TEMA Nº 1. Conjuntos numéricos

Transcripción

1 TEMA Nº 1 Conjuntos numéricos

2 Aprendizajes esperados: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente. Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

3 Aplicar las operaciones básicas y propiedades de los números racionales. Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

4 Conjuntos Numéricos 1. Números Naturales 1.1 Consecutividad numérica 1.2 Paridad e imparidad 1.3 Números primos 1.4 Múltiplos y divisores 1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor 1.6 Operatoria en los naturales 2. Números Cardinales 3. Números Enteros 3.1 Operatoria en los enteros 3.2 Propiedades 3.3 Prioridad de las operaciones

5 4.Números racionales (Q) 4.1 Propiedades de los racionales 4.2 Operatoria en los racionales 4.3 Transformaciones de números racionales 4.4 Comparación de fracciones 4.5 Secuencia numérica 5. Números irracionales (Q*) 6. Números reales ( IR ) 7. Números imaginarios ( II ) 8. Números complejos ( C )

6 1. Números Naturales (N) Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, }, conjunto infinito. 1.1 Consecutividad numérica Sucesor Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

7 Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1 Naturales Consecutivos n - 1 n n + 1 antecesor sucesor

8 1.2 Paridad e imparidad Números Pares {2, 4, 6, 8, 10, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 2n 2n + 2 Antecesor par Sucesor par

9 Números Impares {1, 3, 5, 7, 9,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Se Sucesor obtiene impar: sumando 2 al número. es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Si el número Antecesor Se obtiene impar: restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3. 2n - 3 2n -1 2n + 1 Antecesor impar Sucesor impar

10 1.3 Números Primos Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 } Nota: El 1 no es primo. 1.4 Múltiplos y Divisores Múltiplos Se llama múltiplo de un número, aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

11 Divisores Se llama divisor de un número, aquel valor que lo divide exactamente. (Está contenido en él, una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

12 Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: -Algunos múltiplos de 3 son: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,, 60} -Algunos múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 60} -Algunos múltiplos de 15 son: {15, 30, 45, 60, 75, }

13 El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor). El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m m.c.m. = =30

14 Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

15 El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor). El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea M.C.D. = 2 3 = 6

16 1.6 Operaciones en IN Adición, sustracción, multiplicación y división Esta información se encuentra en tu libro en la página 18. Propiedades de la Adición: a) Clausura: La suma de dos números naturales es siempre un natural. b)conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: a + b = b + a Por ejemplo: =

17 c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a + (b+c) = (a+b) + c Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) (14) =(18) = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo. Propiedades de la Multiplicación: a)clausura: El producto de dos números naturales es siempre un natural.

18 b)conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: a b = b a Por ejemplo: 34 5 = = 170 c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a (b c) = (a b) c Por ejemplo: 4 (5 3) = (4 5) 3 4 (15) = (20) 3 60 = 60 Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1. Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.

19 2. Números Cardinales ( N 0 ) Conjunto de la forma: IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }, conjunto infinito. 2.1 Operaciones en IN 0 Adición, sustracción, multiplicación y división En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee elemento neutro aditivo. Si a es un número cardinal, entonces: a + 0 = 0 + a = a

20 3. Números Enteros (Z) Conjunto de la forma: Z = {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }, infinito. Se puede representar como: Z = Z - U IN0 Z = Z - U {0} U Z + Recta numérica: Z - Z +

21 Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: 5 = 5 y -5 = unidades 5 unidades Luego, -20 = = = 12

22 3.1 Operaciones en Z Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros entonces, se cumple que: a) a + -b = a b Ejemplo: = 5 9 = -4 b) a (-b) = a + b Ejemplo: 12 (-8) = = 20

23 c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo: = = -14 d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor. Ejemplo: = = +66

24 e) Si a y b son dos números enteros de igual signo (positivos o negativos), entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es positivo. Ejemplo: = : 7 = + 4 f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 37-5 = : -5 = -25

25 3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa. Ejemplo: (-3) + 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma en los números enteros tiene elemento neutro : el cero. Ejemplo: (-8)+ 0 = -8

26 3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: : 3-3 =? Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1 Paréntesis 2 Potencias 3 Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha) 4 Adiciones y sustracciones

27 Resolver : : 3-3 = = 0 3 = 3

28 4.Números Racionales (Q) Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir: Q = a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero a: numerador y b: denominador Ejemplos: -1; 2; 17; 0; -6; -45; 14; -2; ,489; 2,18; -0,647 15, 0 NO es racional

29 Todo número entero es racional. Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN 0 ), y como 3 = 3, 3 es racional (3 Q). 1 IN IN 0 Z Q

30 Diagrama representativo:

31 4.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro) Amplificar y simplificar fracciones Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número. Ejemplo: Al amplificar la fracción 2 3 por 6 resulta: = 12 18

32 Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número. Ejemplo: Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 : 3 3 = 9 45 : 15 Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Ejemplo: El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 es: 9 2

33 4.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro) Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: = y = Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: = = = 13 45

34 3. Si los denominadores son primos entre sí: = = = Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): = = =

35 Multiplicación: Ejemplo: = = División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = = = Número Mixto: Ejemplo: = = 43 5

36 4.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro) De fracción a decimal: Se divide numerador por denominador. Ejemplo: 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. Ejemplo: 1,75 = 175 = 25 7 =

37 De un número decimal periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = = Ejemplo 2: 0,376 = =

38 De un número decimal semi periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Ejemplo: 3,21 = = Nota: Se llama ante período a los números que hay entre la coma, y el período.

39 4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro) Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar 13 9 y (Multiplicando cruzado) y y 135 Como 130 < 135, entonces: < 9 10

40 Igualar denominadores: Ejemplo: Al comparar 13 7 y (Igualando denominadores) y y Como 52 > 35, entonces > 7 12

41 Transformar a decimal: Ejemplo: Al comparar y 7 12 (Transformando a decimal) = 0, = 0, Como 0,86 > 0,583, entonces > 7 12

42 4.5 Secuencia Numérica Ejemplo: En la secuencia: 6, 5 16, 5 26, 5 36,... 5 Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7 término? 1, 5 Respuesta: De acuerdo a las características de la secuencia, el 7 término es Tendríamos que sumar 65 a 1, para obtener el 7 término. 5 5 Es decir: 65 = 13 5

43 Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1, , , , 5..., , 7 Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es 1 5, más un número impar, lo que se expresa como: 1 + (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

44 5. Números Irracionales (Q*) Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). Q* =... 3, 2,,,... Q U Q*=

45 6. Números Reales (IR) Es el conjunto formado por la unión entre los racionales y los números irracionales. números IR = Q U Q* Ejemplos: 3, -89, -2; 7 Diagrama representativo: 2,18; 2; 23,491002

46 7. Números imaginarios (II) Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios. IR U II = O Ejemplo: Raíces de índice par y parte subradical negativa: 4, 25, 6 2, 4 16

47 8. Números complejos (C) Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios. Ejemplos: 5, -68, -1; 6 2, 8-0,647 Diagrama representativo:

48 Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 28.