3.1 Polinomios Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios.

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1 Tema : Polinomios, Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones..1 Polinomios Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Ejemplo: P(x) = x 4 x + x + 5 Terminología: Ejemplo: P(x) = x 4 x + x + 5 o Grado del polinomio: Es el del término de mayor grado. Ej: Grado 4 o Termino Independiente: Es el término de grado cero. Ej: Es el 5 o Coeficientes: Son los coeficientes de sus monomios. Ej: De x 4 es. De x es -1. o Coeficiente principal: Es el coeficiente del término de mayor grado. Ej: Es. Operaciones: Ejemplo: P(x) = x 4 x + x + 5 Q(x) = x o Suma y resta: Se suman y se restan los monomios semejantes de igual grado. Ejemplo: P(x) + Q(x) = x 4 + x + x + P(x) Q(x) = x 4 4x + x + 7 o Multiplicación: Se multiplica cada monomio de un polinomio por cada monomio del otro. Ejemplo: P(x) Q(x) = x (x 4 x + x + 5) (x 4 x + x + 5) = = (6x 6 x 4 + 9x + 15x ) + ( 4x 4 + x 6x 10) = = 6x 6 7x 4 + 9x + 17x 6x 10 o División de polinomios: Si D(x) es el dividendo y d(x) es el divisor, al dividir obtenemos dos polinomios, el cociente C(x) y el resto R(x) tal que: D(x) R(x) = C(x) + con el grado de R(x) < d(x). d(x) d(x) x 4 7x +1x + 7 x x+1 x 4 7x +1x + 7 x x+1 = x x + + x 4 7x + 1x + 0x + 7 x x + 1 -x 4 + x x x x + 6x + 11x + 0x + 6x x + x 9x + x + 7 9x + x 5x+ 4 x x+1 Ejercicio 1: Realiza las siguientes operaciones: a) (x 6x 8x + 4) (x + 4) b) (x + 10x 6x + 5) (x + 4) c) ( x x + 4) ( x + ) Regla de Ruffini En las divisiones de polinomios en las que el divisor es un binomio de la forma (x a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto. Vamos a ver un ejemplo para ver la regla de Ruffini: x + 4x 6 5x + 4 Para dividir o 1º se escriben los coeficientes del dividendo ordenado y completo A la izquierda se escribe a. - Como necesitamos (x a) y tenemos x + (x ( )). Así que a = o º Se baja el primer coeficiente del dividendo Se multiplica por a. El resultado se pone debajo del segundo coeficiente Se suma este resultado al segundo coeficiente. -6 o º Se sigue el proceso hasta llegar al último coeficiente del dividendo o El último número obtenido es el resto Los anteriores son los coeficientes ordenados del polinomio cociente. El grado de dicho cociente es inferior en una unidad al del dividendo. x + 4x 6 = x 6x Ejercicio : Realiza las siguientes divisiones por Ruffini: a) (x + 10x 6x + 5) (x + 4) b) (x 4 x x + 4) (x )

2 . Factorización de un polinomio. Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de P(x) para x = a es el número que resulta de sustituir x por a, y se representa por P(a) Ejemplo: P(x) = x 4 x + x + 5 Para x = 1 P(1) = = 9 Identidades: Dos polinomios son idénticos cuando operando en uno de ellos se llega al otro. Ejemplo: (X + 1) (x ) = x x Si dos polinomios son idénticos, cualquier valor numérico que demos en el primero será igual en el segundo. Ejemplo: P(x) = (X + 1) (x ) para x = P() = 0 para x = 1 P(1) = Q(x) = x x para x = Q() = 0 para x = 1 Q(1) = Teorema del resto Al dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x a), el resto que se obtiene es igual al valor numérico del polinomio en x = a, es decir, P(a). x + 4x 6 Para obtener el resto hallamos P(a). Así que a =. P( ) = ( ) + 4 ( ) 6 = 8 Como podemos ver el resto obtenido coincide con el resto obtenido por Ruffini. Así que tenemos tres formas de hallar el resto de una división de este tipo. Ejercicio : Calcula el resto de las siguientes divisiones sin realizarlas: a) (x + 10x 6x + 5) (x + 4) b) (x 4 x x + 4) (x ) Raíces de un polinomio: Cualquier valor a de x para el que P(a) = 0. x = a es una raíz del polinomio. Ejemplo: P(x) = x + x Para x = 1 P(1) = 1 + = 0 luego x = 1 es una raíz del polinomio. Teorema del factor Si x = a es raíz del polinomio P(x), como sabemos P(a) = 0, entonces este es divisible por (x a). Por lo tanto (x a) es factor de P(x): P(x) = (x a) Q(x) Como hemos visto anteriormente, por el teorema del resto, si x = a es raíz y P(a) = 0, el resto de la división de P(x) entre (x a) es 0. Por lo que es divisible entre (x a). Ejemplo: P(x) = x + x 5x 6 como P( ) = = 0 es divisible por (x + ). Y lo dividimos por Ruffini P(x)= x + x - 5x - 6 = (x+) (x - x ) Factorización de polinomios. Factorizar un polinomio es escribirlo como productos de polinomios del grado más pequeño posible. Un polinomio siempre se puede escribir como producto de factores de la forma (x a), uno por cada raíz real a, y polinomios irreducibles (sin raíces reales). Serán polinomios idénticos. o Factorización de polinomios de segundo grado: Son de la forma P(x)= ax + bx + c Se factoriza utilizando la fórmula: P(x) = a (x-x 1) (x-x ) Donde x 1 y x son las raíces del polinomio, y para hallarlas utilizaremos la fórmula: x = b± b 4ac = { x 1 a x Ejemplo: P(x)= x - 9x + 6 x = 9 ± ( 9) 4 6 = { Siendo P(x) = (x-) (x-1) 1 Un polinomio de grado puede tener: raíces, o una raíz doble, o no tener raíces. Dependerá del signo de la raíz de la fórmula: + ( raíces), 0 (raíz doble) o (sin raíces) Polinomios de segundo grado Incompletos: Se pueden factorizar aplicando la fórmula general, pero hay otra forma de factorizarlos: Los polinomios del tipo P(x) = x ax se factorizan sacando factor común: P(x) = x ( x a) Ejemplo: P(x) = x + x = x ( x + ) Los polinomios del tipo P(x) = x a se factorizan despejando la a: x = a x = ± a x 1 = + a y x = a P(x) = ( x a) ( x + a) Ejemplo: P(x) = x 4 x = 4 x = ± 4 x 1 = y x = P(x) = ( x ) ( x + )

3 o Factorización de polinomios de grado superior a dos: Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales. Las raíces enteras, si existen, son divisores del término independiente. En caso de no haber término independiente, sacaremos tantas x factor común como sea posible, siendo una de la raíces del polinomio x = 0, de manera que ya tendremos término independiente. Ejemplo: P(x) = x 5 x 4 + x P(x) = x (x x + 1) y continuaríamos factorizando. Ejemplo: P(x) = x x 4x + 4 Divisores de 4 son: 1, 1,,, 4, 4 Buscamos una raíz aplicando el teorema del resto: P(-1) = ( 1) ( 1) 4 ( 1) + 4 = 6 P(1) = = 0 Nada más que encontramos una de las raíces podemos aplicar Ruffini, aplicando el teorema del resto: P(x) = (x 1) (x 4) = (x 1) (x + ) (x ) Ejercicio 4: Factoriza el polinomio y halla sus raíces enteras: a) P(x) = x + 8x + 6 d) P(x) = x 6 x b) P(x) = x + 4x 4 e) P(x) = x + 1 c) P(x) = x 9 f) P(x) = x + x g) P(x) = x x + x h) P(x) = x x 4x + 4 i) P(x) = x + 1. Fracciones algebraicas. Fracción algebraica: es un cociente de dos polinomios. Ejemplo: x +1 x x 4x+4 Mínimo común múltiplo de polinomios Para calcular el mínimo común múltiplo de varios polinomios hay que factorizarlos. o Para el m.c.m. se toman todos los factores comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con el que aparecen. Ejemplo: Halla el mínimo común múltiplo de: P(x) = x (x 1) (x + ) (x ) y de Q(x) = (x 1) (x + ) (x + 4) En este caso ya están factorizados. m.c.m. = x (x 1) (x + ) (x ) (x + 4) Suma o resta de fracciones algebraicas: Se calcula el m.c.m. de los denominadores y se reducen las fracciones a común denominador. Resultará una fracción idéntica. Ejemplo: P(x) = x+1 + x+1 x 1 x = (x+ 1 (x 1)(x ) = (x )(x+1)+ (x 1)(x+1) = x x +x x 1 = x x 1 (x 1)(x ) (x 1)(x ) Ejercicio 5: Deja los polinomios en una única fracción algebraica factorizada: a) x4 5x +x +5x x x 7x+6 b) 1 x x x 1 x+1 x 1.4 Ecuaciones c) d) x 1 x+ x 4 x 1 x 4 1 x 4 x x +x x 9 e) f) )(x 1) (x 1)(x ) + + 4x x+ x x 9 x 4 x+1 x x 1 Ecuación: es una propuesta de igualdad entre dos polinomios. Resolverla es encontrar los valores de x que hacen que ambos polinomios tomen el mismo valor numérico. La solución es el valor de x con el que la ecuación se cumple. Por eso a la variable la llamaremos incógnita. Dos polinomios idénticos igualados tendrán como solución cualquier valor de x. Pero podremos encontrar ecuaciones que no tengan ninguna solución, o una, o dos, o.. Si no son dos polinomios idénticos, una ecuación tendrá como máximo de soluciones el grado mayor de los dos polinomios. Si son idénticos tendrán infinitas soluciones. Ejemplo: Es x= solución de la ecuación x 1 = x? 1 = () 1 = 1 Sí, lo es.

4 Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. - Regla de la suma: Si se suma o se resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente. - Regla del producto: Si se multiplica o se divide por un mismo número (distinto de 0) a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente..5 Ecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación de primer grado se llevan las incógnitas a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad. Posteriormente despejamos la incógnita. Ejemplo: 8 ( x ) = 6 + 5x 8x 4 = 6 + 5x Ecuaciones equivalentes 8x 5x = Ecuaciones equivalentes x = 18 x = 18 = 6 El único valor de x que hace que ambos polinomios tengan el mismo valor numérico es el 6. Por lo tanto la solución de nuestra ecuación será x = 6 Número de soluciones: Una ecuación de primer grado puede tener: - 1 solución: 8 ( x ) = 4 8x 16 = 4 8x = 40 x = 40 8 = 5 - Ninguna solución: 8 ( x ) = 8x 8x 16 = 8x 0x = 16 x = 16 0 Sin solución - Infinitas soluciones: Polinomios idénticos 8 ( x ) = 8x 16 8x 16 = 8x 16 0 = 0.6 Resolución de ecuaciones de grado mayor a 1 Para resolver una ecuación de grado mayor que 1 vamos a llevar todos los términos a un lado de la ecuación, y así quedará igualada a cero. Factorizaremos el polinomio resultante. Como está igualado a 0, las raíces de dicho polinomio coincidirán con las soluciones de nuestra ecuación. Ejemplo: Sea la ecuación ya factorizada: x (x + ) (x 1) = 0 Soluciones: x 1 = 0, x =, x = 1,.7 Ecuaciones de Segundo Grado: ax + bx + c = 0 Soluciones: Las soluciones de una ecuación de segundo grado coinciden con la raíces de dicha ecuación, o lo que es lo mismo, con la solución de x = b± b 4 a c = { x 1 a x Ejemplo: -x = --x -x + x + = 0 x = ± 4 ( ) = ±5 4 ó { x 1 = 4 = 1 x = Tendríamos: (x + 1 ) (x ) = 0 pero no es necesario factorizar para dar las soluciones de la ecuación. Como ya vimos, si la ecuación de segundo grado es incompleta, no es necesario aplicar la fórmula general. El número de soluciones de una ecuación de segundo grado serán dos, o una o ninguna. Ejercicio 6: Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: a) x + 8x = 6 b) x = 4x 4 c) x 9 = 0 d) x 6 x = 0 e) x + 1 = 0 f) x = x g) x 4 16 = 0 h) x x = 4x 4.8 Ecuaciones Racionales. Para resolver una ecuación racional, llevamos todos los miembros de la ecuación a un lado de la igualdad, de manera que nos queda igualada a cero. Factorizamos la fracción algebraica resultante, y sin simplificar, las soluciones de la ecuación coinciden con las raíces del numerador de la fracción algebraica, que no aparecen en el denominador de la fracción algebraica. Para que una fracción algebraica sea igual a cero, cualquier factor del numerador debe ser cero, pero si a la vez se anula el denominador, quedaría 0 que no tiene sentido. 0

5 Ejemplo: Resuelve 4x x x x 1 = 0 Si factorizamos queda: 4x (x 1) (x+ 4 ) (x 1) (x+1) x 1 = 0 Las raíces del denominador son: { x = 1 No válida, ya que es raíz del denominador (anula el denominador) x = 4 Las soluciones de mi ecuación son: x 1 = 0 y x = 4 Ejercicio 7: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x 7x+6 x x 6 = 0 b) x x x 4 = 0 c).9 Ecuaciones bicuadradas: ax 4 + bx + c = 0 = = d) + x = x x x 1 x 1 x+1 Para resolver una ecuación bicuadrada, es más fácil hacer un cambio de variable (z = x ), que factorizarla. Quedará de la siguiente forma: az + bz + c = 0 Cuando tengamos las soluciones para la z, por cada solución tendremos dos posibles soluciones para la x. x = ± z Ejemplo: x 4 + x 4 = 0 z = x z + z 4 = 0 z = ± 4 ( 4) = ±5 ó z 1 = 1 { x 1 = + 1 = 1 x = 1 = 1 z = 4 { x = + 4 = { x 4 = 4 = Ejercicio 8: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 10x = 9 b) x 4 x = 0 c) x 4 = 5x.10 Ecuaciones con Radicales (o irracionales). { x 1 = +1 x = 1 Para resolver una ecuación con radicales se aísla el radical en un miembro de la ecuación, y se elevan ambos miembros al cuadrado. Resolveremos la ecuación que nos quede. Hay que comprobar las soluciones en la ecuación original. Alguna de las soluciones puede ser falsas, al elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Ejemplo: x + x + x = 1 x + x = -1-x Comprobamos: ( x + x ) = ( 1 x) x + x = 1 + x + x x 4 = 0 () (x-)=0 x 1 =- ó x = Ejercicio 9: Resuelve las siguientes ecuaciones: x 1 =- - + ( ) + ( ) = = = -1 Solución válida x = + + = = Solución no válida a) x + x + 4 = 0 b) x = x c) x + x + 7 = 4.11 Ecuaciones logarítmicas. Para resolver una ecuación logarítmica se modifican sus miembros con las propiedades de los logaritmos, teniendo en cuenta que: log A = log B A = B Hay que comprobar las soluciones en la ecuación original. Alguna de las soluciones puede ser falsas, ya que no están definidos los logaritmos de cero ni de números negativos. Ejemplo: 5 log x = log x + log 6 log x 5 = log x + log 6 log x 5 = log 6x x 5 = 6x x 5 6x = 0 x (x 6) = 0 x 6 = 0 x = 6 x = ±6 x 1 = 6, x = 6 y x = 0 Comprobamos: x 1 =6 5 log 6 = log 6 + log 6 Solución válida x = 6 y x = 0 Soluciones no válidas, ya que log 0 y log 6 no tienen solución real. Ejercicio 10: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) log(x ) log(x 1) = 1 b) log(x 1) log = 1

6 .1 Ecuaciones exponenciales. Para resolver una ecuación exponencial tomamos logaritmos a ambos lados de la igualdad. Posteriormente aplicaremos las propiedades de los logaritmos para poder bajar la incógnita, y poder despejarla. log Ejemplo: x = log x = log (x ) log = log log x = = 1,815 Ejercicio 11: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x = 69 b) 10 5 = 50x.1 Sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) de dos ecuaciones con dos incógnitas. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: es de la forma: { a 11x + a 1 y = b 1 a 1 x + a y = b 1 Solución: la solución será un par de valores (x 1, y 1 ), que sea solución simultánea de ambas ecuaciones. Número de soluciones: un sistema de ecuaciones puede ser: o Compatible determinado: Si tiene una única solución. Son dos rectas que se cortan en un punto. o Compatible indeterminado: Si tiene infinitas soluciones. Es una misma recta. o Incompatible: Si no tiene soluciones. Son dos rectas paralelas. Sistema Compatible Determinado S.C.D. Sistema Compatible Indeterminado S.C.I. Sistema Incompatible S.I. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se pueden utilizar los métodos: o Sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la segunda ecuación. o Igualación: Se despeja una misma incógnita en amabas ecuaciones, y se igualan ambas ecuaciones. o Reducción: Multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo en las dos ecuaciones. Posteriormente se restaran ambas ecuaciones. o Gráfico: Cada ecuación será una recta. La solución será el punto de corte. Ejemplo: x y = 6 Resuelve { x + y = 4 Por Sustitución: y= x+6 x + (x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= - y= (-)+6 y= Por Igualación: { y = x + 6 y = 4 x x + 6 = 4 x 6x+18=4-x 7x=-14 x= - y= (-)+6 y= x y = 6 Por Reducción: { (x + y) = 4 {x y = 6 x + 6y = 8 Restándolas -7y = -14 y= x = 6 x= -4 x=- x = 0 y = 6 Por método gráfico: x-y = -6 { y = 0 x = x+y = 4 { x = 0 y = 4 y = 0 x = 4 (-,) Ejercicio 1: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x + y = 6 x + y = a) { b) { x y = 1 5x + 5y = x 5y = 7 c) { 6x + 10y = 14

7 .14 Sistemas de ecuaciones de segundo grado de dos ecuaciones con dos incógnitas. Una ecuación de segundo grado: utilizaremos el método de sustitución. Despejaremos en la ecuación lineal una incógnita y la sustituiremos en la ecuación de segundo grado. Dos ecuaciones de segundo grado: utilizaremos el método de reducción. Trataremos de reducir la incógnita que aparezca al cuadrado en ambas ecuaciones. x + y = 4 Ejemplo: Resuelve { x xy = 5 Por Sustitución: x + y = 4 y = 4 x 7x + 8x 15 = 0 x= 8± ( 15) 7 Si x=1 y = 4 1 =- Si x= 15 7 x x( 4 x ) = 5 x + 8x + 4x = 15 = 8± 14 y = 4 ( 15 ó { x = 1 x = ) = 1 Ejercicio 1: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x + y = 8 a) { x + y b) { x + y = = x + 4y = 48 Soluciones (1,-) y ( 15 7, 1 ).15 Sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) de dos ecuaciones con dos incógnitas. a 11 x + a 1 y + a 1 z = b 1 Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas: es de la forma: { a 1 x + a y + a z = b a 1 x + a y + a z = b Solución: la solución será un trío de valores (x 1, y 1, z 1 ) que sea solución simultánea de ambas ecuaciones. Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizaremos el Método de Gauss. Pasos: 1. Cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas para que el coeficiente de la primera incógnita en la primera ecuación sea 1 ó -1.. Se sustituye la segunda ecuación por una combinación lineal de ella y la primera, de forma que desaparezca la primera incógnita. Lo mismo se hace con la tercera ecuación. Se utiliza la primera para cambiar la segunda y la tercera.. Se cambia la tercera ecuación por una combinación lineal de ella y la segunda, de forma que desaparezca la segunda incógnita. Se utiliza la segunda para cambiar la tercera. ax + by + cz = d 4. Se resuelve el sistema triangular obtenido. { b y + c z = d c z = d o Si alguna de las ecuaciones es de la forma 0x + 0y + 0z = a 0 el sistema es Incompatible (Sin solución). o Si alguna de las ecuaciones es de la forma 0x + 0y + 0z = 0 el sistema es Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones). x + y z = 6 Ejemplo: Resuelve { x + y z = 7 x y z = 6 x + y z = 7 x 4y + 6z = 14 { x + y z = 6 por ( )la 1ª { x + y z = 6 x y z = 6 y + 5z = 8 x + y z = 7 { y + 5z = 8 7y + 8z = 15 x + y z = 7 { y + 5z = 8 11z = 11 1y + 5z = 56 por (7)la ª y por ( )la ª { 1y 4z = 45 11z = 11 z = 11 = 1 11 { y + 5 ( 1) = 8 y = = 1 x + (1) ( 1) = 7 x = x 6y + 9z = 1 por ( )la 1ª { x y z = 6 7y + 8z = 15 z = 1 { y = 1 x = Ejercicio 14: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x + y z = 11 { x y z = 8 x + y z = 7 b) 5x + y z = 0 { x y + z = 0 8x + y + z = 1 c) x y + z = 5 { x y + z = x + y 7z = 0