Æ = {1,2,3,4,5,6,...}

Transcripción

1 1 LOS NÚMEROS NATURALES Æ. 1 Los números reales. 1. Los números naturales Æ. Los números naturales son aquellos que sirven para contar y son: Æ = {1,,3,4,5,6,...} El conjunto de los números naturales se designa por el símbolo Æ. Los conjuntos de números que se verán en este tema se representan sobre una recta. Así para los números Æ la recta sería similar a la mostrada en la figura 1. La recta real es infinita, ya que hay infinitos números que poner sobre ella Figura 1: Recta representando la recta sobre la que se colocan los números naturales (Æ) Repaso de los números primos. Definición: Un número es primo si al dividirlo entre otro número, sólo se obtiene una división exacta si se divide entre él mismo o el 1. Por ejemplo, el número 5 es primo, ya que, el resto de la división entre 5 y otro número sólo sale 0 cuando se divide entre 1 ó 5. El resto de dividir 5 entre 4, 3 ó no es 0. El número 7 es primo, ya que, el resto de la división entre 7 y otro número sólo sale 0 cuando se divide entre 1 ó 7. El resto de dividir 7 entre 6, 5, 4, 3 ó no es 0. El número 10 no es primo, ya que, 10 entre 5 es una división exacta. Recordemos que para ser primo, sólo se puede dividir entre 1 ó él mismo. Números primos importantes son: 1,, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 3, Descomposición de un número en sus factores primos. Cualquier número se puede puede escribir como producto de números primos. Por ejemplo, el 10 no es primo y se puede escribir como producto de y 5 que sí son primos: 10 = 5 Hay que recordar algunas propiedades de los números primos que pueden ser útiles para esta tarea: El divide a todos los números pares. Es decir, si un número es, par al dividirlo entre la división será exacta. El 5 divide a todos los números acabados en 0 ó en 5. Por ejemplo, los siguientes números se pueden dividir entre 5 obteniendo una división exacta: 15, 10, 5, 005, 3450, 1345,... El 3 divide a todos los números cuya suma de sus cifras se pueda dividir entre 3. Por ejemplo, el 3703 se puede dividir entre 3, ya que, = 15 y 15 se puede dividir entre 3.

2 1 LOS NÚMEROS NATURALES Æ. El resto de números primos también suelen tener reglas similares a las vistas, pero suele ser más cómodo hacer la división y ver si esta sale exacta. Para descomponer un número en sus factores primos se procede de la siguiente manera: Se harán los ejemplos descomponiendo en número Se coloca el número a descomponer en una construcción similar a la de la figura: 10 Comenzando por los números primos más pequeños se va comprobando si alguno divide al número que se desea descomponer. Nos interesan los números primos a partir del (, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 3,...). Siempre hay que procurar empezar a usar los números primos más pequeños. En este caso se comienza con el. El divide a 10. Esto se puede ver haciendo la división 10/ = 60 que es exacta, o bien, usando las propiedades de los números primos, 10 es par, por lo tanto se puede dividir entre. 3 Una vez que se encuentra un número primo que divida al número, se añade a la operación y se pone el resultado de la división entre ambos debajo del número a factorizar. En este caso 10/ = 60 por lo que se escribiría: Se repite el paso usando el resultado de la división del número que se haya encontrado. Es decir, ahora hay que trabajar con el 60. Se comprueba si 60 es divisible entre. Sí lo es por ser par, por lo tanto: Se repite el proceso con el 30. Se comprueba si 30 es divisible entre. Sí lo es por ser par, por lo tanto: Se repite el proceso con el 15. Se comprueba si 15 es divisible entre. Como 15 es impar ya no se puede volver a usar el. El siguiente en la lista de números primos es el es dividido entre 3:

3 1 LOS NÚMEROS NATURALES Æ. 3 Se repite el proceso con el 5. Se comprueba si 5 es divisible entre 3. 5 no es divisible entre 3. El siguiente en la lista de números primos es el 5: Una vez que se obtiene el 1 quiere decir que el proceso de la descomposición en factores ha finalizado. Sólo resta escribir el resultado correctamente. En nuestro caso 10 = 3 5 ó lo que es lo mismo 10 = Ejercicios: 1. Descomponer en factores primos los siguientes números: 100, 30, 5, 1, 14, = 5, 30= 6 5, 5=5, 1= 3, 14= 7, 34= El mínimo común múltiplo (m.c.m.). Definición: El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números es el número más pequeño al que todos los números del conjunto dividen de forma exacta. El m.c.m. se suele usar en las operaciones con fracciones, por lo que conviene tenerlo claro. Para calcular el m.c.m. de un conjunto de números se procede de la siguiente manera: 1 Se procede a descomponer en factores primos cada uno de los números del conjunto. Por ejemplo, si se desea calcular el m.c.m. de 10, 8, 36 se descomponen en factores primos: 10= = 3 36= 3 Se construye el m.c.m. tomando todos los números primos que aparezcan en la descomposición elevados a su mayor exponente. En este ejemplo, los números primos que en la descomposición son el, 3 y 5. El máximo exponente al que está elevado el dos es 3 ( 3 ), el máximo exponente de 3 es (3 ) y el máximo exponente de 5 es 1 (cuando un número no tiene exponente se considera que el exponente es 1). 10= = 3 36= 3 mcm= Por último se multiplican los factores del resultado para obtener el m.c.m. En este caso mcm = operando: mcm = = = = 360

4 1 LOS NÚMEROS NATURALES Æ. 4 mcm = 360 Se puede comprobar que 360 es el número más pequeño que es dividido de forma exacta por 10, 8 y 36. Ejercicios: 1. Calcular el m.c.m. de 100, 5, 15 Sol: 300. Calcular el m.c.m. de 1, 14, 15 Sol: Calcular el m.c.m. de 10, 1, 10 Sol: Calcular el m.c.m. de 3, 4, 1 Sol: El máximo común divisor (m.c.d.). Definición: El máximo común divisor (m.c.d.) de un conjunto de números se define como el mayor número que divide a todos los números del conjunto. Para calcular el m.c.d. de un conjunto de números se procede de la siguiente manera: 1 Se procede a descomponer en factores primos cada uno de los números del conjunto. Por ejemplo, si se desea calcular el m.c.d. de 10, 40, 900 se descomponen en factores primos: 10= = = 3 5 Para construir el m.c.d. se toman sólo aquellos números primos que aparezcan en la descomposición de todos los números, elevados a su menor exponente. En el ejemplo que se está haciendo, el aparece en la descomposición de todos los números. El 3 no aparece en la descomposición de 40. El 5 aparece en la descomposición de todos los números. El menor exponente del es ( ). El menor exponente del 5 es 1 (cuando un número no tiene exponente se considera que el exponente es 1). Por lo tanto en nuestro caso: 10= = = 3 5 mcd= 5 3 Por último se multiplican los factores del resultado para obtener el m.c.d. En este caso se obtiene que mcd = 5: mcd = 5 = 5 = 0 mcd = 0 Ejercicios:

5 LOS NÚMEROS ENTEROS Calcular el m.c.d. de 100, 5, 75 Sol: 5. Calcular el m.c.d. de 1, 14, 15 Sol: 1 3. Calcular el m.c.d. de 10, 1, 10 Sol: 4. Calcular el m.c.d. de 1, 10, 4 Sol: 1. Los números enteros. El conjunto de los número enteros el conjunto de los números naturales a los que se les añaden los números negativos. Al conjunto de números enteros se les denomina por la letra : = {..., 6, 5, 4, 3,, 1,0,1,,3,4,5,6,...} Al igual que en el caso anterior se pueden representar sobre una recta. La recta sería similar a la mostrada en la figura Figura : Recta representando la recta sobre la que se colocan los números enteros ( ). Ni que decir tiene que los números naturales están incluídos dentro de los números enteros. Esto se indica con: Æ.1. Repaso de las operaciones con los números enteros. Suma: La suma se realizará sumando por un lado los números positivos, por otro los negativos y finalmente se restarán ambos resultados. Por ejemplo: = En esta operación se encuentran los números positivos: 4,3 y Su suma da = 9 Los números negativos que hay son: -4 y -7 Su suma da = 11 Ahora se resta el resultado de la suma de los números negativos al resultado de la suma de los números positivos: = 9 11 = En este caso se ha tenido que realizar la resta de 9 11, siempre que hay que realizar una resta en la que el minuendo sea menor que el sustraendo, se hace la resta del número mayor menos el menor y se pone el signo del menor. En el caso de la resta 9 11, se haría 11 9 = y al resultado se le pone el signo del número mayor, 9 11 =.

6 LOS NÚMEROS ENTEROS. 6 Producto: Para realizar un producto de números enteros hay que proceder recordando las siguientes reglas de operaciones con los signos: (+) (+) = (+) ( ) ( ) = (+) (+) ( ) = ( ) ( ) (+) = ( ) O lo que es lo mismo, al multiplicar signos distintos, el signo del resultado es -. Al multiplicar signos iguales, el signo del resultado es +. Por ejemplo: Hay que hacer unas observaciones importantes: (+3) (+5) = = 15 ( 3) ( 5) = +15 (+3) ( 5) = 15 ( 3) (+5) = 15 Los números positivos no es necesario que lleven el signo. Si un número no lleva signo, entonces es positivo. Hay que procurar poner cada número con su signo entre paréntesis. Es decir, poner 3 5 = 15 será lo mismo que poner (+3) (+5) = +15. Hay que procurar que los números negativos vayan siempre entre paréntesis en los productos. En lugar de escribir 5 3 = 15 se procurará escribir ( 5) 3 = 15 Si un signo va delante de un paréntesis, el signo multiplica a el resultado del paréntesis. Por ejemplo, ( 4) = +4, otro ejemplo, (3 + 5) = (+8) = 8, o también, ( 4) ( 7) = (+4) ( 7) = 8 Si un número (con o sin signo), va delante de un paréntesis, multiplica a el resultado del paréntesis. Por ejemplo, 4(4 + 5) = 4(9) = 4 9 = 36, o en este otro caso, 3 4( + 3) = 3 4(5) = = 3 0 = 17 Si un número va detrás de un paréntesis y no hay ninguna operación entre el número y el paréntesis se considera que el número multiplica al resultado del paréntesis. Ej.: (3 + 7)3 = (10)3 = 30 Si hay un paréntesis ) seguido de un paréntesis ( sin ninguna operación entre ambos, se considera que se multiplican los resultados de ambos. Ej.: (3 + 4)( + 3) = (7)(5) = 35 Es completamente incorrecto que dos operaciones vayan seguidas sin ningún paréntesis o número entre ellas. (Esto es casi como una regla de ortografía del lenguaje matemático, las matemáticas tienen su propio lenguaje y es casi universal). Por ejemplo, sería incorrecto escribir + 7 = 14 lo correcto será escribir (+) 7 = 14 Esto suele suceder cuando se realiza la operación que hay en el interior de un paréntesis, por ejemplo: 4 (3 ( 5)) = 4 ( 15) = }{{} 15 Si ahora se quitan los paréntesis, quedaría 4 15 lo cual está expresado incorrectamente. Lo correcto sería escribir: 4 (3 ( 5)) = 4 ( 15) = 4 (+5) = 0 }{{} 15

7 3 LOS NÚMEROS RACIONALES É. 7 También suele suceder al escribir un producto en el que haya números negativos. Por ejemplo: 4 4 = 16 Hay un signo de multiplicar seguido por un signo -. Habrá que usar los paréntesis para expresar esto correctamente: 4 ( 4) = 16 Otro caso en el que aparece es cuando se sustituyen las variables por su valor. Por ejemplo, si se tiene la expresión: c + b y nos indican que c = y b = 1, si se introducen dichos valores directamente en la expresión: + 1 Que es incorrecto y se generan operaciones incorrectas. En estos casos lo correcto es introducir los valores de las variables entre paréntesis: ( ) + ( 1) = ( 4) + ( 1) = 5 En el apartado de los números reales se estudiarán las operaciones combinadas. Ejercicios: Comprueba los resultados de las siguientes operaciones: = 9. ( ) + 3( ) = 3 3. Si a=-3 y b=7 a a + a b + a = Si a=- y b=-1 a + a b + 3a = 8 3. Los números racionales É. Estos números se obtienen de dividir un número en partes iguales. Por ello se representan como fracciones m n donde m y n son números enteros (m,n ). También se pueden representar usando números decimales. Por ej. 1, 3 10, 3 1,... Cuando se expresan en forma de fracción, al número de la parte superior de la fracción se le llama numerador y al de abajo denominador. Por ejemplo: 1 numerador denominador Para pasar de un número É en forma de fracción a un número decimal sólo se tiene que realizar la división del numerador y el denominador: 1 = 0,5 Puede suceder que el resultado tenga infinitas cifras decimales: 1 99 = 0, En el caso de tener infinitas cifras decimales, las cifras decimales se repiten de forma periódica, es decir, son siempre los mismos números que se repiten una y otra vez. Al igual que en el caso anterior: Æ É Un poco más avanzado el tema se repasarán las operaciones con estos números.

8 3 LOS NÚMEROS RACIONALES É Operaciones con fracciones. En los siguientes subapartados se repasarán las operaciones básicas con fracciones Simplificación de fracciones. Muy importante, los resultados de las operaciones deben estar siempre simplificados. Para simplificar una fracción se procede usando el siguiente método: 1. Se descomponen en factores primos tanto el numerador como el denominador. Por ejemplo, si se desea simplificar la siguiente fracción: Se comienza descomponiendo en factores el numerador y el denominador: Por lo tanto, la fracción quedaría: 1 = = = Se tachan los factores que estén repetidos en el numerador y en el denominador. En el ejemplo, en el numerador hay un 3 y en el denominador hay dos 3 (es lo que significa 3 ) por lo que se puede simplificar un 3 de arriba con un 3 de abajo: = = 4 3 También se puede ver que arriba hay dos ( ) y abajo hay 4 ( 4 ). Por ello se pueden simplificar dos de arriba con dos de abajo: = = 4 3 = 1 3 Importante: Cuando en el numerador o en el denominador se simplifican todos los números, se pone un 1. En este caso,en el numerador se han simplificado todos los números, por ello se ha puesto el Se realizan las operaciones después de simplificar = = 4 3 = 1 3 = 1 3 = 1 1 Sería interesante que el lector comprobara las siguientes simplificaciones por sí mismo: 8 = = = 1 5 Una curiosidad a la hora de simplificar es la simplificación de los números acabados en 0. Si el numerador y el denominador terminan en 0, y estos 0 no pertenecen a los decimales, se pueden tachar ambos ceros. Por ejemplo: 70 0 = = = = 70

9 3 LOS NÚMEROS RACIONALES É. 9 Ojo siempre se simplifican los ceros del final que no pertenezcan a los decimales. Sería totalmente incorrecto hacer: = = 7001!!!! 3 Esto en un examen equivale a un suspenso del tamaño de un catedral. Ejercicios: Simplificar las siguientes fracciones: Sol.: 14 1 = = = Suma de fracciones. Para realizar la suma de fracciones hay que seguir los siguientes pasos: 1. Sólo se pueden sumar (o restar) las fracciones que tengan el mismo denominador. Por ejemplo: = = 1. En el caso de no tener el mismo denominador hay que generar un denominador común. Para ello se usará el m.c.m. de los denominadores. Por ejemplo: = Hay que hallar el m.c.m. de 10, 8 y 36. Operando se obtiene que el m.c.m.= Una vez que se ha calculado el denominador común, para cada fracción de la suma, hay que dividir el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y multiplicar el resultado por el numerador. En este caso se tienen las fracciones: 11 10, 5 8, 7 36 Para cada fracción se divide el m.c.m.=360 entre el denominador: /10 = /8 = /36 = Por último, se multiplica el numerador por de cada fracción por el resultado de la división anterior y se pone como denominador el m.c.m.: /10 = = /8 = = /36 = =

10 3 LOS NÚMEROS RACIONALES É. 10 Ya se ha obtenido el denominador común para las operaciones: Por ello ya se pueden sumar (o restar): = = = = Por lo que finalmente se encuentra que: = Al final, siempre hay que simplificar el resultado. Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: Sol.: = = = Producto de fracciones. La multiplicación de fracciones es muy sencilla. Se deben multiplicar los denominadores entre sí y los numeradores entre sí. Otra ventaja es la posibilidad de hacer la simplificación del resultado a la vez que se hace el producto. Por ejemplo, se desea realizar el siguiente producto: Una forma de hacer lo es hacer las multiplicaciones de los denominadores entre sí y los numeradores entre sí, y finalmente hacer la simplificación del resultado: = = = = 9 14 La otra forma consiste en descomponer los numeradores y los denominadores y ver lo que se puede simplificar: = == 1 {}}{ 3 }{{} {}}{ 3 5 }{{} 3 8 = = 9 14 Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones:

11 3 LOS NÚMEROS RACIONALES É. 11 Sol.: = = = Cociente de fracciones. Realmente el cociente de fracciones se reduce a una multiplicación de fracciones: En la división de fracciones deben multiplicarse los términos en cruz: Por ejemplo: a b : c d = a d b c 3 : 5 6 = 6 3 ( 5) = 1 15 Al final, siempre se debe simplificar el resultado. La notación nos puede jugar malas pasadas, por ejemplo: = Esto es realmente una división. La línea de dividir de mayor tamaño es la manda : = 5 3 : 4 6 = 5 Aunque a veces es muy difícil distinguir cuál es la principal si no se hacen las líneas suficientemente largas: = 3 : 5 6 = 6 3 ( 5) = 1 15 Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: 14 1 : Sol.: 14 1 : 1 15 = = = 1 4

12 4 LOS NÚMEROS IRRACIONALES Á Los números irracionales Á. Son números que pueden expresarse con números decimales con infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica. Por ejemplo Estos números se suelen obtener al realizar operaciones con raíces: = 1, También hay números importantes que pertenecen a este conjunto, como por ejemplo: π = 3, e =, Los números reales Ê. Si se unen los conjuntos É e Á, se obtiene el conjunto de los números reales Ê. Esto se suele representar poniendo Ê = É Á. Es fácil deducir por tanto: Æ É Ê Al igual que en el caso de los números, los números Ê se pueden representar sobre una recta, llamada recta real. Esta recta es como pensar en una regla en la que se colocan los metros, centímetros, milímetros,... Para expresar cualquier número sobre la recta real sólo hay que pasar dicho número a su expresión con números decimales (si no lo está ya) y dibujarlo sobre la recta Operaciones con los números Ê Los operaciones básicas con números reales son: Suma: Los propiedades básicas de la suma son: 1. Conmutativa: a+b = b+a El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: +3 = 5, 3+ = 5. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) A la hora de sumar 3 ó más números, da igual el orden en el que los sumemos. Ejemplo: = = 9 ó también = + 7 = 9. Nota: A la hora de realizar una operación, siempre hay que realizar primero las operaciones entre paréntesis. Por ejemplo: + 3 (4 + 5) = = 5 9 = 4 Aunque la propiedad asociativa nos indica cuando se pueden ignorar los paréntesis, hay que procurar seguir siempre esta regla. 3. Existe elemento neutro 0: a + 0 = a El elemento neutro es el cero. Cualquier número más cero da como resultado el mismo número. 4. Existe elemento opuesto: Para cualquier número a existe otro número a tal que sumados dan cero: a + ( a) = 0 Es decir, si se suman el con el el resultado da cero.

13 5 LOS NÚMEROS REALES Ê. 13 Hay que darse cuenta de un detalle importante: en la propiedad anterior se está asumiendo que la resta es... una suma!! Efectivamente, cuando se habla de propiedades se asume que la resta es un caso especial de suma. Resta: Como ya se ha indicado es un caso particular de la suma. Producto: Son las mismas propiedades de la suma pero ahora se aplican al producto: 1. Conmutativa: a b = b a El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: 3 = 6, 3 = 6. Asociativa: (a b) c = a (b c) A la hora de multiplicar 3 ó más números, da igual el orden en el que los multipliquemos. Ejemplo: 3 4 = 6 4 = 4 ó también 3 4 = 1 = Existe elemento neutro 1: a 1 = a El elemento neutro es el uno. Cualquier número por uno, da como resultado el mismo número. 4. Existe elemento opuesto: Para cualquier número a existe otro número 1 tal que multiplicados dan 1: a a 1 a = 1 Es decir, si se multiplica el con el 1 el resultado da 1. Al igual que en el caso anterior, cuando se habla de propiedades se asume que la división es un caso especial del producto. Nota: No existe la división entre 0. Por ejemplo, si se pide realizar la división de 10 entre 0 esta operación no se puede realizar. Hay una última propiedad que relaciona la suma y el producto, la propiedad distributiva: Por ejemplo: Las propiedades también se pueden leer al revés : a (b + c) = a b + a c 3( + 4) = = = 18 a b + a c = a (b + c) Así escrita a esta propiedad se la llama sacar factor común. Indica que si se tiene un número (o cualquier expresión) multiplicando a todos los términos de una suma (o resta), dicha expresión se puede sacar multiplicando para hacer las operaciones más sencillas. Esta propiedad será útil en algunos casos. Por ejemplo, se puede usar para hacer más sencillas las operaciones: = 3( + 4) = 3(6) = 18

14 5 LOS NÚMEROS REALES Ê Prioridad de las operaciones. A la hora de enfrentarse a operaciones del tipo: = Se deben tener en cuenta el orden para las operaciones, pues no es lo mismo: = = 3 que es correcto, a: que es incorrecto = 7 5 = 35!!! Para cálculos en los haya mezclados varios tipos de operaciones se seguirán las siguientes reglas: 1. Se realizarán siempre primero las operaciones que estén dentro de un paréntesis.. Después se realizarán las potencias. 3. Después las multiplicaciones y divisiones. 4. Por último se realizarán las sumas y restas. Por ejemplo, para realizar la siguiente operación: Se realizan las operaciones entre paréntesis: (3 + 4) (3 + 4) = 3 = (7) = Todo lo que esté en el numerador o en el denominador de una fracción, se puede considerar como si estuviese dentro de un paréntesis, por lo tanto: (3 + 4) = (7) = (7) 3 3 = 5 Ya no quedan paréntesis, por lo que se proceden a realizar los productos: (3 + 4) = (7) = (7) 3 3 = = Las divisiones se procurarán no realizar si dan números decimales y se dejará el resultado en forma de fracción: (3 + 4) = (7) = (7) 3 3 = = 6 5 Si al final se obtiene una fracción se simplificará el resultado. Ejercicios: Resolver las siguientes operaciones: ( 4) + 7

15 6 OPERACIONES CON LAS POTENCIAS ( 4) ( ) ,. -4, 3. 1/7, 4. 33/ Operaciones con las potencias. Definición: Se llama potencia de base b y exponente n, b n, a multiplicar b tantas veces por sí misma como indique n: n veces {}}{ b n = b... b Por ejemplo: 3 = = = = Propiedades de las potencias. Sean a, b, n y m números. Se tienen las siguientes propiedades: a n a m = a n+m a n a m = an m (a b) n = a n b n ( a b) n = a n b n (a n ) m = a n m a n = 1 a n a = a 1 a 0 = 1 Estas propiedades también se pueden leer al revés, por ejemplo, a n b n = (a b) n. Para realizar operaciones con potencias sólo hay que ir revisando cada una de las propiedades anteriores y ver si se puede aplicar alguna. Por ejemplo: ( 3 ) = ( ) (3 ) = = = = 3 3

16 7 RADICALES. 16 Se puede comprobar que ya se estaban aplicando las propiedades de las potencias cuando se realizaba alguna simplificación. Ejercicios: Resolver las siguientes operaciones: , , 3. 1/3, Radicales. Definición: La raíz n-ésima de un número a, n a, es un número r, tal que r n = a. Por ejemplo, 3 8 = ya que, 3 = 8. La 4 81 = 3 ya que, 3 4 = 81. Cuando la raíz no tiene índice, se considera que el índice es. Por ejemplo, 16 = 4 ya que, 4 = Propiedades de los radicales. Realmente los radicales son potencias cuyos exponentes son números É: n a m = a m n Por lo que todas las propiedades de las potencias se podrán aplicar a los radicales. Por ejemplo: 3 4 = = = 5 1 = 1 5 Para introducir un factor dentro de un radical hay que elevarlo al índice del radical: 5 3 = Para sacarlo hay que dividir el exponente entre el índice de la raíz: = 5 3 A veces es conveniente aplicar el siguiente truco: 3 5 = 3 +3 = 3 3 = 3 Definición: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

17 7 RADICALES Por ejemplo, 5 y 3 3 son semejantes, ya que, 5 = 3. Si dos radicandos son semejantes se pueden sumar (o restar) sus coeficientes: = = ( + 5) 3 = 7 3 Si se hace un poco de memoria, en esta operación se ha aplicado la propiedad llamada sacar factor común. Definición: Para poder realizar operaciones con fracciones, no debe haber radicales en el denominador. A las manipulaciones necesarias para trasformar la fracción en otra sin raíces en su denominador se las denomina racionalizar. Para racionalizar hay que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la expresión adecuada. Para saber por lo que se debe multiplicar se seguirán las siguientes pautas: En el caso de que la fracción sea de la forma: expresión n a expresión n a n 1 n a n a n 1 Por ejemplo: 3 3 = = = = = 3 3 En el caso de que en el denominador haya algún factor sumando a la raíz expresión + b se multiplicará por expresión b (o si es expresión b se multiplicará por expresión + b): expresión expre + b expresión (expre b) (expre + b) (expre b) Por ejemplo: Hay que recordar que: 3 = ( + 3) ( 3)( + 3) = ( + 3) = ( + 3) = (a + b)(a b) = a b Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones: Sol.: , , ,

18 8 NOTACIÓN CIENTÍFICA Notación científica. Hay situaciones en las que hay que trabajar con números con muy grandes, lo que puede ser engorroso. Por ejemplo, la masa de la Tierra es: kg Algo similar pasa cuando se trabaja con números muy pequeños. Ej., la carga del electrón es: 0, C. Para trabajar con estas cantidades y otras similares se usa la notación científica. Para trabajar con la notación científica hay que darse cuenta de: 10 = = 100 Así: 10 3 = = n = }{{} n ceros = = = = Esto es muy cómodo a la hora de expresar cantidades con grandes números de ceros. De forma similar: 10 1 = 1 10 = 0,1 Así: 10 = = 0, = = 0, = = 0,0001 0,0 = 0,01 = 10 = 10 0, = 0, = La un número en notación científica consta de: Una parte entera formada por una sola cifra no nula. Una parte decimal. Una potencia, multiplicando, de la forma 10 n, donde n es un número entero. Así el número en notación científica: = 3, = 3, El número en notación científica: =, =, Estos números están expresados correctamente en notación científica. Por ejemplo, el 3, tiene: Una parte entera formada por una sola cifra no nula. Que es el 3 Una parte decimal. Que es el,4 Una potencia, multiplicando, de la forma 10 n, donde n es un número entero. Que es 10 5

19 9 INTERVALOS. 19 De forma idéntica, se puede hacer con los números muy pequeños: 0,04 = 0,01,4 = 10,4 =,4 10 0, = 0, ,13 = 6, La notación científica se usa mucho en los campos tecnológicos y científicos pues es habitual manejar cantidades o muy grandes o muy pequeñas. Las calculadoras científicas también la usan cuando tienen que expresar cantidades que superan a los dígitos que éstas pueden mostrar en la pantalla. Ejercicios: 1. Escribe los siguientes números en notación científica: a) b) 0,00083 c) 99793, d) 0, Comprueba las siguientes operaciones en notación científica: a) , ,5 5 = 3, b) = 1, 10 4 c) = 1, 10 9 d) =, Intervalos. A veces se definen conjuntos de números dentro de la recta real. Por ejemplo, todos los números entre el y el 4 (estos pueden ser el 3, el,4, el 3,999). A estos conjuntos de números se les denomina intervalos. Hay una notación especial para indicar los intervalos: Corchetes a ambos lados: [a, b] Son todos los números entre el número a y el número b, incluyendo a a y a b. Por ejemplo: [,4] Son todos los números entre y 4 incluyendo el y el 4. Paréntesis a ambos lados: (a, b) Son todos los números entre el número a y el número b, sin incluir a a y a b. Por ejemplo: (,4) Son todos los números entre y 4 sin incluir el y el 4. Paréntesis a la izquierda y corchete a la derecha: (a,b] Son todos los números entre el número a y el número b, sin incluir a a, pero incluyendo a b. Por ejemplo: (,4] Son todos los números entre y 4 sin incluir el, pero incluyendo a 4. Paréntesis a la derecha y corchete a la izquierda: [a,b) Son todos los números entre el número a y el número b, sin incluir a b, pero incluyendo a a. Paréntesis a la izquierda e infinito a la derecha: (a, ) Son todos los números mayores que a, sin incluir a a.

20 9 INTERVALOS. 0 Corchetes a la izquierda e infinito a la derecha: [a, ) Son todos los números mayores o iguales a a. Se incluye a a. Paréntesis a la derecha y menos infinito a la izquierda: (, a) Son todos los números menores que a, sin incluir a a. Corchetes a la derecha y menos infinito a la izquierda: (,a] Son todos los números menores o iguales a a. Se incluye a a. Nota: Las soluciones de las inecuaciones, los intervalos de continuidad o derivabilidad de una función suelen ser intervalos. Recuerda: < Menor que > Mayor que Menor o igual Mayor o igual Distinto a Por ejemplo, la desigualdad x < 3, representa a todos lo x que son menores a 3. Esto se puede representar mediante un intervalo, (, 3). Otro ejemplo, la desigualdad x 4, representa a todos lo x que son mayores o iguales a 4. Esto se puede representar mediante un intervalo, [4, + ). Ejercicios: Qué intervalos representan las siguientes desigualdades? 1. x > 5. x + 1 > 6 3. x Sols.: 1. (5,+ ),. (5,+ ), 3. (,0) Figura 3: Recta representando el intervalo (-1,3]. Los intervalos se suelen representar sobre la recta real. Para ello se marcan los valores que contiene el intervalo. Por ejemplo, el intervalo (-1,3] está representado el la figura 3. En el -1 se coloca un círculo para indicar que ahí está abierto el intervalo.

21 10 EL VALOR ABSOLUTO El valor absoluto. Se define el valor absoluto de un número, como el número sin signo. Así el valor absoluto de -3 es 3. El valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de es Otra forma de definirlo es usando la siguiente función: { x si x 0 x = x si x < 0 Así 3 = 3, + 5 = 5, 134 = 134. Ejercicios: 1. Calcular los valores absolutos de 1, 1 3, 4 5, Razonar los intervalos que cumplen las siguientes desigualdades: a) x < b) x c) x 1 3 Sol.:.a (, ),.b [, ],.c [, 4] 11. Error y redondeo. Es habitual realizar aproximaciones al realizar cálculos. Hay dos tipos de aproximaciones: Truncamiento consiste en cortar la expresión decimal por un lugar determinado. Por ejemplo:, ,3456 Redondeo similar al anterior, pero ahora: Si la primera cifra despreciada es menor que 5, se realizará un truncamiento. Por ejemplo:,41,4 Si la primera cifra despreciada es mayor o igual a 5, la última cifra decimal que se conserva queda aumentada en una unidad. Por ejemplo:,47,5 Al realizar una aproximación, siempre existirá un error en la cifra aproximada, aunque sea pequeño. Para describir la magnitud del error se usará: Error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado y el exacto. Por ejemplo: Si se aproxima,47,5, entonces el error absoluto será,5,47 = 0,03 Error relativo es el cociente entre el error relativo y la cifra aproximada. Por ejemplo: Si se aproxima,47,5, entonces el error relativo será,5,47,5 = 0,01

22 1 PARA FINALIZAR. Para indicar el error cometido se suele usar la siguiente notación:,50 ± 0,03 que indica que la cifra exacta estará entre,53 y,47. Como curiosidad indicar que esta notación es usada por los científicos para expresar la exactitud de las medidas. Así si algo mide 1,0 ± 0,5 mm quiere indicar que el objeto mide 1 mm y la regla era capaz de medir medio milímetro. Ejercicios: Aproximar, truncando y redondeando hasta la penúltima cifra decimal los siguientes números, indicando el error absoluto y relativo que se comente. Expresar el resultado usando la notación ±: Sols.: 1. 1,3 ± 0,04 er=0.003,. 1,3 ± 0,05 er= ,4 ± 0,05 er= Para finalizar. El alumno debería terminar de ver el tema por el texto base de la asignatura (los apuntes intentan complementar a los contenidos del texto) y ver ejemplos de ejercicios resueltos en la página de la asignatura. También se deberían intentar realizar los ejercicios propuestos en el libro y en la guía didáctica. 13. Ejercicios. Importante: Repasar los conocimientos relacionados con cada ejercicio antes de realizarlo. Procurar hacer un ejercicio hasta obtener el resultado correcto. En caso de duda, consultar con el tutor. 1. Realizar las siguientes operaciones con números enteros: a) -3+4 b) c) Sol. 3, -11, -4. Antes de realizar las siguientes operaciones, recuerda: Primero se deben realizar los paréntesis, después multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas. a) (5-7) b) -3(-3) c) (3-5)-3(5-7) d) 3(-7(4-5))-3 Sol. -4, 5,, 4 3. Descomponer los siguientes números en factores primos:

23 13 EJERCICIOS. 3 a) 1 b) 840 c) 1764 d) 117 Sol. 3, , 3 7, Calcular el MCD y el mcm de los siguientes números: a) 3, 4 b) 4, 1 c) 10, 1, 18 d) 9, 7, 18 e) 1, 144, 7 Sol. mcm: 1, 1, 180, 54, 1008 Sol. MCD: 1, 4,, 9, 1 5. Simplificar las siguientes fracciones: a) b) c) Sol. 1 1, 16 75, Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones: a) b) c) d) Sol. 5 6, 7 36, 37 5, Realizar las siguientes operaciones con fracciones: a) b) c) 3 4 : 9 10 d)

24 13 EJERCICIOS. 4 Sol. 5 6, 3 5, 5 6, Realizar las siguientes operaciones combinadas con fracciones: a) 1 ( ) 9 b) 1 1 ( ) 4 c) d) Sol , , 4 55, 0 9. Repasar las propiedades de las potencias: a) a a 3 b) a 3 a 4 a 7 c) a4 a 5 a a 3 d) a 3 a 4 a 7 Sol. a 5, a 14, 1 a, 1 a Realizar las siguientes operaciones: a) b) + + c) ( 3) Sol. 3, 4, 7 4 3