que se pone después, es el signo que va con la x. Cogemos el signo que va con -6x, es decir, MENOS 3. Hacemos la raíz cuadrada del término independiente (el número solo) 9 3 x 6x + 9 = (1x - 3) = (x - 3) 5

6 7. FACTOR COMÚN Consiste en obtener los comunes. Para ello realizamos los siguientes pasos: 1. Realizar el Máximo Común Divisor de los coeficientes.. De la parte literal, cogemos los que son comunes de exponente más pequeño. 3. El factor común es la unión del paso 1 y. 4. Una vez realizado eso, dividimos cada monomio entre el factor común obtenido en el paso 1 y. El signo del paréntesis es el mismo que había anteriormente. Ejemplo: 3a 3 b d 9 a b 5 c 3 d 1. Realizar el Máximo Común Divisor de los coeficientes. MCD (3,9)=3 3=3 9=3. De la parte literal, cogemos los que son comunes de exponente más pequeño. a 3 b d a b 5 c 3 d a b d 3. El factor común es la unión del paso 1 y. 3 a b d 4. Una vez realizado eso, colocamos el factor común fuera del paréntesis. Dentro del paréntesis colocamos los factores. Para ello dividimos cada monomio entre el factor común obtenido en el paso 3. El signo del paréntesis es el mismo que había anteriormente. 3 a b d ( xxxx ± yyyy) el signo será + ó según el signo que haya, en este caso - 3 a b d ( xxxx yyyy) Ahora vamos a calcularlo. Para calcular xxxx: 3 3a b d a 3a b d Para calcular yyyy: 9a 3a b 3 5 c b 3 d d 3b 3 c 3 d 3 a b d ( a 3 b 3 c 3 d) 6

7 8. REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x a. Al aplicar la regla de Ruffini obtenemos el cociente y el resto. EJEMPLO: 7

8 9. TEOREMA DEL RESTO Sirve para ver si un polinomio es divisible entre otro polinomio del tipo x-a. Lo que se hace es hacer el valor numérico de a, y si el resultado es cero, quiere decir que es divisible, sino no es divisible. El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a. Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división: (x 4 3x + ) : (x 3) P(3) = = = 56 Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini. 10. TEOREMA DEL FACTOR El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x a) si y sólo si P(x = a) = 0. Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x). RAÍCES DE UN POLINOMIO Son los valores que anulan el polinomio. Ejemplo Calcular las raíces del polinomio: P(x) = x 5x + 6 P() = = = 0 P(3) = = = 0 x = y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x 5x + 6, porque P() = 0 y P(3) = 0. 8

9 11. FACTORIZAR La mayor utilidad de la regla de Ruffini es para factorizar polinomios. Lo que se hace es coger todos los divisores del término independiente tanto negativos como positivos. Después se va probando, de manera que el resto salga cero. Cuando lleguemos a tener un cociente que sea un polinomio de segundo grado, es recomendable, resolver la ecuación de segundo grado. Los pasos a seguir los veremos con el polinomio: P(x) = x 4 + x 3 8x x Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±, ±3.. Dividimos por Ruffini probando con uno de los divisores. Por ser la división exacta, una raíz es x = 1. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Otra raíz es x = 1. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. Si resolvemos la ecuación de segundo grado x + x -6 = 0, obtenemos las soluciones x=- y x=3/. La factorización del polinomio es: P(x) = x 4 + x 3 8x x + 6 = (x 1) (x +1) (x +) (x 3/) Las raíces son: x = 1, x = 1, x = y x = 3/ 1. FRACCIONES ALGEBRAICAS : SIMPLIFICAR Fracciones algebraicas, son fracciones con polinomios. En estas fracciones se suele pedir que simplifiquemos las mismas. Para ello, lo que hay que hacer es obtener factor común en el numerador y en el denominador si se puede. También se puede si es posible pasar el polinomio a producto notable. O incluso realizar Ruffini para factorizar. Una vez realizado estas acciones, tachamos lo que sea igual. Recordar que solo podemos tachar paréntesis o productos y nunca sumas y/o restas. 5x 5x 5x( x 5) x 10x 5 ( x 5) 5x x 5 9