UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

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1 UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Temario: Definición de epresiones algebraicas y clasificación. Polinomio, grado. Operaciones. Regla de Ruffini. Factorización de Polinomios. Ecuaciones polinómicas. Factorización de polinomios mónicos aplicando Teorema de Gauss. Mínimo común múltiplo y Máimo común divisor entre polinomios. Resolución de ecuaciones racionales. Introducción: En matemática se designa con el término de polinomio a la suma de varios monomios (epresiones algebraicas), porque un polinomio es una epresión algebraica, constituida por una o más variables, utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y eponentes numéricos positivos. El polinomio que presenta un único término se denomina monomio, el de dos, binomios y el de tres, trinomios. Si bien desde la antigüedad, tanto la resolución de ecuaciones algebraicas asimismo como la determinación de las raíces de los polinomios fueron las máimas preocupaciones a resolver por la matemática, la práctica notación de los mismos y que se usa actualmente, recién aparecería para establecerse hasta nuestros días durante el siglo XV. Epresiones Algebraicas Epresión algebraica: es una combinación de letras y números que aparecen reunidos a través de las distintas operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones y pueden aparecer también potencias y raíces. A los números se los llama coeficientes (y en ocasiones se usan las primeras letras del alfabeto para denominar valores constantes) y a las letras que representan valores variables (generalmente las últimas del alfabeto, y, z) se las llama variables. Cada grupo de letras y números que estén separados por + o es un término; a aquellos términos que tienen igual parte literal se los llama términos homogéneos. El Grado de cada término está dado por la suma de los eponentes de las variables de dicho término. Y el Grado de una epresión algebraica está dado por el mayor de los grados de sus términos. Los términos de una epresión algebraica se pueden clasificar en: 1

2 1) Término Entero: son aquellos en los que la o las variables aparecen multiplicando o con eponente entero no negativo. Ejemplos: 3y, 5²y³, ². ) Término Racional: son aquellos en los que la o las variables aparecen multiplicando, dividiendo, con eponente entero. Ejemplos: y, ²:y, y -1 3) Término Irracional: son aquellos en los que la o las variables aparecen con eponente racional no entero. Ejemplos: y 1/3, y /3 Según sus términos las Epresiones Algebraicas se pueden Clasificar en: 1) Epresión Algebraica Entera: son aquellas epresiones algebraicas en las que todos sus términos son enteros. Ejemplo: ½ ² + 4y y³ ) Epresión Algebraica Racional: son aquellas epresiones algebraicas en las que sus términos son enteros o racionales, pero ninguno es irracional. Ejemplo: 3 3y y y 3) Epresión Algebraica Irracional: son aquellas epresiones algebraicas en las que alguno de sus términos es irracional. Ejemplo: y 3y 3 5y Polinomios en una variable: Polinomio entero en indeterminada es una epresión algebraica entera con variable, de la forma: A()= a n n +a n-1 n-1 +.a 1 +a 0 Por ejemplo: P()= es un polinomio de tres términos grado 4. Un polinomio se dice que está ordenado cuando está ordenado en orden decreciente o creciente según las potencias de la variable. Y se dice que es completo cuando aparecen todas las potencias intermedias entre la que le da el grado al polinomio y el término independiente o libre. Un polinomio se llama mónico cuando el coeficiente del término de mayor grado es 1. Por ejemplo el polinomio anterior P() es Mónico. Se llaman Polinomios de una indeterminada con coeficientes reales a las epresiones de la forma: P() = a n n + a n-1 n a + a a 0

3 para los cuales adoptamos la siguiente convención: coeficientes: a n, a n-1,..., a, a 1, a 0 Ejemplo: términos: a n n ; a n-1 n-1 ;... ; a ; a 1 ; a 0 P() = / + 1 coeficientes: 4, 3, -, 7, -1/, 1 términos: 4 5, 3 4,- 3, 7,- 1/, 1 Valor numérico de un polinomio: Si en el polinomio reemplazamos el valor de por el valor de una constante (cualquier número), se obtiene un número real al que se denomina valor numérico del polinomio para = k. Ejemplo: P() = si = -1 entonces P(-1) = 3 (-1) - (-1) + 5 = 10 si = 0 entonces P (0) = = 5 si = 3 entonces P(3) =...(complete) Realiza los siguientes ejercicios: 1) Indica cuáles de las siguientes epresiones son polinomios: a) P() = c) R() = e) T() = / 5 7 b) Q() = d) S() = 4 7 ¼ f ) U() = ½ - 1 ) Dados los siguientes polinomios indica el grado de cada uno y calcula el valor numérico para el número indicado. a) Q() = ; Q( 1 ) ; Q( - 1) b) R() = ½ + 5 ¾ 5 ; R( ) ; R( 0 ) ; R( - 1) 3) Dados los polinomios P() = y Q() = +-1, calcula: a) P(-1)+Q(0) =... b). P(-) - Q(3) =... 3

4 3) Dado el polinomio P() = , calcula: a) P(1) =... b) P(-) =... cuáles son los resultados obtenidos? Decimos entonces que 1 y - son raíces del polinomio dado. 4) Elabora una definición de raíz de un polinomio Raíces de un Polinomio: Son los valores de para los cuales el polinomio se anula, es decir, todos los tales que P()=0. El grado del polinomio nos indica el número máimo de raíces que puede tener. Por ejemplo si el grado del polinomio es 4 puede tener hasta 4 raíces. Por ejemplo: P() = -3 10, analizar si 5,1,0 y - son raíces de P (es un polinomio de grado es decir puede tener hasta raíces) P(5) = 5-3(5) -10 = 0 ; 5 es raíz de P P(1) = 1-3(1) -10 = -1; 1 no es raíz de P P(0)= 0-3(0) -10= -10; 0 no es raíz de P P(-)= (-) -3(-) 10= 0; - es raíz de P Polinomios ordenados y completos: Observa los siguientes polinomios: P() = 3 3 -(1/) +-1 R() = -1/ Ambos están completos, sin embargo, eiste una diferencia entre ellos. Cuál es? Ordena el polinomio R() en forma decreciente. 4

5 ) Ordena en forma decreciente cada uno de los siguientes polinomios, indicando cuáles de ellos no están completos. P() = (3/) R() = ¼ S() = -(/5) M() = T() = -(/7) Completar un polinomio significa agregarle los términos faltantes, de modo tal que el polinomio dado no se vea alterado. Volviendo a los ejemplos: P() = - 4 +(3/) Completa de la misma manera los polinomios del ejercicio anterior. R() =... M() =... T() =... por qué no incluimos en esta lista al polinomio S()?... Polinomios idénticos: Dados los siguientes polinomios T() =(1/3) + -1 y S() = /3 +, ordenálos y complétalos si fuera necesario:... Qué particularidad presentan sus términos? (Compara sus términos)... Decimos que T() y S() son polinomios idénticos. Teniendo presente lo anterior, completa la siguiente definición: 5

6 Dos polinomios son iguales o idénticos si y sólo si Polinomios Opuestos: Dados los siguientes polinomios M()=(1/3) +-1 y N()=1-(1/3) -, ordenálos y complétalos si fuera necesario:... Qué particularidad presentan sus términos? (Compara sus términos)... Decimos que M() y N() son polinomios opuestos. Si suman M() +N() que resultado se obtiene: Este resultado es O()=0 se lo denomina polinomio Nulo. Teniendo presente lo anterior, completa la siguiente definición: Dos polinomios son opuestos si y sólo si Operaciones entre Polinomios: Suma: cuando se suman dos polinomios se suman solo entre aquellos términos los homogéneos de los polinomios (sumando sus coeficientes y la parte literal queda igual). En la suma de polinomios podemos asociar, conmutar y cancelar opuestos. Ejemplo: P()= Q()= P() + Q ()= =

7 Resta: La resta de polinomios se puede resolver como la suma de un polinomio con el opuesto del polinomio sustraendo, es decir: P()-Q()= P() + [-Q()], donde Q() es el polinomio opuesto de Q(). Multiplicación: se multiplican los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio es decir propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta (los coeficientes se multiplican y se suman los eponentes de la variable). Ejemplo:P()= 3 3 Q()= -3 R()= S()= + P().Q()=( 3 3 )( -3) = Q().R()=( -3)( 3 -+4)= = Q().R().S()= (Q().R()).S()= ( )(+)=. Veamos una disposición práctica, basada en aquella que se utiliza para la multiplicacion de números naturales de varias cifras. Disposición práctica algoritmo numérico algoritmo algebraico 54 A () = B() = Primer paso 54 por Primer paso A() por Segundo paso 54 por Segundo paso A() por 4558 Tercer paso suma y resultado Tercer paso suma y de 54 por 84 resultado de A(). B() Resuelve los siguientes ejercicios: 7) Realiza las siguientes operaciones entre polinomios: a) ( ) - ( ) = b) 3( ) + ( ) = c) ( 3 ) - ( ) ( ) = d) ( + 8 ). ( + 1 ) = e) ( + 1 ).( + 1 ) = f) ( - 1 ). ( + ) = 7

8 g) ( + + 1).( 3 + 4) = h) ( - 3 ).( + 3 ) = i) ( ).(4 - ) = División: para dividir polinomios es necesario que el dividendo sea de mayor o igual grado que el divisor. Como en toda división la relación eistente entre dividendo D divisor d cociente C y resto R está dada por : D =d.c + R Al dividir polinomios, tenemos: Cuando en una división entre números el resto es cero se dice que el dividendo es múltiplo del divisor, en el caso de polinomios sucede lo mismo. Para poder dividir dos polinomios de coeficientes reales, se utiliza la disposición y el mecanismo similar al empleado en la división de dos números naturales de varias cifras. Pasos: 1) Debemos ordenar los polinomios dividendo y divisor, y completar el polinomio dividiendo con ceros en caso de faltar alguna de las potencias intermedias de la variable. ) Dividir el primer término del dividendo entre el primero del divisor este resultado será el primer término del cociente. 3) Multiplicar el primer término del cociente por el divisor y restarlo del dividendo. 4) Dividir el primer término del resultado anterior y dividirlo entre el primer término del divisor, este será el segundo término del cociente. 5) Multiplicar el segundo término del cociente por el divisor y restarlo del resultado anterior. 6) Se prosigue de la misma manera hasta llegar a un resto de menor grado que el divisor. Ejemplo: siendo P()= y Q()= \ Cociente Resto 8

9 Compruebe el resultado de la división anterior: verificando que cociente por divisor más resto es el dividendo. Regla de Ruffini: esta regla nos ayuda a resolver más rápidamente divisiones de un polinomio entero entre un polinomio de la forma -a. Consiste en trabajar con los coeficientes de dividendo y divisor, para hallar los coeficientes del cociente y el resto Ejemplo: P()= Q()=+1= (-1) Coeficientes de Dividendo Ordenado en forma decreciente y Completo a: multiplicamos (-4) resto Coeficientes del cociente : por lo que el cociente es el polinomio C()= Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio entero P() entre un polinomio de la forma -a es igual a valor del polinomio cuando la toma el valor de a o sea R()=P(a). Por ejemplo, en la división anterior: P(-1)= 4(-1) 5 +(-1) 3-3(-1) -5 = -14 resto de dividir P(): (-(-1)) Realice los siguientes ejercicios: 8) Resuelva los siguientes cocientes P():Q(). a) P( ) = Q( ) = - 1 b) P( ) = Q( ) = + c) P( ) = Q( ) = - d) P( ) = Q( ) = e) P( ) = Q( ) =

10 9) Resuelva los siguientes cocientes P():Q() aplicando la regla de Ruffini. a) P( ) = Q( ) = + b) P( ) = 3 7 Q( ) = - 3 c) P( ) = Q( ) = - d) P( ) = Q( ) = - 1 e) P( ) = Q( ) = + Reconstrucción de un polinomio a partir de sus raíces: Supongamos el polinomio P()= (-3)(+). De qué grado es?... Escribilo en la forma estándar P()= Si calculas P(3)=. Y P(-)=. qué observas? Cuáles son las raíces de P()?... y... Por lo tanto si queremos construir un polinomio que tenga como raíces los valores 1 y, cómo podemos construirlo? 1 y son raíces del polinomio (- 1 ).(- )= + (- 1 - ) +(- 1 )(- ) es un polinomio de grado cuyas raíces son 1 y. Teorema de Gauss: todo polinomio puede factorizarse como producto de polinomios a partir de sus raíces. Algunos productos especiales: Resuelve aplicando el concepto de potenciación y la propiedad distributiva de la multiplicación: (a + b) =... (a - b) =... (a + b) 3 =... (a - b) 3 =... (a - b ). (a + b ) =... Realice los siguientes ejercicios: 10) Calcula las siguientes potencias y resuelve. a) (-¼ 3 - ) = b) ( + a) = c) ( + b) 3 = d) (- + ) 3 = e) (- 3 +½ ) 3 = f ) (3 + ) = g) ( + 1) 3 ( +) 3 = h) ( + 1) 3 ( 1) 3 = 10

11 Factorización de Polinomios. La factorización de polinomios consiste en epresar un polinomio como producto de sus factores primos. Por ejemplo P()= (-) (+3) y P()= +-6, en ambos casos definimos el mismo polinomio P(), en el primer caso está factorizado o epresado como producto de dos polinomios primos y en el segundo caso no está factorizado sino definido como suma de sus términos. FACTOR COMÚN Se puede aplicar a todo polinomio que tenga dos o más términos, en los es posible etraer al menos un factor común en todos sus términos. (se etrae el M.C.D. entre coeficientes y la menor potencia de la indeterminada ) Ejemplos: a) =.(3 + 5) c) 4 a a -a =a ( + 4 a - 1 ) b) = 3. ( ) d) = 3. ( ) 11) Factoriza los siguientes polinomios: a) = d) = b) = e) = c) = f ) = FACTOR COMÚN POR GRUPOS Se puede aplicar cuando el polinomio tiene 4, 6, 8, 9 términos, etc. de manera tal que puedan formarse grupos con igual cantidad de términos. Una vez etraídos los factores comunes de cada grupo, los paréntesis que quedan deben ser iguales, para poder factorizar el polinomio. Ejemplos: a) + a + + a = + + a + a = ( + 1 ) + a ( + 1 ) = ( + 1 ). ( + a ) b) m+6ay 5m +a 10a= m + a 5 m 10 a + 3 m y + 6 a y = (m+a) 5(m + a ) + 3y (m + a) 11

12 = ( m + a ). ( y ) 1) Factoriza los siguientes polinomios: a) = c) = b) = d) a a = TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Para aplicar este caso de factoreo, el polinomio debe tener: 1. tres términos. dos de ellos deben ser cuadrados, es decir, que se les pueda calcular la raíz cuadrada. 3. el término restante debe tener la forma: a b siendo a y b las raíces de los términos cuadrados. Cumplidas las condiciones anteriores, el polinomio se factoriza colocando las raíces a y b de la forma: ( a + b ) ó ( a b ) El signo que separa las raíces dependerá del signo del término no cuadrado. Ejemplos: a) +a +a = ( + a) b) +1 = ( 1) a -1 a (-1) 13) Factoriza los siguientes polinomios: a) = d) = b) = e) = c) ¼ a b + 7 ab = f ) ¼ + a 6 + a 3 = CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Para aplicar este caso de factoreo, el polinomio debe tener: 1. cuatro términos 1

13 . dos de ellos deben ser cubos, es decir, que se les pueda calcular la raíz cúbica. 3. los dos términos restantes deben tener la forma: 3 a b y 3 a b siendo a y b las raíces de los términos cúbicos. Cumplidas las condiciones anteriores, el polinomio se factoriza colocando las raíces a y b con su signo correspondiente todo elevado al cubo. Ejemplos: a) = ( ) 3 b) = ( ) ( - ) 3 (- ) 3 3 ( - ) 3 (- ) 3 14) Factoriza los siguientes polinomios: a) = d) = b) = e) = c) 1 7 m 3 9 m + 7 m = f ) = DIFERENCIA DE CUADRADOS Se aplica cuando el polinomio tiene: 1. dos términos de distinto signo.. ambos términos deben ser cuadrados, es decir, se les puede calcular la raíz cuadrada. Cumplidas las condiciones anteriores, el polinomio se factoriza multiplicando la suma de las raíces por la resta de las misma. De la siguiente forma: ( a + b ). ( a b )=.. Recordás los productos notables que mencionamos anteriormente? Si el polinomio está epresado de manera tal que el 1 término es negativo, por ejemplo 81 +, es aconsejable conmutar los términos - 81, es decir, 1 el positivo y luego el negativo, antes de factorizar. Ejemplos: a) a 4 = (a ) (a + ) b) = ( ) (6 3 1) a

14 15) Factoriza los siguientes polinomios: a) = b) 5a 49 = c) 4a 8 10 = d) 81+ = SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO Se puede aplicar a binomios, cuyos términos puedan epresarse como potencias de igual grado. A ecepción de las sumas de binomios de potencias pares. El polinomio se epresará como producto de dos factores. El 1 factor estará determinado por las raíces de cada uno de los términos del polinomio con su signo correspondiente. El factor tendrá tantos términos como indique el grado de los términos del polinomio y sus signos estarán dados por la siguiente regla: - Si los términos del polinomio tienen igual signo, los signos del factor van alternados comenzando con +. - Si los términos del polinomio tienen distinto signo, los signos del factor son todos positivos Los términos del factor se completarán usando la regla de Ruffini Ejemplos: a) 5 1 = ( 1) ( ) b) 3 + a 3 = (+a) ( a +a ) -1 a 16) Factoriza los siguientes polinomios: a) y 5 43 = b) = c) a = d) = TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO Se puede aplicar a cualquier polinomio de grado. 1. el polinomio tiene la forma, con a 0: a + b + c =. y las raíces del mismo son raíces reales, preferentemente enteras. Las cuales se obtendrán mediante la fórmula: b 1, = b a 4ac 14

15 Cumplidas las condiciones anteriores, y conocidas las raíces 1 y del polinomio, este se factoriza de la siguiente forma: a + b + c = a ( 1 ) ( ) Ejemplos: a) + = ( + ) ( - 1) b) = 3( - 3 ) ( + 5 ) 17) Factoriza los siguientes polinomios: a) = c) = e) = b) = d) = f) = Factorización de un polinomio a partir de sus raíces. Si a es raíz de P() entonces a P() lo podemos factorizar como P() = ( a). C() donde C() es el cociente de P(): ( a) Realiza los siguientes ejercicios 18) Factoriza los siguientes polinomios a) = f ) = k) a 5a = b) = g) = l) = c) = h) 4 a + a = m) = d) y + y = i) = n) = e) + 14 = j ) 4 + a 3 a = 19) Factoriza los siguientes polinomios combinando casos: a) = e) a 5 a = i ) 7-5 = b) = f ) = j ) 8-5 = c) = g) 4 + a 3 a = k) - 8 = d) 4 + 4y + y = h) = l ) 4 a + a = Máimo Común Divisor y mínimo Común Múltiplo: Si tenemos los polinomios P 1 (), P (),.y P n (), y los factorizamos. De la misma forma que buscamos mcm y MCD de un conjunto de números, podemos hacerlo con un conjunto de polinomios. Si no recuerdas cómo calcular el mínimo común múltiplo o el máimo común divisor entre números puedes visitar la siguiente página web 15

16 Es decir: El MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) se obtiene multiplicando los factores COMUNES Y NO COMUNES con el mayor eponente con el que aparecen. El MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) se obtiene multiplicando los factores COMUNES con el menor eponente con el que aparecen. Si al buscar el MCD de un conjunto de polinomios no encontramos factores comunes, el mcd será 1. Ejemplo: Halla el MCD y el mcm de: 3-6 = 3 ( - ) = ( ) mcm = 3 ( + ) ( ) 4 = ( ) ( + ) MCD = - 0) Halla el mcm y MCD de los siguientes grupos de polinomios a) 3 8 ; b) ; ; 4 c) a + a ; a ; 9 - a d) 1 + b b ; + b + b ; + 1 e) + 1 ; ; EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Recordá que cuando resolvés operaciones entre fracciones de números reales, en el caso de trabajar con epresiones algebraicas racionales, debes seguir el mismo procedimiento: 1) Resuelva las siguientes sumas algebraicas a) b) c) d) ) Factoriza numerador y denominador y simplifica. 16

17 3 6 6 a) b) c) d). 4 3) Resuelva numerador y denominador y luego divida. 1 a) 1 3 c) b) d) 1 1 ( 1) ECUACIONES FRACCIONARIAS Para resolver una ecuación donde aparece nuestra incógnita o variable en algún denominador, debemos tener en cuenta que no está definida la división entre 0 por lo que debemos primero considerar los valores de ésta que no podrán aceptarse nunca como solución por anular algún denominador. Luego trabajamos con la epresión hasta encontrar el o los valores que satisfacen la igualdad planteada. 3 Ejemplo: 6 5 Primero vemos que valores no puede tomar por ser valores que anulan los denominadores de la igualdad planteada: 3 y -5 Luego por la proporción planteada podemos: 3(+5) = ( 6) Distribuyendo: = 4 1 Asociando: 3 4 = = - 7 = 7 Para verificar la solución encontrada, vemos que no anula ninguno de los denominadores y satisface la igualdad. 17

18 4) Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias y verifica el conjunto solución hallado. 4 3 a) 3 f ) y y 1 k) b) g) y y l ) c) 6 5 = 1 h) m) w 5 4w 3 d) + = 7 i ) 10w 7 5w 7 n) e) 1 j ) 6t 7 4t 1 3t 8 t 4 o) 4.( ) ( 3) 18