Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades

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1 Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que muchos de estos símbolos representan números reales, es importante revisar brevemente el sistema de éstos y algunas de sus propiedades fundamentales. Estas propiedades proporcionan las reglas básicas para manejar los símbolos en álgebra. Como es conocido, en el conjunto de los números reales, existen dos operaciones básicas: la adición y la multiplicación. Estas operaciones, que se anotan por + y respectivamente, satisfacen las siguientes propiedades: 1. Propiedades de la Adición y la multiplicación (a) Clausura: La suma y producto de dos números reales arbitrarios es un número real. (b) Asociatividad: Dado 3 números reales arbitrarios x, y y z, se cumplen: x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z (c) Elemento neutro: Al sumar o multiplicar tres números, el resultado no depende del orden en que se realicen las operaciones El número 0, llamado neutro aditivo, cumple que para todo real x: x + 0 = x 6

2 Números reales - Conceptos básicos Algunas propiedades 7 Todo número sumado con 0 es igual a dicho número El número 1, llamado neutro multiplicativo, cumple que para todo real x: (d) Elementos inversos: x 1 = x Todo número multiplicado con 1 es igual a dicho número Inverso Aditivo: Para cada número real x, existe el número x, llamado inverso aditivo de x u opuesto de x, tal que: x + ( x) = 0 Todo número real sumado con su inverso aditivo es igual a 0 Inverso Multiplicativo: Para cada número real x, distinto de 0, existe el número x 1 (= 1 x ), llamado inverso multiplicativo de x, tal que: x x 1 = 1 Todo número real (no nulo) multiplicado con su inverso multiplicativo es igual a 1 (e) Conmutatividad: Dado 2 números reales arbitrarios x e y, se cumple: x + y = y + x xy = yx El resultado obtenido al sumar o multiplicar 2 números, es independiente del orden en que se efectúe la suma

3 Números reales - Conceptos básicos Algunas propiedades 8 Observación: En R existen dos operaciones más: la sustracción ( ) y la división (:). Ellas vienen definidas por: Sustracción: División: x y = x + ( y) x : y = x y = x y 1, y 0 Propiedades generales: 1. Para x, a, b, c, d, números reales se cumple: (a) Ley de simplificación: Si a + b = a + c, entonces b = c Si ab = ac, a 0, entonces b = c (b) Posibilidad de sustracción: Si a + x = b, entonces x = b a (c) Posibilidad de división: Si ax = b, a 0, entonces x = b a (d) Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 (e) a b c d = ac bd, b 0, d 0 (f) a b c d = ad, b 0, c 0, d 0 bc (g) a b + c ad + bc =, b 0, d 0 d bd Orden en los números reales: Existe un subconjunto de R llamado conjunto de los números reales positivos, denotado por R +, con las siguientes propiedades: Si x es un número real cualquiera, exactamente una de las afirmaciones siguientes es verdadera: x R o x = 0 o x R +

4 Números reales - Conceptos básicos Algunas propiedades 9 El conjunto de los reales positivos es cerrado para la adición, es decir: x, y R = x + y R +. El conjunto de los reales positivos es cerrado para la multiplicación: x, y R = x y R +. A partir de estas propiedades se puede definir una relación de orden en los números reales: Si a, b R, se dice que a es menor que b (o que b es mayor que a), denotado a < b (ó b > a) si y solo si b a R +. Si a, b R se dice que a es menor o igual que b (o b es mayor o igual que a ) denotado a b ( ó b a) si y solo si a < b ó a = b. Propiedades de la relación <: 1. Si se suma o resta un mismo número en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad original no cambia de sentido. Es decir: Si a < b, entonces a + c < b + c y a c < b c 2. Si se multiplica o divide por un mismo número positivo ambos lados de una desigualdad, la desigualdad original no cambia de sentido. Es decir: Si a < b y c > 0 entonces a c < b c a c < b c y

5 Números reales - Conceptos básicos Algunas propiedades Si se multiplica o divide por un mismo número negativo ambos lados de una desigualdad, la desigualdad original cambia de sentido. Es decir: Si a < b y c < 0 entonces a c > b c a c > b c y Observación: Propiedades análogas cumplen las otras relaciones de desigualdad.