NÚMEROS REALES---AGUERRERO

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1 Contenido NÚMEROS REALES... 2 IGUALDAD Y SUS PROPIEDADES... 4 NÚMEROS MÚLTIPLOS, COMPUESTOS Y PRIMOS... 4 NÚMEROS PRIMOS... 5 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS... 7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR... 9 POTENCIA Y RADICACIÓN... 0 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES... 4 EJERCICIOS.... 5

2 NÚMEROS REALES Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos) N = {, 2, 3, 4, 5, 6 α Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero: Z = {-4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, 4} Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son enteros y n 0. CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES Comunes, son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Así, por ejemplo fracciones comunes., son Decimales, son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Así por ejemplo fracciones decimales., son Propias, son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así por ejemplo propias., son fracciones Impropias, son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así por ejemplo impropias., son fracciones Iguales a la unidad, son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Así por ejemplo, son fracciones iguales a la unidad. Números mixtos, son aquellas que constan de una parte entera y una parte fraccionaria. Así por ejemplo, son números mixtos. Los números mixtos son otra forma de representar las fracciones impropias. Convertir fracción mixta a impropia: a) Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador y al producto resultante se le añade el numerador. El resultado obtenido es el numerador de la fracción impropia. El denominador de la fracción impropia es el mismo denominador del número mixto. Convertir el número mixto en fracción impropia: 2

3 b) Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta sólo hay parte entera y esta coincide con el cociente de la división. Si la división no es exacta, el cociente coincide con la parte entera del número mixto, el resto coincide con el numerador y el divisor con el denominador. c) Para convertir un número entero en una fracción de denominador determinado. Se multiplica el entero por el denominador. El producto obtenido es el numerador de la fracción y el denominador es el indicado a priori. d) Para convertir un fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean mayores, se pone como denominador el indicado y como numerador el producto del numerador inicial por el cociente obtenido al dividir los denominadores. e) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores, se pone como denominador el indicador y como numerador el cociente entre el numerador inicial y el cociente obtenido al dividir los denominadores. Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivos (periódicos), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas, que no se puede poner como cociente de dos números enteros. Ejemplo: Decimal periódico Son los números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente, inmediatamente después del separador decimal. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal superior. Por ejemplo: Decimal periódico mixto Son los números decimales en cuya parte decimal hay una parte no periódica, denominada antiperiodo, y otra periódica. La parte periódica se suele señalar con una línea horizontal superior. Por ejemplo: 0,6666 = 0,6 Número decimal no periódico. 3

4 Los números decimales no periódicos son los que contienen una parte decimal infinita y que no se repite. Estos números corresponden al conjunto de los números irracionales, y no pueden ser representados por medio de una fracción. e, π 2 IGUALDAD Y SUS PROPIEDADES El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son los nombres o descripciones del mismo objeto. a b. significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente, significa a no es igual Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos: Propiedad reflexiva: Propiedad simétrica: Si, entonces: Propiedad transitiva: Si y, entonces: Principio de sustitución: Si, cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición. NÚMEROS MÚLTIPLOS, COMPUESTOS Y PRIMOS MÚLTIPLO DE UN NÚMERO: un número A es múltiplo de un número B, si al efectuar la división A/B ésta es exacta, es decir el residuo es cero. Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisible por 2 si y sólo a termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 38 es divisible por 2 pero 35 no lo es. Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 si y sólo la suma de las cifras de a es divisible por 3. Por ejemplo, 228 es divisible por 3 pues 2+2+8=2, que es múltiplo de 3; sin embargo 343 no lo es puesto que, 3+4+3=0, que no es no es múltiplo de 3. Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 si y sólo si el número formado por las dos últimas cifras de a lo es. Por ejemplo, 328 es divisible por 4 pues 28 lo es; si embargo 4 no lo es pues no es múltiplo de 4. 4

5 Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 si y sólo si termina en 0 o 5. Por ejemplo, 255 es divisible por 5 pero 27 no. Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisible por 6 si y sólo si a es divisible por 2 y por 3. Por ejemplo, 43,644 sí es divisible por 6 pues es múltiplo de 2 y de 3; sin embargo, 364 no lo es pues múltiplo de 2 pero no de 3. Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisible por 8 si y sólo si el número formado por las tres últimas de a lo es. Por ejemplo 27,256 es divisible por 8 pues 256 lo es; sin embargo 23,420 no es divisible por 8 pues tampoco lo es 420. Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 si y sólo si la suma de las cifras de a es divisible por 9. Por ejemplo 23,985 sí es divisible por 9 pues =27, que es múltiplo de 9; sin embargo 386,754 no es =33, que no es no es múltiplo de 9. Criterio de divisibilidad por 0. Un entero a es divisible por 0 si y sólo a termina en 0. Por ejemplo 29,853,780 es divisible por 0 pero 38,475 no lo es. Criterio de divisibilidad por. Un entero a es divisible por si y sólo la diferencia de la suma de las cifras en posición impar de a menos la suma de las cifras en posición par de a es divisible por. Por ejemplo, 82,87,053 sí es divisible por pues (2++0+3)-( )=6-28=-22, que es divisible por ; sin embargo 2,759 no lo es pues (7+9)-(2+5)=9, que no es no es divisible por. Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisible por 2 si y sólo si a es divisible por 4 y por 3. Por ejemplo 77,084 sí es divisible por 2 pues es múltiplo de 4 y de 3; sin embargo, 438 no lo es pues múltiplo de 3 pero no de 4. NÚMEROS COMPUESTOS: es todo número natural distinto de la unidad y que puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos diferentes de sí mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos puede repetirse 4 se puede factorizar en: 2 2 o 4 6 se puede factorizar en: 3 2 o 6 8 se puede factorizar en: 4 2 o 8 o se puede factorizar en: 3 2 o 26 Todo entero par mayor que dos es un número compuesto. NÚMEROS PRIMOS Es todo número natural que solo tiene como factores a la unidad y así mismo. MANERA DE CONOCER SI UN NÚMERO DADO ES PRIMO O NO. Se divide dicho número por todos los números primos menores que él y si se llega, sin obtener cociente exacto, a una división inexacta en que el cociente sea igual o menor que el divisor, el número dado es primo. Si alguna división es exacta, el número dado no es primo. 5

6 Tenemos el número 79 que queremos averiguarse es o no primo. SOLUCIÓN: Lo dividimos por 2, 3, 5, 7, y 3 sin obtener cociente exacto y al dividirlo por 3 nos da 3 de cociente. Vamos a demostrar que 79 es primo, para lo cual bastará demostrar que no es divisible por ningún número primo mayor que 3. Averiguar si 9 es o no primo SOLUCIÓN: En esta última división el cociente es menor que el divisor 7 y la división es inexacta, luego 9 es primo Averiguar si 853 es o no primo SOLUCIÓN: En la práctica no vamos a hacer la división por 2, 3, 5, 7 ni (siempre que se vea que el cociente ha de ser mayor que el divisor) sino que aplicaremos los caracteres de divisibilidad que conocemos para ver si el número dado es o no divisible por estos números. En este caso, 853 no divisible entre 2, porque no termina en cifra par; no es divisible entre 3 porque 8+5+3=6 no es múltiplo de 3; tampoco los es por 5 porque no termina ni en cero ni en 5. Averiguar si 39 es primo 6

7 SOLUCIÓN: Aplicando los caracteres de divisibilidad, vemos que no es divisble por 2, 3, 5, 7 ni. Tendremos: Esta última división es exacta, luego 39 es compuesto. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS. Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros es que puede expresarse como producto de números primos. Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendo dicho número en forma progresiva, empleando únicamente números primos hasta terminar en elemento unitario. Hallar la factorización prima para \72 = = Hallar la factorización prima para \375 = = Hallar la factorización prima para \960 = =

8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO NÚMEROS REALES---AGUERRERO Mínimo Común Múltiplo: un entero es un múltiplo común de dos o más enteros si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o M.C.M. Mínimo Común Múltiplo por inspección Cuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños éste puede hallarse muy fácilmente por simple inspección, de este modo: Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo de varios del mayor de ellos, se mira a ver si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás. Si es así, el mayor es el m.c.m. Si no los contiene, se busca cuál es el menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente y éste será el m.c.m. buscado. Hallar el m.c.m. de 8 y 4 SOLUCIÓN: Como el mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8 y 4 Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4 SOLUCIÓN: 8 contiene exactamente a 4, pero no a 6. De los múltiplos de 8, 8 2=6 no contiene exactamente a 6, 8 3=24, contiene exactamente a 6 y es el m.c.m. de 8, 6 y 4 Hallar el m.c.m. de 0, 2 y 5 SOLUCIÓN: 5 no contiene a los demás, 5 2=30 no contiene a 2; 5 3=45 tampoco; 5 4=60 contiene cinco veces a 2 y seis veces a es el m.c.m. de 0, 2 y 5 Pasos para determinar el m.c.m. a) Se halla la factorización prima de cada número. b) El m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados por su mayor exponente. Hallar el m.c.m. de 8, 24 y 5 El m.c.m. de 8, 24 y 5 es (2 3 )( También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la vez. Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225 8

9 MÁXIMO COMÚN DIVISOR El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números; se simboliza por m.c.d. o M.C.D., cuando los números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por el contrario si los números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas. M.C.D. por inspección Como el M.C.D. de vario números tiene que ser divisor del menor de ellos, procederemos así: Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás será el M.C.D. Si no los divide, buscamos cuál es el mayor de los divisores del menor que los divide a todos y éste será el M.C.D. buscado. Hallar el M.C.D. de 8 2 y 6 SOLUCIÓN: El número 6 divide a 8 y a 2 luego 6 es el M.C.D. de 8, 2 y 6 Hallar el M.C.D. de 20, 90 y 70 SOLUCIÓN: 20 no divide a 70, 0 es el mayor divisor de 20 que divide a 90 y a 70. Hallar el M.C.D. de 48, 72 y 84 SOLUCIÓN: 48 no divide a los demás. De los divisores de 48, 24 no divide a 84; 2 divide a 72 y a es el M.C.D. de 48, 72 y 84. M.C.D. por descomposición en factores primos a) Se anotan los números en un simple renglón. b) Se dividen todos los números entre factores primos comunes. c) El MCD es producto de los factores primos comunes tomados con su menor exponente. Hallar el M.C.D. de 48 y

10 Hallar el M.C.D. de 464, 82 y Hallar el M.C.D. de 60, 50, 40 y POTENCIA Y RADICACIÓN POTENCIACIÓN Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente. Si escribimos 5 3, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual tendremos que: Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda potencia de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado de la base. Por ejemplo. El término cuadrado viene de la nomenclatura geométrica, puesto que el cuadrado de un número equivale en las unidades correspondientes de superficie al área de un cuadrado. El área de un cuadrado con un lado de 5m. será m 2. Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera potencia de la base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de la base., es el resultado de hallar el cubo de 5. El término cubo 0

11 también viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un número equivale en unidades correspondientes de volumen al volumen del cubo cuya arista es dicho número. Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando la base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia, respectivamente: La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por sí mismo: veces. Ley de uniformidad Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual. 2 2 =4 Siempre 5 3 =25 Siempre Potencia de un producto Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican esa potencias. Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc) n n =an bn c Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto como factor n veces; luego: Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación. Resolver (3 4 5) 2 SOLUCIÓN: (3 4 5) 2 = = = 3600 Potencia de un número fraccionario Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador y denominador a dicha potencia. Si tenemos la fracción ; Según la definición de potencia elevar a la potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:

12 Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la división exacta. Elevar SOLUCIÓN: Elevar SOLUCIÓN: Desarrollar SOLUCIÓN: Desarrollar SOLUCIÓN: Desarrollar SOLUCIÓN: 2

13 Ley distributiva La radicación no es distributiva con relación a la suma. Así a porque y no es igual Igualmente no es igual a porque y La radicación no es distributiva con relación a la multiplicación y a la división. Raíz de un producto indicado La raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores. Tenemos el producto. Vamos a demostrar que: Según la definición de raíz, será la raíz enésima de si elevada a la potencia n reproduce el producto. Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos: proponíamos., luego queda demostrado lo que nos Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la multiplicación. Efectuar SOLUCIÓN: Efectuar SOLUCIÓN: Raíz de una raíz La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces. Se trata de extraer la raíz cúbica de Vamos a demostrar que 3

14 Según la definición de raíz, será la raíz cúbica de si elevada al cubo reproduce la cantidad subradical, y en efecto: PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Elemento identidad Suma: a + 0 = 0 + a = a Producto: a. =. a = a Elemento inverso Suma: a + ( a) = a + a = 0 Producto: a (/a) = (/a)a =, a¹0 Ley Asociativa Suma: a + (b + c) = (a + b) + c Producto: a. (b. c) = (a. b). c Ley Conmutativa Suma: a + b = b + a Producto: a. b = b. a Ley Distributiva Producto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac EJERCICIOS: Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo. ) = ) (8)() = 8 3) 5(7 + (-3)) = 5(7) + 5( 3) 4) ( 9)( /9) = 5) = 5 6) 3 (4x) = (3 4)x 4

15 EJERCICIOS. Descomponer en sus factores primos los números siguientes: ) 64 2) 34 3) 240 5) 9 6) 377 7) ) 96 0) 408 ) ) 2 4) 44 5) ) 60 8) 507 9) ) 69 22) ) ) 82 26) ) ) ) 86 3) ) ) ) ) ) 88 39) 2740 E J E R C I C I O 2. : Reducir los siguientes términos: ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) 2) 5

16 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 20) 2) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 6

17 Simplifica las fracciones : 2: 3: 4: 4 /6 3 /5 2 /8 9 /24 5: 6: 7: 8: 3 /2 3 /9 5 /20 20 /24 9: 0: : 2: 6 /5 0 /6 3 /8 8 /24 Convierte en fracciones impropias : 2: 0 5 / /3 3: 5 /6 4: 25 5: 6: 7: 8: 9 3 /5 7 /3 0 5 / /3 9: 5 /3 0: 47 /2 : 2 2: 30 /2 Suma las fracciones (y simplifica la respuesta si hace falta) : 2: 3: 4: 5: /8 /8 /6 /0 /2 + /4 + /2 + /4 + /4 + /2 7

18 6: 7: 8: 9: 0: /9 /9 /2 /6 /8 + /2 + /8 + /2 + /5 + /2 : 2: 3: 4: 5: /8 /2 /2 /6 /2 + / + /0 + /0 + /7 + /6 Suma las fracciones (y simplifica la respuesta si hace falta) : 2: 3: 4: 5: 5 /2 2 / /4 2 /5 7 /25 + /2 + /3 + 7 / / /2 6: 7: 8: 9: 0: 4 / / 4 /5 /7 /7 + 3 /4 + 7 /8 + /6 + /22 + /5 : 2: 3: 4: 5: 7 /8 /3 2 /9 /4 /7 + /7 + /7 + /2 + /6 + /6 8

19 Multiplica las fracciones (y simplifica la respuesta si hace falta) : 2: 3: 4: 5: 4 /7 5 /7 3 /4 5 /8 4 /5 /3 /2 2 /3 2 /7 /4 6: 7: 8: 9: 0: 6 /7 /6 /5 /2 /9 3 /0 /5 /9 /5 /4 : 2: 3: 4: 5: /3 /4 /5 /2 /9 /2 2 /3 /3 /2 /9 Divide las fracciones (y simplifica la respuesta si hace falta) : 2: 3: 4: 5: 2 /3 5 /2 2 / /4 2 /5 5 /7 /2 /3 7 /24 4 /23 6: 7: 8: 9: 0: /2 / 5 /2 5 /23 7 /2 7 /20 7 /8 6 /7 4 /5 3 /5 : 2: 3: 4: 5: /3 7 /25 6 /25 /3 2 /9 4 /5 9 /24 7 /25 /7 /2 9

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