SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS BÁSICOS POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO

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1 Unidad : Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS BÁSICOS POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO. De las siguientes epresiones indicar las que son polinomios o pueden transformarse en polinomios y, en ese caso, obtener su grado, su término independiente y su término de primer grado. a). Es un polinomio de grado sin término independiente. El término de primer grado es b) 0 5. Es un polinomio de grado. Termino independiente:. Termino de primer grado: c) 9. Es un polinomio de grado 0. Término de primer grado 5. Término independiente. / d). No es un polinomio: hay eponentes de la indeterminada que no son números naturales.. Escribe: a) un binomio de grado 6 sin término independiente; b) un trinomio de primer grado; a) 6, por ejemplo. b) Es imposible. Si el polinomio ha de ser de primer grado sólo puede tener dos clases de términos, los de grado uno y los de grado cero, que se pueden agrupar quedando en la forma ab, y esto es un binomio, no un trinomio. OPERACIONES CON POLINOMIOS. Si p() 6, q() y r(), calcula: a) p() q() r() b) p() (q() r()) 8. Calcula los productos siguientes: a) b). 7 c) ( ). 6 5 d).( ) 6 5. Halla a y b para que se cumpla: a) ( a) b Como (a) b aa b y dos polinomios son iguales si tienen iguales los coeficientes de los términos del mismo grado, debe cumplirse que º de Bachillerato Página de 5

2 Unidad : Polinomios y fracciones algebraicas a y a b. De la primera de esas igualdades se deduce que a/; entonces 9/b y de aquí b/. b) 5 ( a a ) b Razonando de igual manera que en el apartado anterior: a 5 y a b0, de donde a5/ y b 5/. DIVISIÓN POR a. REGLA DE RUFFINI 6. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: 5 a) ( ) : ( ) ) R Cociente: 90 ; Resto 8 7 b) ( 6) : ( ) ) R Cociente : ; Resto 8 6 c) ( ) : ( ) ) 8R Cociente : 5 ; Resto 8 7. Halla el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas: a) ( ) : ( ) 5. Como el resto de la división por es el valor numérico del polinomio dividendo para, tendremos R () 5 b) ( 6) : ( ) c) ( 5 6) : ( ). Análogamente: R () () 6. Como antes, R Halla a para que sean eactas las siguientes divisiones: 6 a. Si la división ha de ser eacta, el resto tiene que ser cero. Pero el resto es el valor numérico del polinomio dividendo cuando. Por tanto: a50, de donde a 0. a) ( 5 ) : ( ) º de Bachillerato Página de 5

3 Unidad : Polinomios y fracciones algebraicas a. Según hemos indicado en el apartado anterior: () a () 0, así que a9/. b) ( ) : ( ) DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 9. Halla las raíces enteras de los polinomios: a) 5 Las raíces enteras se hallan entre los divisores del término independiente:,,,,,. Sin más que sustituir estos valores en el polinomio se encuentra que lo anulan,, y ; de modo que estos valores son los que se nos piden.. b) Los divisores de, son:,,,. Hallando el valor numérico del polinomio para estos valores se encuentra que no se anula para ninguno de ellos. Así pues, este polinomio no tiene raíces enteras. 0. Escribe, en cada caso, un polinomio de grado cuyas raíces sean: a) y Si las raíces son y, entonces 0 y 0 y por tanto ( ) ()0, pero ()() 0. Así es el polinomio deseado. b) 0 y Igual que en el caso anterior (0) () es un producto de dos factores que se anulan para 0 y, entonces tenemos el polinomio buscado: (). FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Descomponer en producto de polinomios de grado uno, los siguientes polinomios: a) 8 Las raíces enteras de este polinomio pueden ser,, y. Probando por Ruffini: 8 ) ) 6 0 Por tanto se descompone como ()()() b) Sacando factor común se obtiene ( ) y buscando los ceros enteros del polinomio de segundo grado que ha resultado, se obtiene: ()() º de Bachillerato Página de 5

4 Unidad : Polinomios y fracciones algebraicas c) 6 8 Sacando factor común se tiene (6 8), y si nos fijamos en el paréntesis resultante nos damos cuenta de que es el desarrollo del binomio (). Entonces la descomposición del polinomio propuesto es ().. Halla el M.C.M. y el m.c.d. de los siguientes polinomios: a),, Como ()() y no se puede descomponer en factores de primer grado, tenemos: MCD(,, ) mcm(,, ) ()()( ) tres. b),, 9 Siendo 9 ()() se tiene: MCD(,, 9 ) pues no hay ningún factor común entre los mcm(,, 9 ) 9. c),, ( ) Solo hay que descomponer en factores ()(), los otros dos ya están descompuestos. Observamos que no tienen ninguno en común, entonces: MCD(,, ( ) mcm(,, ( ) ) )() () FRACCIONES ALGEBRAICAS. Hallar el valor del polinomio p() para que sean equivalentes las fracciones siguientes: p() y Como ()(), se observa que el numerador de la primera fracción es el de la segunda dividido por, por lo tanto debe pasar lo mismo con los denominadores para que las fracciones sean equivalentes. Entonces p().. Simplificar las fracciones siguientes: 8 a) No se puede simplificar nada. 8 b) No tienen factores comunes. No se puede simplificar. c) ( )( ) 5 6 ( )( ) º de Bachillerato Página de 5

5 Unidad : Polinomios y fracciones algebraicas e) ( )( 5) ( )( 5) f) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) g) ( )( ( )( )( ) ) 5. Efectuar las siguientes operaciones, dando el resultado más simplificado posible: a) 5 6 Démonos cuenta de que 56 ()() y, por eso, el mínimo común múltiplo de los denominadores. ( ) ( ) b) ( 5) Como 05 (5) ; 5(5)(5); el mínimo común múltiplo de los denominadores es (5) (5) ; y así resulta: ( 5) ( 5) ( 5) c). Efectuaremos por separado las sumas y restas indicadas en cada uno de los paréntesis y luego haremos el producto de lo que nos resulte:. 9 9 d) : Como en el apartado anterior, efectuaremos primero las operaciones de cada uno de los paréntesis: : : º de Bachillerato Página 5 de 5