Polinomios. 100 Ejercicios para practicar con soluciones

Transcripción

1 Polinomios. 00 Ejercicios para practicar con soluciones El perímetro de un paralelogramo mide 70 cm. Si dos lados miden cm y los otros dos y cm, escribe la epresión de y en función de. + y 70 + y 5 y 5. Un termo cilíndrico mide lo mismo de alto que de ancho. Escribe su superficie total en términos del radio r, y calcula su valor cuando r 0 cm. r La altura es igual al diámetro, es decir, r. La superficie de las dos bases es: πr La superficie lateral es un rectángulo de lados la longitud de la circunferencia y la altura del cilindro, es decir: πr r. En resumen: S πr + πr 6πr Si r 0 la superficie es: S 6π 00.00π cm. Halla el valor numérico de ( - )( + ) + ( -), cuando: c) 5

2 ( 7)( )+(5 ) c) ( )( + ) + ( ) Halla el valor numérico de [ + ( - )( + 5)], cuando: / a ) + ( ) [ ( 6) + ( )( )] (6+5) 0. 5 Epresa con letras o con números y letras las siguientes frases: Dos números suman 5. El triple de un número más el duplo de otro da 8. c) Un número es igual al cuádruplo de otro menos. d) El producto de dos números es igual a la cuarta parte del segundo. + y 5. c) d) + y 8.. y y. 6 Halla el valor numérico de 9 8 +, cuando: /

3 7 Escribe la epresión algebraica que responde a las siguientes situaciones: La suma de tres números consecutivos. La edad de una persona más la mitad de dicha edad es. c) El cuadrado de un número menos el cuadrado de otro. d) El doble de un número menos 8 es igual a su triple más cinco. Llamando al primer número los otros serán + y +, con lo que se escribe Llamando a la edad se tiene +. c) er _ nº, º _ nº y y. d) Llamando al número podemos escribirlo como Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: 5 a m, bn y, a m, bm, b my, a m, n by, mb Son semejantes el º, el º y el 6º, su suma es: También lo son el º y el 7º: + bn y 0 Lo mismo ocurre con el cuarto y el octavo, su suma es: El quinto no es semejante a ningún otro. 5 + a m a m 5 bm. 9 Epresa con letras o con números y letras las siguientes frases: La quinta parte de un número más tres es igual a la tercera parte de otro. El cuádruplo de la suma de dos números vale 8. c) La tercera parte de un número es igual al triple de otro. d) La diferencia del doble de un número y el triple de otro vale. e) y +. 5 f) ( + y) 8. g) h) y. y.

4 0 Halla el valor numérico de las epresiones: A ( ) +, B ( + ) ; para: /. 69 A +, 6 B A + 6, B + 6 Escribe las epresiones algebraicas que representan las siguientes situaciones: Un billete de autobús cuesta 0,90 euros. Cuánto me costarán viajes? Cuánto pagaré por 5 cafés y refrescos? c) Un DVD cuesta el doble que una cinta de vídeo. d) Cuánto pagaré por 7 cuadernos y bolígrafos? viajes me costarán 0,90 euros. 5 + y, si un café cuesta euros y un refresco y euros. c) y, si la cinta de vídeo cuesta y el DVD cuesta y. d) 7 + y, si cada cuaderno cuesta euros y cada bolígrafo y euros. Halla el valor numérico de ( 6 + 9) +, cuando: - /. (( ) + + 9) ( 9 + 9) 9 b ) Escribe en forma algebraica: e) El quíntuple de la diferencia de e y. f) El triple del cuadrado de a más el duplo del cubo de b. g) La diferencia de z y t al cubo menos el cubo de su suma. h) El cuadrado de más el cuadrado de y más el doble producto de e y.

5 e) 5 ( - y). f) a + b g) h) ( z t) ( z + t) + y + y Epresa en lenguaje algebraico: e) El cuadrado de un número más tres. f) La suma de los cuadrados de dos números. g) El cuadrado de la suma de dos números. h) La diferencia de los cuadrados de dos números. e) nº f) g) h) er er er _ nº _ nº _ nº +., º _ nº, º _ nº, º _ nº y + y y ( + y). y y.. 5 Un prisma rectangular tiene los lados de la base iguales a e y, siendo la altura igual a la diagonal de la base. Escribe la epresión que nos da su volumen según las indeterminadas e y. Calcula su volumen cuando 9 cm, y cm. La base es un rectángulo de lados e y, luego, su área es: A y, y su diagonal es: h + y. El volumen, por lo tanto, es: V y + y Sustituimos los valores: V cm. 6 Un rectángulo tiene un perímetro de cm. Halla la epresión para el área del rectángulo en función de la longitud de la base. Llamando a la base e y a la altura, el perímetro se escribe P + y ; + y. El área es A y, y si lo queremos escribir sólo en función de, despejamos y del perímetro obteniendo y -, con lo que queda A ( - ). 5

6 7 Epresa en lenguaje algebraico: i) La suma de las patas de conejos e y palomas. j) La suma de cuatro números consecutivos es 88. k) La suma del cuadrado de un número más es igual a 8. l) El sétuplo de un número menos 7 es igual a 9. i) Como un conejo tiene patas y una paloma, escribiremos + y. j) Si llamamos al primer número los otros serán +, + y +. Escribiremos k) nº + 8. l) Llamando al número, lo escribimos como Sabiendo que una de las diagonales de un rombo mide una unidad más que la otra, epresa el lado y el área de dicho rombo según la medida de la diagonal menor. Calcula dichos valores cuando la diagonal menor mide m. Sea d la diagonal menor del rombo del enunciado. La diagonal mayor es: D d +. El lado, a, junto con las dos semidiagonales determinan un triángulo rectángulo, en el que aplicamos el teorema de d d + Pitágoras: a +. El área es: A Los valores pedidos son: a + m. A 6m. Dd d(d + ) 9 Si el lado de triángulo equilátero es l, epresa su altura y su área según la letra l. Calcula sus valores para l. La altura, uno de los lados y la mitad de la base determinan un triángulo rectángulo, en el que aplicamos el teorema de Pitágoras: l h l l l. El área es: A l 6 Los valores pedidos son: h unidades. A unidades. 6

7 0 Halla el valor numérico de ( - 5)( + 5), cuando: /0-6/ ( + )( ) 7 ( 5) Cuál es el mayor valor posible para el área de un rectángulo, si sus lados son números enteros y la suma de sus medidas es? Las medidas de dos lados contiguos sumarán 6. Como son enteros los posibles casos son: y 5, y ó y. La mayor área corresponde al cuadrado de lado. El precio de una carrera en tai consta de dos partes: la primera es una cantidad fija, la bajada de bandera, que cuesta,80 euros, y la segunda depende del número de kilómetros recorridos, siendo el precio de cada kilómetro 0,70 euros. i) Escribe la epresión algebraica que se obtiene para el precio de una carrera. j) Cuánto hay que pagar por una carrera de 5 km? k) Y por otra de 5 km? i) precio _ carrera y, km _ recorridos y,80 + 0,70. j) y,80 + 0,70 5 5,0 euros. k) y,80 + 0,70 5 9,0 euros. El coste de la electricidad consumida en un hogar viene dado por los siguientes conceptos: potencia contratada, consumo y alquiler del equipo de medida. La facturación por potencia contratada se calcula multiplicando los Kilowatios contratados por el número de meses de facturación y por,9 euros; la facturación por consumo viene dada por el número de Kwh consumidos multiplicados por 0,08 euros; el coste del alquiler se obtiene multiplicando,0 euros por el número de meses de facturación. Epresa algebraicamente el coste de la electricidad cuando se tienen contratados 5,5 Kw y el período de facturación es de meses. Cuánto se pagará si se han gastado 00 Kwh en meses y se tienen contratados 5,5 Kw? Si llamamos a los Kwh consumidos en meses e y al coste podemos escribir: y 5,5,9 + 0,08+,0 5,9 + 0,08 +,0 ; y 9,69 + 0,08. y( 00) 9,69 + 0, , ,69 euros. 7

8 Un rectángulo tiene 6 cm de base y 7 cm de altura. Halla la epresión del nuevo área si: l) Aumentamos la base en cm. m) Aumentamos la altura en y cm. n) Aumentamos la base en cm y la altura en cm. o) Aumentamos la base en cm y la altura en y cm. El área del rectángulo vale A b h, por lo que en principio, el área vale 6 7 centímetros cuadrados. Tendremos: l) A (6 + ) m) A 6 (y + 7) 6y +. n) A (6 + ) (7 + ) o) A (6 + ) (7 + y) y 5 Efectúa las siguientes operaciones: ( + 8) ( + 5) + ( 5) 0a b ab (a b + ab ) + (a b 5ab ) a b ab a b ab + a b 5ab 0a b 0ab 6 Efectúa las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto: 6 5 ( ) : ( ) :. No es necesario el esquema de la división, se observa que todos los términos del polinomio son divisibles por el monomio salvo el término independiente, luego: C() y R() 8. Razonando como en el apartado anterior, tenemos: C() 6 + y R()

9 7 Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini: 5 ( ) : ( + ) ( ) : ( ) C() , R() C() +, R() 0. 8 Halla el polinomio que hay que restar a P() , para obtener Q() + 5. Nos piden R() para que P() - R() Q(). Despejamos y sustituimos los polinomios: 5 R() P() Q() ( ) Efectúa las siguientes operaciones: ( ( ( + ) (( )) + + ) ( )) + ( + )

10 0 El cociente entre un polinomio y el monomio es C() + +, y el resto es R() +. De qué polinomio se trata?. La relación fundamental de la división nos da el polinomio pedido: D() C() d() + R() ( + + )( ) + ( + ) Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini: ( + 5 8) : ( + ) ( ) : ( ) C() + +, R() C() + + +, R() 0. Divide los siguientes polinomios: ( + ) : ( ) Es decir: C() +, R()

11 Nos dicen que al efectuar la división ( 5 ) : ( ), se ha obtenido como cociente C() y como resto R () +. Comprueba si son correctos los resultados sin efectuarla. Utilizamos la ley de la división entera para comprobar si son correctos los cálculos: D() C() d() + R() ( - )( + + ) La última epresión coincide con el dividendo, luego, son correctos los cálculos. En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes, quedando: Si sabemos que la división es eacta, puedes reconstruirla, y escribir los polinomios dividendo, divisor y cociente? Como la división es eacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está encima de él debe ser -6. Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser -, pues, al multiplicarlo por resulta -6. Ahora, solamente consiste en continuar con el método. Los polinomios pedidos son: 5 D() , d() +, C() + y R() 0 5 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: ( + y)( + z) - ( - y) ( - z) ( + y - z) ( - y +z) + z + y + yz - ( - z - y + yz) y + z y + z + y y + yz z + yz z y + yz z 6 El siguiente esquema corresponde a la división de dos polinomios utilizando el método de Ruffini. Escribe los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto, y compruébala con la regla fundamental de la división

12 5 Los polinomios son: D() + +, d() +, C() y R() -. Se debe cumplir: D() C() d() + R(). Operamos: ( )( + ) + ( ) + +. que, efectivamente, es el dividendo Si dividimos el monomio M entre y obtenemos como cociente y. Calcula el monomio M. El monomio M, el dividendo, es el producto del cociente por el divisor: 5 M y y y 8 Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes: ( ) + ( + 5) ( ). Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos. ( ) + ( + 5) ( ) (6 + 9 ) Dados los polinomios P() + + y Q() + 5. Calcula: P() + Q() P() -6Q() ( + + ) + ( + 5) ( + + ) 6( + 5) Divide los siguientes polinomios: (6 + 9) : 6 5 ( + 6 ):

13 Cada monomio del polinomio es divisible por el monomio, resultando: +. Cada término del polinomio es divisible por el monomio. Obtenemos: + Calcula las siguientes potencias: ( y) ( 5 ( ) y) c) ( y) ( y) ( ) y y y. d) ( ) ( ) + ( ) Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: ( - )( + ) - ( - ) ( + ) ( + y) ( - y + y - ) e) + ( + ) f) y + y + 6y y + 6y y y + 6y + + 5y y y Calcula la siguiente potencia: [( )y (y 5) ] En primer lugar, operamos en la base y simplificamos: y - y - (y - 5) 5 - y. (5 y) 5 (5 y)(5 y) 00 y + 0y (5 y)(5 50 y + 0y 8y 0y + y ) 5 50 y + 60y 8y. Divide los siguientes polinomios: 6 ( + ) : ( + ).

14 Es decir: C() +, R(). 5 Calcula a para que la siguiente división sea eacta: ( a 6) : ( + ). Efectuamos la división arrastrando el coeficiente a: a 6 + a 6 + a -6 a a 6 a Para que la división sea eacta: 6 a 0 a. El cociente sería: C(). 6 Dados los polinomios P() + + 8, Q() y R() 8 +. Calcula un polinomio S(), que sumado con el opuesto de R() resulte un polinomio igual a dos veces la diferencia entre P() y Q(). Planteamos la condición del enunciado: S() + (- R()) (P() - Q()) Despejando el polinomio pedido: S() P() - Q() + R() Sustituyendo: S()

15 7 Efectúa los siguientes productos notables: ( y )( + y ) ( + y) + ( + y) g) Se trata del producto de una suma por una diferencia: h) 6 ( y )( + y ) ( ) ( y ) 9y El paréntesis es uno de los términos de la suma por la diferencia. ( + y) + ( + y) ( + y) + y + y 8 Efectúa las operaciones P + Q - R y P - (Q - R), siendo: P + Q + + R + + P + Q R P ( Q R) Divide los siguientes polinomios: (9 + ) : ( + ) Es decir: C() + -, R() 0, la división es eacta. 5

16 50 En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes, quedando: Puedes reconstruir la división, y escribir los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto? Según la regla de Ruffini, el número del segundo cuadro de la segunda fila es un, y el primero de la tercera fila es un. Éste por el primero de la segunda fila debe darnos, luego, el primero de la segunda fila es. Ahora, solamente es continuar con el método. Los polinomios pedidos son: D() 5, d() -, C() y R(). 5 Utilizando el método de división de Ruffini, calcula el valor de a para que el polinomio cociente de la siguiente división no tenga término independiente: ( + + a + 5) : ( + ). Cuánto vale el resto? La división por Ruffini es: - a a - a - 6 -a El polinomio cociente es: C() + + a 6, y se pide: a - 6 0, luego, a 6. El resto pedido es: R() - a 5. 5 Calcula el valor de a para que la división ( 6 : ( + + ) sea eacta. Realizamos la división: a a + 6 a Para que R() sea nulo, a 0. 5 Efectúa las siguientes potencias: ( y) z ( + ) 6

17 i) j) ( y) z 6 6 [( ) y z] ( ) y z y z ( + )( + ) Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: ( + )( ( + y)( + ) ( + )( ) + y ) + ( + y)(y + y + ) k) El primer paréntesis es factor común: ( + )( + + ) ( + )( ) + 8 l) El primer paréntesis es común: ( + y)( + y + y + y + ) ( + y)( + y + y ) + y + y + y 55 Dividiendo por el método de Ruffini, comprueba que las siguientes divisiones son eactas: ( ) : ( + ) ( ) : ( + ) Luego, en ambos casos es correcta la afirmación. 7

18 56 En una división de polinomios el cociente es +, y el resto es R() - +. Si el dividendo es el polinomio, qué polinomio es el divisor? De la relación fundamental de la división: D() C() d() + R(), obtenemos: C()d() ( + ). Dividiendo la última epresión por el polinomio cociente, obtenemos el divisor: El polinomio divisor es: d() + 57 Efectúa las operaciones PQ+PR+QR, siendo: P() + +, Q() + 5, R() Si sacamos factor común podemos mitigar el cálculo laborioso que se nos pide: PQ + PR + PR + QR P(Q + R) + R(P + Q) ( )( ) + ( )( ) Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones, utilizando el método de Ruffini: ( + 8 ) : ( + ) ( + + ) : ( ) / C() + 6, R() / 0 / -/9 0 -/ 7/9 C() +, R() 7 9 8

19 59 En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes, quedando: Si sabemos que la división es eacta, puedes reconstruirla, y escribir los polinomios dividendo, divisor y cociente? Como la división es eacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está enciam de él debe ser -6. Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser -, pues, al multiplicarlo por resulta -6. Ahora, solamente consiste en continuar con el método. Los polinomios pedidos son: 5 D() , d() +, C() + y R() 0 60 Utilizando el método de división de Ruffini, calcula el valor de a para que la siguiente división sea eacta: ( : ( ) La división por Ruffini es: a a+ Para que sea eacta: R() a + 0, luego a -. 6 En una división por el método de Ruffini se han borrado los números de la primera fila, quedando: Puedes reconstruir la primera fila, y escribir los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto? Según la regla de Ruffini, los números de la primera fila son los de la tercera menos los de la segunda. También podemos calcularlos con la relación fundamental de la división: D() C()d() + R() ( + + 5)( ) Dados los polinomios P() a y Q() + b 6, hallar a y b para que su suma sea:

20 Sumamos los polinomios: P() + Q() + (a + ) + (b ) Igualamos los coeficientes de igual grado: a + a, b - -5 b - 6 Utilizando el método de división de Ruffini, calcula el valor de a para que el resto de la siguiente división sea 5: ( : ( + 5). La división por Ruffini es: 6 0 a a -5 Igualamos el resto a 5: R() a - 5 5, luego, a Efectúa la siguiente potencia y reduce los términos semejantes: + y y. La base de la potencia es el producto de una suma por una diferencia: + y y y. La potencia pedida es: y 6 y y 6 + 6y y y 6 + y + 8 y 6y 6 6 y 6 + y 6y 6 65 Halla un polinomio S() que al sumarlo con P() +, resulte un polinomio cuyos coeficientes sean los de la suma de Q() + y el opuesto de P() multiplicados por dos. Planteamos la condición del enunciado: S() + P() (Q() - P()) Despejando el polinomio pedido: S() Q() - P() Sustituyendo: S()

21 66 El volumen de un ortoedro viene dado por el polinomio V() +, y su altura por H() -. Qué polinomio nos da el área de la base? Si uno de los lados de la base es +, qué polinomio nos da el otro lado? La base pedida será el cociente entre el volumen y la altura dados: La base, por lo tanto, es B() + +. Si uno de los lados del rectángulo base es +, de nuevo el cociente nos da el otro: Las tres aristas del ortoedro son: +, + y Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes: ( + y) - [ + ( - y) - ( - y)] + ( + ) ( + 5) + y y + - y - + y ( ) Cuál es el dividendo de una división de polinomios, si el divisor es + /, el cociente y el resto /? La relación fundamental de la división nos da el dividendo pedido: 5 5 D() C() d() + R() ( )( + )

22 69 Calcula a y b para que la siguiente división sea eacta: ( a + : ( ). Efectuamos la división arrastrando los coeficientes a y b, para igualar el resto de la misma a cero: a +b (a + ) + b 6 + (a+)+ (b+) Para que la división sea eacta: a + 0 a -, y b + 0 b Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P() es divisible por +, y calcula con una división otro factor del polinomio. Calculamos el valor numérico para - : P( ) ( ) + ( ) + ( ) Luego, el polinomio es divisible por El cociente de la división es otro factor del polinomio: Utilizando el valor numérico del polinomio, comprueba si los siguientes polinomios tienen el factor - : c) El valor numérico del polinomio para debe ser 0: d) Sustituimos por : Los dos polinomios tienen como factor -. 7 Halla las raíces enteras del siguiente polinomio:

23 Los divisores de 6 son: ± ; ± ; ± ; ± 6 Los valores numéricos para dichos números son: P() P(- ) P() P(-) P() Halla un polinomio cuyas raíces sean -,, y - 5. El polinomio buscado debe tener como factores ( + ), ( - ), ( - ) y ( + 5), luego, podemos considerar que es el producto de dichos binomios: ( + )( )( )( + 5) ( )( + 5) Halla una raíz entera del polinomio P() , y dividiendo por el método de Ruffini halla un segundo factor del polinomio. Tiene más raíces reales el polinomio P()? Las raíces enteras están entre: ± ; ± ; ± ; ± 6 Se comprueba que - es la raíz entera buscada: P(- ) El polinomio es divisible por: ( + ). El cociente de la división por + será un nuevo factor de P() El factor buscado, por lo tanto, es: +. La factorización del polinomio dado es: ( + )( + ). El binomio + no se anula nunca, es siempre positivo, luego el polinomio dado no tiene otras raíces reales. 75 Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:

24 e) Los divisores de 5 son: ± ; ± ; ± 5; ± 5 Se comprueba mentalmente que ± no son raíces. Para se tiene: P() , luego es una raíz. Si - se tiene: P(- ) , no es raíz. Para el valor 5: P(5) , tampoco es raíz. Si - 5 se tiene: P(- 5) , luego, - 5 es la segunda de las raíces. f) Los divisores de, el término independiente, son: ± ; ± Mentalmente se comprueba que ningún número positivo puede ser raíz. Si - el valor numérico es: P(- ) , luego, no es raíz. Cuando - se tiene: P(- ) , por lo tanto, - es una raíz. El polinomio no tiene más raíces enteras que Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio: Los divisores de 6 son: ± ; ± ; ± ; ± 6 Los valores numéricos para dichos números son: P() P(- ) P() P(-) P() P(-) Las tres raíces del polinomio son: -, y -. El polinomio dado es igual al producto: ( + )( - )( + ). 77 El polinomio P() es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces y -. Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor.

25 El enunciado nos da las raíces enteras y -, luego, el polinomio es divisible por ( - ) y por ( + ). Dividimos por el primer factor, y el cociente resultante por ( + ), como se indica en la siguiente disposición de los coeficientes: El último de los cocientes, -, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P() ( - )( + )( - ). 78 Saca factores comunes en las siguientes epresiones: c) 6 y + 8 z a - ay + b - by ( - ) + - Factores comunes: y ( -y +z) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: a( - y) + b( - y) Como el paréntesis es común, resulta: (a + ( - y) c) El factor ( - ) es común: ( - )( +). 79 Escribe como potencias y productos notables las siguientes epresiones: c) y + 6y + 9 y 5 d) Se trata del cuadrado de una diferencia: ( ) + ( ). e) Buscamos el cuadrado de una suma: ( y) + y + (y + ) f) Nos dan la diferencia de cuadrados: (y) 5 (y + 5)(y 5) 80 Escribe el resultado de + y + y y como uno de los productos notables. 5

26 Desarrollamos los cuadrados: + y + y + y + y y + y y Ponemos como factor común y buscamos el cuadrado de un binomio: y + y y + y y 8 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P() + es divisible por -, y calcula con una división otro factor del polinomio. Calculamos el valor numérico para : P() Luego, el polinomio es divisible por El cociente de la división es otro factor del polinomio: +. 8 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprobar si los polinomios: P() y Q() tienen como factor +, y, en caso afirmativo, calcular con una división otro factor del polinomio. Calculamos los valores numéricos para - : P( ) ( ) + 8( ) Q( ) ( ) + 5( ) + 5( ) + 6 Q Luego, + no es un factor de P(), y sí lo es de Q() El cociente de la división anterior, + +, es otro factor del polinomio Q() 6

27 8 El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de polinomios: Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y escribe P() + + como un producto de tres binomios más un número. Para la primera división: D() + +, d() -, C() y R() 6. Se debe verificar: D() C()d() + R() Operamos: ( )( ) D() Luego, es correcta. Para la segunda división debe verificarse: C() C()( + ) + R(), con C () + y R() 0. Operamos: ( + )( + ) C(). También son correctos los resultados. Sustituyendo la epresión C() ( + ) ( + ) de esta última división en la primera, obtenemos el resultado pedido: D() ( + ) ( + )( -) Escribe un polinomio cuyas raíces sean -,, / y - /, y que tenga el coeficiente de mayor grado igual a 6. El polinomio pedido debe tener como factores ( + ), ( - ), ( -/) y ( + /). El producto de los cuatro factores da un polinomio con dichas raíces cuyo coeficiente de mayor grado es uno. Multiplicando por 6 obtenemos el polinomio pedido: 6( + )( - )( -/)( + /) 6( )( ) Escribe en forma de productos y potencias, utilizando los productos notables, las siguientes epresiones: ( ) 6( )

28 El número cuatro y ( - ) son factores comunes: ( )( ) ( ) Obtenemos una diferencia de cuadrados al cuadrado, luego: [ + )( ) ] ( + ) ( ). ( Buscamos una diferencia de cuadrados: El último paréntesis es de nuevo una diferencia de cuadrados: Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio: El polinomio tiene como factor común en sus términos, luego, una de las raíces es 0: ( 9 + 9). Los divisores de 9, término independiente del paréntesis, son: ± ; ± ; ± 9 Los valores numéricos para dichos números son: P() P(- ) P() P(-) Las otras tres raíces del polinomio son:, y -. El polinomio dado es el producto: ( - )( - )( + ). 87 Factoriza el polinomio 5 P() 0, hallando sus raíces enteras 8

29 El polinomio tiene y como factores comunes, entonces: P() ( 7 5). Una de las raíces enteras es 0, y las otras posibles están entre: ± ; ± ; ± 5; ± 5 Los valores numéricos del paréntesis, Q(), para dichos valores son: Q() Q(- ) Q() Q(-) Q(5) Luego, las tres raíces de Q() son: -, - y 5. El polinomio se escribe como producto de factores de la forma: P() ( + )( + )( 5). 88 Dados los polinomios: P() y Q() + justifica que no tienen ningún factor común. Factorizamos los polinomios dados. El polinomio P() tiene como factor común, y, después, resulta una diferencia de cuadrados: P() ( ) ( )( + ). Las raíces enteras de Q() están entre: ± Se comprueba que es una raíz: Q() Dividimos para hallar el segundo factor: Entonces, C() + y Q() ( )( + ). El último factor carece de raíces reales. Las epresiones halladas para P() y Q() muestran que no tienen ningún factor común a ambos. 89 Simplifica las siguientes epresiones: 8 y z 0y z 8( 6 + )( ) + 9

30 g) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta: h). 6 5y z Sacando factor común en el denominador, resulta: 8( + )( ) ( ). 6( + ) 90 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:, Simplificamos la primera fracción. En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados, y en el denominador el cuadrado de una suma: ( + )( ) + + ( ) Luego, son dos fracciones equivalentes. NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción:. Las posibles raíces enteras del numerador son: ±, ± Se comprueba que lo es, y dividimos utilizando el método de Ruffini: C() - es el segundo factor del numerador. Es decir: 5 + ( )( ). El denominador se descompone sacando factor común, y desarrollando la diferencia de cuadrados: ( ) ( + )( ). ( )( ) Sustituyendo en la fracción:. ( + )( ) + 0

31 9 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes: + Simplificamos sacando factor común, y factorizando la diferencia de cuadrados:, ( + ) + + Por lo tanto, son equivalentes. ( ) ( + )( ) NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz. 9 Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando ( + ) por un factor, P(). Es decir, ( + ) está como factor en + 8. Dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos el factor P(): ( )( ) 0 + El cociente es el factor buscado, es decir, P() -, y la fracción pedida es:. ( + )( ) Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea +. + Dividiendo el nuevo denominador entre el antiguo, obtenemos el factor por el cual debemos multiplicar numerador y denominador de la fracción: Luego, el factor por el que debemos multiplicar es ( - ), y la fracción pedida es: ( ) + ( + )( ) +

32 95 Reduce a común denominador las siguientes fracciones:, Las posibles raíces enteras del denominador de la primera son: ± Se comprueba que solamente lo es. Dividimos utilizando el método de Ruffini: El cociente C() + +, que no tiene raíces reales, es el factor buscado, resultando: ( )( + + ). El denominador de la segunda fracción tiene como posibles raíces enteras: ±, ±. Solamente lo es: Dividimos: Obtenemos el mismo cociente que anteriormente, resultando el polinomio factorizado: ( )( + + ). El denominador común, por lo tanto, es: ( )( )( + + ) y las fracciones, respectivamente, son: ( ) ( )( )(, + + ) ( ) ( )( )(. + + ) 96 Simplifica las siguientes fracciones factorizando, utilizando los productos notables donde sea necesario: i) En el numerador tenemos el cuadrado de una diferencia, y en el denominador el factor es común. j) ( ) ( ) Factorizando y simplificando:. 9 En el numerador tenemos el cuadrado de una suma, y en el denominador una diferencia de cuadrados. (+ ) + Factorizamos y simplificamos: ( + )( ). 97 Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción: +. +

33 El numerador admite la raíz entera 0, es decir: ( + ), y las otras están entre: ±, ±, ± Se comprueba que - y lo son. Dividimos utilizando el método de Ruffini por los factores correspondientes a dichas raíces: El cociente C() - es el factor que faltaba del numerador, resultando: ( + )( ). El denominador se descompone sacando factor común, y utilizando los productos notables: + ( + ) ( ). Sustituyendo en la fracción: ( + )( ) ( ) Reduce a común denominador las siguientes fracciones:,,. + Factorizamos los denominadores: El denominador común es: ( + )( - ) son: - ( - ), - ( + )( - ), + ( + ) -, y las fracciones equivalentes a las dadas, respectivamente, ( + ),, ( ) 99 + Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando ( ) por un factor, P(). Al descomponer el nuevo denominador se obtiene: ( ) ( )( + ) P() ( + ) + Multiplicando también el numerador por P() se obtiene la fracción equivalente:. Por tanto, el factor ( )( + ) + ( )( + ) +.

34 8 9 9 ( ) 6 6 ( ) ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) 0 0 Simplifica las siguientes fracciones: ( 6 + Factorizamos sacando factor común y desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador: Sacamos factor común en el numerador y en el denominador: