UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

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1 C u r s o : Matemática Material N 15 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 1 EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir, tienen las mismas letras y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. EJEMPLOS 1. Cuál es el valor de x : -y z x y; Si x -4, y - y z 8? a b ab + a b ab 1 a b -a b 4ab -a b ab -a b ab a b - 4ab -4ab

2 x + y + y + x y x x + 8 y x y x y x y x y x 0,5 0,5x + x 4-1,5 0,5-0,5x 0,75-0,5x + 0,75 0,5x + 0,75 1,75x 0,75 5. (8m n) (m + n) 7m n 7m + n 7m 4n 7m + 4n 9m 4n 6. Si M x 1 y N 1 x. Entonces, la diferencia entre el antecesor de M y el sucesor de N es -4 x 4 x x x +

3 OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir: a (b c) (a b) c MONOMIO POR POLINOMIO Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir: a(b + c + d) ab + ac + ad POLINOMIO POR POLINOMIO Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. EJEMPLOS 1. Si P x x + 4 y Q x + x 1. Entonces, el valor algebraico de x(q P) es x + 4x 5x x 4x + 5x x 4x 5x x + 4x + 5x x + 4x 5. a(a + b) b( b + a) a + ab + b a ab + b a + b a b (a + b)

4 . 5 ab 8 ab ab a b 1 ab 1 a b a b 4. 4m n(mn ) 4m n + 8m n 4m n 8m n 4m n + m n 4m n + 8m n 4m n 8m n 5. Si al producto entre (a + b) y (a b) se le resta la diferencia entre (a + b) y (a b), se obtiene a b a a b b a b a b + b a b + a 6. Si x a 1 e y a + 1, entonces -[-(-x) y (-x + y)] 4 4a a a + a + 4 4

5 PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DE BINOMIO El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo. (a + b) a + ab + b (a b) a ab + b EJEMPLOS 1. El cuadrado de la diferencia entre m y n es igual a 4m 9n 4m 6mn + 9n 4m 1mn + 9n 4m 1m n + 9n m n. ( 8 ) (5x y) 5x + 0xy + 4y 5x 0xy + 4y 5x 0xy 4y 5x + 0xy 4y 5x 10xy + 4y 5

6 4. Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al desarrollo del cuadrado del binomio ( x + y)? I) x + y II) x + xy + y III) x + xy + y Sólo I Sólo II Sólo III Ninguna de ellas Todas ellas 5. El resultado del cuadrado de binomio (x + ) es x 4 + 6x + x 4 6x 9 x 4 6x + 9 x 4 + 6x 9 x 4 + 6x Si P x 1, entonces el valor de (1 P) es x 4 4x + 4 x 4 + 4x 4 x 4 4x 4 x x 4 6

7 SUMA POR DIFERENCIA El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. (x + y)(x y) x y BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más el producto de los términos no comunes. (x + a) (x + b) x + (a + b)x + ab EJEMPLOS 1. (x + y)(x y) 4x + y 4x y 4x 4xy + y 4x + 4xy + y 4x + 4xy y. La expresión (a + b)(a + + b) equivale a a b 4 a + b 4 (a + b) (a + b) ninguna de las anteriores.. En el rectángulo ABCD de la figura 1, el área del rectángulo achurado es (4m + ) (4m ) (4m + ) (4m ) 4m 9 7m(4m ) 4m D 4m C fig. 1 A B 7

8 4. (x + 1) (x 1) 5x 5x + 5x + 10x 5x + x + 5x + 10x + 5. (a ) (a ) a + 5a + 6 a 5a + 6 a + 6 a 5a a 5a 6 6. (a b ) (a b 1) a b 4 a + b + 4 a + b + ab + 4a 4b a ab + b 4a + 4b + ninguna de las anteriores. 7. Si x , y 00 y z , cuál de las siguientes opciones es verdadera? y < x < z y < z < x x < y < z x < z < y z y < x 8

9 FACTORIZACIÓN FACTORIZAR Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores. FACTOR COMÚN ab + ac a (b + c) DIFERENCIA DE CUADRADOS a b (a + b) (a b) EJEMPLOS 1. El factor común de las siguientes expresiones x y, y x, x y, -5x + 5y es -5x 5y x y x y y x 15(x y). Al factorizar la expresión 9x y + 6xy 4 1x 5 y se obtiene x 8 y 6 x(9xy + 6y 4 1 x 5 y) x y 4 xy(x + y 4x 4 ) xy(x y 4x 4 ). La factorización de la expresión (x + )(x ) + (x + ) (x ) x (x )(x + ) es (x 1)(x + )(x ) (x 1)(x + )(x ) (x 1)(x + ) (x ) (x 1)(x + ) (x ) (x 1)(x + ) (x ) 4. Al factorizar x + ax bx ab se obtiene (x + a) (x b) (x + a) (x + b) (x a) (x + b) (x a) (x b) ninguna de las anteriores. 9

10 5. Al factorizar 5a b se obtiene a b (5a + b)(5a b) ( 5a + b)( 5a b) (5a b) ( 5a + b )( 5a b ) 6. Al dividir x y por (x + y)(x y) el cociente es x x x 1 8x x x x x ninguna de las anteriores 8. (7x + ) (5x 4) 4x + 10x 1 (x + 7) 4x + 8x x + 8x 7 4x + 14x

11 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: a + ab + b (a + b) a ab + b (a b) TRINOMIO DE LA FORMA: x + px + q (x + a) (x + b) con p a + b, q ab EJEMPLOS 1. a + 4a b + 4ab a(a + 4ab + 4b) a(a + 4ab + 4) a(a + 4ab 4b ) a(a + b) a(a + b) a6 a b + 16b 4 1 a 8b a + 4b 4 1 a 4b a 4b 4 1 a 4b x + 1xy + 9y (x + y) (x y) (x + y)(x + ) (x + y)(x + y) (x + y)(x y) 11

12 4. Al factorizar 6 ( + 7)( + 9) ( + 7) ( 9) ( + 7)( 9) ( 7)( + 9) 5. La expresión numérica es equivalente a + 4 ( + 4) + ( + 4) + 4 ( + 4) ( 4) 6. x 7 1 x 1 (x 7)(x + 1) (x 5)(x 1) 4 x + x 4 4 x x 4 4 x + x 4 7. x + 8 x 1 1 (x ) x + 1 (x + ) x (x + 1)(x ) 1 (x + ) x + 1 x (x ) 1

13 FRACCIÓN ALGEBRAICA Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. La Q(x) variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que no anule al denominador. SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA Para ello se debe considerar lo siguiente: Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes. Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o el denominador y se cancelan los factores comunes. EJEMPLOS 1. x 15x + 18 x 5x + 6 x + x x + x 1 0. x + x 15 x + 4x + 45 x x + (x ) x + x x + 9 x 6 x + 1 1x. 5x 45 x + x 6 x + 9 x 7 x 7 x + 9 5x + 5 x + 9 5x 5 x + 9 5x + 7 x + 9 1

14 4. x + 8x + 15 x + 5x + 6 x 5 x x + 5 x + x + 5 x x 5 x + 8 x x x : y y x x x + y y x + y y x y xy x + xy y 6. a 1 + a + b a 1 + b 1 a + b a + b 1 a 1 b a 14

15 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas, pueden ocurrir dos casos: Fracciones de igual denominador Si A B y C B A son fracciones algebraicas, donde B 0, entonces C B ± A ± C B B Fracciones de distinto denominador Si A B y C D son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces A B ± C D A D ± B C B D MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Si A B y C D son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces: La multiplicación A B C D A C B D La división A B : C D A D B C (C 0) EJEMPLOS x y + + x y xy x y + xy y x x + y xy xy 15

16 . x x 5 + x 4 6 -x x - x x x. x + 6x x 1 x 1 1 (x + 1) x 1 (x 1) x + 1 6x x 1 (x + 1) x x 8x + 4 x + 1 x 1 1 4x 7x + 5 x 11 x 1 x x 11 (x 1) 5. m + m 15 1 : m + 8m + 15 m 9 4(m 9) m 9 m + (m+) m 6m

17 EJERCICIOS 1. Si m - y n -1, entonces el valor de (m + mn + ) : (m mn 1) es Si x y 1, y z 0, x z 15 y x es positivo, entonces el valor de x y z es Si x 1 e y - 1, entonces el valor de x y -1 x y -1 y x es 4. 5m -{-[-(m ) + ] m (m 8)} 1m + 5 m m + 5 m m m -m

18 5. Calcular el séptimo término de la sucesión: x x 1 x + x,,, -1 y y 4y,, x 5 7y 5 x 5 6y 5 5 x + 6 7y x 6 7y 5 6 x 7 8y 6. El doble del cubo de la diferencia entre a y b, menos el cuadrado del triple de la diferencia entre a y b, en lenguaje algebraico queda (a b) (a b ) (a b ) (a b) (a b) (a b) (a b) [ (a b)] (a b ) [ (a b)] 7. El cuadrado del exceso del doble de x sobre el cuádruplo de y es equivalente a 4x 16xy + 16y 4x 8xy + 16y 4x + 16xy + 16y 4x + 8xy + 16y 4x 4y 8. Si se desarrolla la expresión (5 n + 5 -n ) (5 4n + 5-4n ), se obtiene 0-5 4n (5 4n + 5-4n + 1) 9. El área de un rectángulo es x x 9. Si el ancho mide (x + ), entonces el largo mide x 6 x x + x x + 18

19 m + n m n m 4 n m n m - n m 8 n 8 m n 11. (1 + ) (1 ) 4 6 (1 + ) Si u ( 7 ) ( + 7 ), entonces el cuadrado de u es A c + 1 c y B c c, entonces A B c 1 0 c c 1 c + 1 -c Se define a b (a + b) y a # b (a b), entonces (x ) (x # ) 81x 0 4x 6x 4x 8 19

20 15. Qué valores posibles pueden tomar a y b para que x + 1x + (x a)(x b)? a -8 y b 4 a 8 y b 4 a 8 y b 4 a -8 y b 4 Ninguna de las anteriores. 16. Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) factor(es) de la expresión algebraica x 6x 0? I) II) (x 5) III) (x + ) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III x 4 81y 4 (16x 81y) 4 (16x + 81y )(16x 81y) (16x 81y )(16x 81y) (x + y)(x y)(4x + 9y ) (4x 9y ) 18. En la expresión K x, si x aumenta en a unidades, entonces K experimenta un aumento de x + ax + a ax + a 6 ax + a a a 19. La expresión 9x + 6x 5 (x + 7) (9x 5) (x + 7) (x 5) (x 7) (x + 5) (9x + 7) (x 5) (x + 6) (x 5) 0

21 0. La fracción x + 8 : 6 x 7 x 1, con x 7, es igual a x x + 4 x + 4 x + 8 x + 4 x 1. (x 9x + 18)(x + 5x + 6) (x 9)(x 4x 1) x + x x + x x x x x 9 x x 9 x x 1

22 . Si p 0, entonces m p nq 1 : n q mp p (mp + nq)(mp nq) mnp es igual a q p 1 p 1 q 1 4. (m -1 n -1 ) -1 7(mn) mn 7 n m 7 (n m) (n m) 7 5. a b b a b 1 a a a b a a b a b a b b

23 6. Se puede determinar el valor numérico de x + y x + y si se sabe el valor de : (1) x + y () xy (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 7. Se puede determinar el valor numérico de ax by ay + bx si : (1) a + b y x + y 4 () x y (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 8. (a b) a b si : (1) a b 0 () a b 0 (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional 9. Se puede determinar el valor numérico de x y si : (1) x + y 0 () x y 4 (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional

24 0. Se puede calcular el valor numérico de de : (m n ) (m + n), con m ±n, si se conoce el valor (1) m n () m + mn + n (1) por sí sola () por sí sola Ambas juntas, (1) y () Cada una por sí sola, (1) ó () Se requiere información adicional DMDMA15 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 4