CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos numéricos Conjuntos numéricos

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1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Estudiemos los conjuntos numéricos sin su estructura y la forma como poco a poco se van formando nuevos conjuntos por la necesidad de resolver algunos problemas Los conjuntos numéricos Entendemos por sistema numérico un conjunto de números dotado de operaciones entre sus elementos que satisfacen determinadas propiedades (que deben ser comprendidos por cada uno de los estudiantes). En este capítulo haremos una presentación rápida de los principales conjuntos numéricos [ Cuáles recuerdas?] hasta definir el sistema de los números reales. Además, estudiaremos la representación geométrica de los reales en la recta numérica, sus operaciones [ cuáles operaciones?] y propiedades de las operaciones [ cuáles recuerdas?]. Este ejercicio lo haremos durante esta sección pues de momento definiremos los conjuntos numéricos y relaciones entre ellos sin mencionar sus propiedades. Al finalizar estudiamos las operaciones y propiedades. Por qué estudiar y conocer las propiedades de los números reales? Resulta que los cálculos aritméticos y algebraicos requieren el uso de las propiedades como se verá mas adelante. Por cierto, Cuál crees que es la diferencia entre lo aritmético y lo algebraico? 0.. Conjuntos numéricos Números Naturales Los números naturales son aquellos que utilizamos para contar y representar la cantidad de elementos en un conjunto. Qué es un conjunto? Por ejemplo, la cantidad de pupitres en un salón, el número de créditos matriculados cada semestre o el numero de caracteres usados en un tweet. Este conjunto de números se simboliza por N. Tenemos entonces el conjunto de números naturales: N = {0, 1,, 3, 4,... } 1

2 Conjuntos numéricos Algunos discuten la inclusión del cero 0 en el conjunto de números naturales, pero no ahondaremos en esta discusión y admitiremos el cero como número natural. Números Enteros Aunque los números naturales eran suficientes para contar, pronto se haría indispensable simbolizar cantidades en un sentido opuesto (por ejemplo para expresar deudas, temperaturas bajo cero, etc). De esta manera si 3 representa una cantidad a favor (positivo), el símbolo -3 representaría una cantidad en contra (negativo), denominado opuesto de 3. Ahora al unir el conjunto de los números naturales y sus opuestos, obtenemos el conjunto de los números enteros que simbolizamos como Z. Z = {... 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,... } Es común distinguir los números enteros positivo mediante Z + y los enteros negativos como Z. Así, Z = Z + Z {0}. Esta unión entre los tres conjuntos, cómo la interpretas? Números Racionales Hasta el momento podemos dar cuenta de cantidades enteras tanto positivas como negativas. Pero que pasa si queremos representar la división en partes de una unidad (por ejemplo una manzana). Para esto es necesario indicar en cuantas partes (iguales) se divide la unidad y cuántas partes se tomarían de esta. Esto obliga a implementar la razón de números enteros, constituyendo el conjunto de números racionales. Es decir, { a } Q = b : donde a, b Z y b 0 En todo racional a, el número entero a se denomina Numerador y b es el Denominador. b Ejercicios 1 Cuáles de los siguientes números no son racionales? Por qué? Números Irracionales El origen de estos números no deseables por algunos pero necesarios a la hora de interpretar las magnitudes del mundo que nos rodea, tiene sus orígenes en la geometría. Por ejemplo, para calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1[U], no podemos representar esta magnitud mediante ningún numero racional, lo único que se podía decir, gracias al teorema de Pitágoras es que el cuadrado de tal magnitud era igual a, motivo por el cual se simboliza por. Y

3 Conjuntos numéricos 3 no solo se trata de números que no tienen raíz entera, también aparecen el famoso π [Pi] y e [Euler], entre otros. El conjunto de los números irracionales se define como: I = {x : x / Q} Ejemplo 0.1 Algunos números irracionales son, 3,π, Números Reales Los números reales son la unión de los racionales e irracionales, es decir, R = Q I = R R + {0} Observación 1 Este conjunto de números reales es el mas grande que consideramos en este curso. Existe el conjunto de los números complejos pero este no será de interés en este curso. En adelante, cuando se hable de número, asumimos que es un número real, excepto que se enuncie que pertenezca a un subconjunto en particular Operaciones entre números reales Las operaciones que se establecen en el sistema de números reales corresponden a la suma (resta) y multiplicación (división), las cuales satisfacen propiedades que serán enunciadas mas adelante, las cuales deben tener en cuenta en el resto del curso y cuyo uso será inevitable, como se verá mas adelante. Se requiere comprensión y formulación de ejemplos para su comprensión. Operaciones en N Las operaciones entre los números naturales son las usuales de nuestra primaria. Ejemplo 0. Los siguientes ejemplos nos remontan a la primaria = = 3 Operaciones en Z = = = = 0 Se distinguen cuatro casos tanto para la suma como para la resta. Veamos: SUMA En la suma identificamos cuatro casos, que corresponden a la forma en que podemos combinar los números enteros. Aquí, puedes combinar números ó positivos ó negativos ó de signo contrario.

4 Conjuntos numéricos = 1. ( 3) + ( 8) = ( 4) = 8 4. ( 3) + 10 = 13 Ejercicios Para que practiques la suma ( 16) = ( ) = 3. ( 5) + ( 7) + ( 8) = ( 30) + 40 = = 6. ( 4) + 8 = Observación Para que tengas en cuenta: 1. Si a Z entonces a + 0 = a.. Si a Z, entonces a + ( a) = No confundir la regla de la suma con la ley de signos del producto. Por qué? 4. Como = 0, entonces el opuesto de cero es cero, es decir, 0 = 0. DIFERENCIA Para la diferencia entre enteros, se exige claridad en la suma de números enteros, pues RESTAR ES SUMAR. Esto es, porque si a, b Z entonces a b = a + ( b). Es decir, si queremos restar b de a, sumamos al minuendo (a) el opuesto del sustraendo (b). Note y tenga cuidado que en la expresión a b = a + ( b), el signo menos del término izquierdo corresponde al signo de la operación, mientras que el signo menos del término derecho corresponde al opuesto de b. Por cierto, que opinas de la siguiente afirmación: Si b es un número entero, entonces b es un entero negativo. Decide si es verdadero, falso y justifica. Ejercicios 3 Resuelve: = 3 + ( 8) = 5. 3 ( 8) = = = 4. 0 ( 8) = = = = 8. (3 7) (5 + ( 13)) = Observación 3 Para todo entero a se cumple:

5 Conjuntos numéricos a = a. a 0 = a 3. a a = 0 PRODUCTO El producto entre números enteros, obedece a una ley de signos que se extenderá a los números reales, las cuales son: Proposición 0.1 Las leyes de signos son: 1. ( 1)a = a. a( b) = (ab) 3. ( a)b = (ab) 4. ( a)( b) = ab Ejercicios 4 Con base en las leyes del producto, efectúa: 1. (3)( ) =. 5( )( 3)4 = 3. 3( 4)( 5) + 8( 5) = 4. (3 + ( 4) + ( 10) + 8)( 4 + 3) = 5. 3( 8) + ( 5)( 3 + ( 8)) = 6. ( ( 5) + 9)( 4) = Observación 4 Tenga en cuenta: 1. Respecto a notación: 1(a) = a.. Respecto leyes distributivas: (a + b + c) = 1(a + b + c) = a b c 3. a + b c = ( a b + c). Por qué? Operaciones en Q Hasta el momento hemos estudiado las operaciones entre enteros. Estudiemos las operaciones entre racionales, para lo cual se exige claridad en la forma como se efectúa las operaciones entre números enteros. SUMA En la suma se identifican dos formas: (ID) Igual denominador: Se aplica la regla a b ± c b = a ± c. Por ejemplo: b = = = = 13. (DD) Distinto denominador: Se aplica la regla a b ± c d = = = 3 1. ad ± bc =. Por ejemplo: bd

6 Conjuntos numéricos ( ) = 5 7 = = = Observación 5 Los siguientes son errores presentados al sumar racionales: = = 7 1 Ejercicios 5 Ponte a prueba con lo que aprendiste: = = = = = = = = PRODUCTO El producto está expresado por la siguiente regla: a b c d = ac. Por ejemplo: bd = ( 7) = = = 80 1 = 80 1 = 80 ( ) ( ) = 1 1 = 1 4 Ejercicios 6 Efectúa las siguientes operaciones: 1. 5 ( 3 3 ) = ( ) ( ) 7 4 = = Observación 6 Para cada número racional x distinto de cero, existe otro, el cual llamaremos inverso multiplicativo de x y que simbolizamos como x 1, el cual tiene la siguiente propiedad: x x 1 = x 1 = 1. Cómo interpretas lo anterior? x Ejercicios 7 Con respecto la observación anterior, observa lo siguiente y responde: 1. ( ) 1 = = 1 3 Por qué? Por qué? no existe. Por qué? = 1 Por qué? ( ) 1 5. = 3. Por qué? 3

7 Conjuntos numéricos 7 Ejercicios 8 Representan lo mismo las expresiones 3 1 y ( 3) 1? Cómo lees cada expresión? COCIENTE A partir del inverso multiplicativo, definimos la división en Q, de la siguiente forma: a b c d = a ( c ) 1 b a = d b d c = ad bc En la práctica se emplea la regla: a b c d = ad bc. Observación 7 Aquella famosa ley conocida como la ley de la oreja, corresponde a la división de fracciones, expresada anteriormente. Es decir, a b c a d = b c d = ad bc Ejercicios 9 Resuelve las siguientes divisiones: =. ( 7 ) ( ) = 6 Observación 8 Tenga en cuenta: 1. 0 a = 0 siempre que a (( ) 3 ) 1 = [( ) ( )] ( ) =. 0 0 no existe. 3. El opuesto aditivo de a b tiene varias formas de escribirse: a b = a b = a b. Note que el signo menos es flotante en la fracción y es el mismo número. 4. Todo número entero a también es un racional, pues a = a a b = a b ( a ) 1 b 6. = b a. Esto pues, a b b a = ab ab = a a = 1 para todo entero distinto de cero. No haga 0 0 = 1. ERROR. 8. Con los racionales podemos efectuar dos procesos, los cuales son:

8 Conjuntos numéricos 8 (Amp) Amplificación: Consiste en multiplicar numerador y denominador por un mismo número. Esto indica, que podemos amplificar un racional en el número que se convenga. Por ejemplo, amplificar en un factor 5 de 8 corresponde a multiplicar por 8 numerador y denominador, es decir, 5 = = (Sim) Simplificación: Consiste en dividir numerador y denominador entre un mismo número. Al amplificar 40, lo podemos hacer de la siguiente 36 forma: = 0 60 o 19 4 = 30 1 = 15 6 = 5 9. Cada número racional se puede clasificar como: (A) Propias: Como 5. Estas son menores que la unidad. Por qué? 7 (B) Impropias: Como 7 Estas son mayores que la unidad. Por qué? Además, 3 las fracciones impropias se pueden representar como un número mixto. Por ejemplo, 7 3 = 1. Cómo se obtiene? 3 (C) Igual a la unidad: Como 3. Qué la hace igual a la unidad? 3 Se puede verificar las anteriores características mediante gráficas. Además, estas fracciones se pueden representar en forma decimal. Ejercicios 10 Consulta y responde: a) Qué es un número decimal b) Qué caracteriza un número decimal? c) Qué tipo de números decimales hay? 10. El proceso de amplificar o simplificar genera lo que se denomina fracciones equivalentes, es decir, fracciones que aunque estén escritas de forma distinta, representan lo mismo. Podemos evidenciarlo de forma gráfica si se quiere, pero note por ejemplo que al amplificar 1 en un factor de 3, queda 3 (usted debe evidenciar que al simplificar la última regresamos a la 3 9 primer fracción). Nos damos cuenta que son equivalentes si tomamos por ejemplo una calculadora ó las representamos gráficamente, o mejor aún,

9 Conjuntos numéricos 9 si hacemos el siguiente ejercicio. Queremos comprobar si 1 3 es equivalente a 3 9, es decir, queremos saber si 1 3 = 3. Para esto, tomamos los extremos 1 y 9 y los medios 3 y 3 y los multiplicamos, nos damos cuen- 9 ta que 1 9 = 9 obteniendo el mismo resultado de 3 3 = 9. Esto es, El producto de medios es igual al producto de extremos. En conclusión, a b = c d si y solo si ad = bc Ejercicios 11 Determina el valor que debe tomar la variable para que las fracciones sean equivalentes. a) 4 3 = k 9 b) k = k 8 c) 5 7 = k k d) 4 9 = 3 k 11. Llama la atención la suma de mas de dos fracciones, pues el método descrito anteriormente, nos puede llevar a ejecutar un número muy grande de operaciones. En vez de esto, se puede realizar dicha suma empleando el método del mínimo común múltiplo, siendo este una generalización de los indicados anteriormente. Además, este método será conveniente cuando estudiemos expresiones racionales. Cabe destacar que este proceso requiere el de amplificación, para convertir una serie de sumandos que tienen distinto denominador, en otro conjunto equivalente de fracciones que tengan igual denominador. Veamos el siguiente ejemplo. Sumemos Estas tres fracciones tienen distinto denominador. Debemos convertirlas en tres fracciones equivalentes que ten- 15 gan el mismo denominador. Este nuevo denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores. Al hallarlo, tenemos que m.c.m.(4, 1, 15) = 60. Entonces amplificamos en los factores correspondientes: a) 7 4 = = b) 1 1 = = 5 60 Ahora, = c) = = = 3 60 = = Ejercicios 1 Resuelve teniendo en cuenta el procedimiento anterior: = = = =

10 Conjuntos numéricos 10 Operaciones en I A diferencia de sumar en Q, con los número irracinales ocurre que los resultados de las operaciones no se dan de forma exacta si así se quisiera. Por el contrario, hay que recurrir a una serie de aproximaciones que en ocasiones pueden llevar a errores, a no ser que se pida una aproximación con un cierto número de cifras decimales, o por el contrario, hay que dejar indicada la respuesta, pues como sabemos, los números irracionales en su forma decimal, se caracterizan por tener su parte decimal infinita no períodica. Ejemplo 0.3 Veamos las diferencias de sumar en Q a sumar en I = = = = π = π [Queda igual] Note que en algunos casos, las raíces son exactas mientras que en otras, o aparecen raices inexactas en cuyo caso se deja indicado o pueden aparecer números como π, cuya aproximación tradicional es 3,14, pero es mas conveniente dejarlo indicado. Ejercicios 13 En la siguiente tabla, se indican algunos valores y algunas operaciones que debes efectuar con base en los valores dados para a, b, c. Escribe en cada casilla el resultado de la operación. a b c a + b + c a 1 (b c) (a b) 1 (b c) ( b 3a) 1 + c Operaciones en R Las operaciones en R, corresponden a las operaciones descritas anteriormente. Nos interesa formular las propiedades que satisfacen dichas operaciones, las cuales deben ser comprendidas por el estudiante, pues su uso es necesario en el resto del curso Propiedades de Números Reales Aunque se han citado de manera aislada las propiedades a lo largo de este capítulo, a continuación se resume las propiedades que usted debe entender y conocer al día de hoy.

11 Conjuntos numéricos 11 Proposición 0. Sean a, b, c R, entonces: (AR1) Clausurativa para suma y producto. a + b R ab = a b = a b R (AR) Asociativa para suma y producto. (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) (AR3) Conmutativa para suma y producto. a + b = b + a ab = ba (AR4) Modulativa para la suma. Existe un número, llamado cero, simbolizado como 0 tal que a + 0 = 0 + a = a. (AR) Existencia de inverso aditivo u opuesto. Para todo a R existe otro número llamado inverso aditivo de a, simbolizado a tal que a+( a) = ( a)+a = 0. (AR6) Modulativa para el producto. Existe un número, llamado uno, simbolizado como 1 tal que a 1 = 1 a = a. (AR7) Existencia de inverso multiplicativo ó recíproco. Para todo 0 a R existe otro número llamado inverso inverso multiplicativo de a, simbolizado a 1 = 1 a tal que a a 1 = a 1 a = 1. (AR8) Multiplicación por cero. a 0 = 0 a = 0, es decir, todo número multiplicado por cero da como resultado cero. (AR9) Distributiva del producto con respecto la suma. a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Por qué? A la hora de representar los números reales es común utilizar la representación decimal, en cuyo caso los números racionales tiene expresión decimal periódica o finita, mientras los números irracionales tienen expresión decimal no periódica, siendo esta la característica que diferencia los racionales de los irracionales. Por ejemplo: Ejemplo 0.4 Veamos la forma como se puede realizar la transformación de un decimal a racional y viceversa.

12 Conjuntos numéricos =,5. Esta es una representación decimal finita.. 3,6 = = 18 (cantidad de ceros igual a la cantidad de posiciones decimales). Esta corresponde a la transformación de un decimal finito en racional = 0, = Representación decimal infinita 7 periódica = 0, = 0.3. Representación decimal infinita periódica = 3 = 3,0 = 3,00 = 3,0000 = 3, = 3.0. Representación decimal finita o infinita periódica. 6., =.56. Para transformarlo en racional, hacemos lo siguiente: Si x =, Entonces 100x = 56, Al restar x de 100x tenemos: 100x x = 56, , = 54. Por tanto, 99x = 54, al despejar x = 54 siendo esta la representación racional de, [ Ejemplo 0.5 Resolver ] ,04 Primero se debe tener en cuenta que 0,04 = 4. En jerarquía se resuelve primero 100

13 Conjuntos numéricos 13 la multiplicación. Entonces: [ 1 1 ] 1 [ = , ] 1 = [ ] 1 = = = [ [ [ ] 1 ] 1 ] 1 [ = 1 41 [ ] = 4944 [ = 4944 ] 135 = = ] 1 Elaborado por Jaime Andrés Castaño Universidad del Valle