EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N OBJETIVOS GENERALES Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico viceversa Identificar a las epresiones algebraicas según sean racionales o irracionales, enteras o fraccionarias. Adquirir habilidad en la operatoria con polinomios Adquirir habilidad en el proceso de factorización de polinomios Simplificar operar con epresiones algebraicas fraccionarias Modelar situaciones ones problemáticas con epresiones algebraicas CONCEPTOS PREVIOS Números Reales: Operaciones Propiedades. Lógica Proposicional: Conectivos cuantificadores lógicos

2 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N INTRODUCCIÓN Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia la India veinte siglos antes de nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de epresión mediante fórmulas que permiten simplificar los cálculos numéricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados resueltos de una manera verbal. Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información. Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las carreteras de la información han crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisión conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un método desarrollado para tal fin es el PET Transmisión Codificada con Prioridades. Con él la información se distribue en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con base en polinomios. EXPRESION ALGEBRAICA Llamamos Epresión Algebraica Real a toda combinación de letras /o números reales vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división potenciación de eponente racional. Ejemplos 1 a 1 b 5 c 5 a a d 1 z A los números intervinientes les llamamos coeficientes a las letras variables. Clasificación de las Epresiones Algebraicas Según las operaciones que afecten a las variables, las epresiones algebraicas se clasifican en Epresione s Algebraicas Enteras Racionales Fraccionarias Irracionales FRT - UTN CURSO DE INGRESO Página 1

3 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Las Epresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto potencia de eponente entero no negativo. a 1 b - 5 a a c - z Las Epresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable esta afectada a un eponente entero negativo o figura en el denominador. a 1 b 1 1 c a- 5a Las Epresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un eponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación. a - 1 b a 1 5b a TEORIA DE POLINOMIOS Monomio Es toda epresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término. Grado de un Monomio Es la suma de los eponentes de las letras o variables que contiene. Monomios Grado a z mn Monomios Semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. a -m n m 5 n b - FRT - UTN CURSO DE INGRESO Página

4 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Polinomio Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de maor grado que participa en él. Casos particulares Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios Binomio Clasificación Grado Binomios a b 1 Trinomios a ab b 1 1 Cuatrinomios 1 Polinomio Homogéneo Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. polinomio homogéneo de grado 7 u v 1/ p q z - z polinomio homogéneo de grado Polinomios en una variable Si el polinomio es en la variable se representa simbólicamente como: Donde n Ζ, n 0 ai R an 0 P an. n an-1. n-1 a1. a0 se llama grado del polinomio P se escribe n grp se denominan coeficientes del polinomio se denomina coeficiente principal a0 se denomina término independiente FRT - UTN CURSO DE INGRESO Página

5 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Ejemplos Polinomio Grado Coeficientes Coeficiente principal Término independiente P 5-7, 5, 0, -7, Q - 1 -, 0-0 R Valor Numérico de un polinomio Sea P a n. n a n-1. n-1 a 1. a 0 sea c Entonces Pc an.c n an-1.c n-1 a1.c a0 valor que se obtiene al reemplazar por c, lo llamaremos valor numérico de P para c a Si P 5-7, entonces, P0 P b Si Q -, entonces, Q0 0 Q -. - c Si R 8, entonces, R0 8 Rc 8 Cero de un Polinomio Sea P. Se dice que b es cero de P P b 0 a es cero de P pues P. 0 b 0 es cero de Q - pues Q Polinomio Ordenado Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los eponentes aumenten o disminuan desde el primer término hasta el último. Ejemplos a esta ordenado en forma creciente b a a a esta ordenado en forma decreciente Polinomio Completo FRT - UTN CURSO DE INGRESO Página

6 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al grado del polinomio. a b 1 Si un polinomio esta incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con coeficiente cero. Ejemplo: 1 5 m m m 5 1 m 0m m 0m m 1 Polinomio Nulo Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero. Se escribe: P 0 se dice de él que no posee grado. Polinomio Opuesto n n1 n n Dado P a a 1... a1 a0 se llama polinomio opuesto de P a : P a a 1... a1 a0 dado que: P [ P ] 0 Esto es, la suma de un polinomio con su opuesto, es el polinomio Nulo. Ejemplo: 1 1 Si P z z z z, entonces Pz z z z 8 8 n n n n1 Igualdad entre Polinomios Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado los coeficientes de los términos semejantes son iguales. En símbolos n Sean P an an 1... a1 a0 n1 n n1 Q bn bn 1... b1 b0 diremos que: P Q gr P gr Q ai bi con i 0,1,,n

7 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Ejemplo: Hallar los valores de a, b, c d para que P Q, donde P - 5 Q - a b - c - d - Respuesta Se observa que gr P gr Q Además debe cumplirse que - -a, 0 b, - c, 5 - d - - Entonces se conclue que los valores de a, b, c d para que estas condiciones se cumplan son: a, b 0, c d -5 Operaciones con polinomios La suma, producto división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales. Suma de Polinomios Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes se obtiene un polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de maor grado. Resta de Polinomios Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. Producto de polinomios Aplicando la propiedad distributiva la propiedad de la potenciación de potencias de igual base, se obtiene un polinomio cuo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes. 1 Calcular: a 1 5 b Sean P 8 Q 1, calcular a P Q c [P Q]. Q Respuestas

8 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N 1 a b a P Q b [ P Q ]. Q División de Polinomios en una variable División de monomios entre si El cociente de dos monomios es otro monomio cuo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un polinomio 5 Ejemplo: : División de Polinomios entre si Sean P Q dos polinomios con Q 0, tal que gr P gr Q Entonces eisten dos polinomios únicos C R tales que: P Q. C R con gr R < gr Q. Llamaremos a P dividendo, a Q divisor, a C cociente a R resto. FRT - UTN CURSO DE INGRESO Página 7

9 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N También puede epresarse: Cuando R 0, la división es eacta. Entonces, P R C Q Q P Q. C se dice que Q es un factor de P o que P es divisible por Q. P De ese modo se tendrá que: C Q Algoritmo de la división Sean P Q tal que, grp grq. Para realizar la división P/Q se procede del siguiente modo 1 Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de maor grado de P por el término de maor grado del divisor Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor se coloca el resultado abajo de los términos de P que le sean semejantes. Luego se resta se considera este resultado, un resto parcial, como el próimo dividendo Se repiten los paso 5 Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. Ejemplo Sean P 0 1 Q. Calcular el cociente el resto que se obtiene al dividir P en Q Respuesta Entonces C R - 5 Se puede escribir O también 1 5 Caso particular

10 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Si gr Q 1, entonces R constante polinomio de grado cero. En particular si Q es de la forma Q b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. Regla de Ruffini Sean P a n n a n-1 n-1 a n- n-... a 1 a 0 Q - b un cociente, C cn-1 n-1 cn- n-...c1 c0 La división de P : Q producirá un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo: 1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P ordenado completo º paso: En el segundo renglón se coloca el valor b a la izquierda de los demás números a colocados º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente el resto del siguiente modo: i c n-1 a n ii c n- c n-1. b a n-1 iii cn- cn-. b an- iv... así hasta que v R c 0.b a 0 Ejemplo Sean P ; Q. Calcular el cociente el resto que resulta al dividir P : Q El cociente es C 1 R

11 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Teorema del Resto Al dividir P en b, el resto de la división es el valor numérico del polinomio P particularizado para b. Esto es: R P b Ejemplos 1 Calcular el resto en la división de P - 1 en Q - Determinar si las siguientes divisiones son eactas a 1 : 1 b 1: 1 c - : ½ d 5 - : Calcular k para que P k - 1 sea divisible por Q 1 Respuestas: 1 R P a R 1.1 1, no es una división eacta b R , si es una división eacta c R - -1/.-1/ --1/8 1/ - d R 5 0 es una división eacta 11 no es eacta 8 Se debe cumplir que R 0, entonces R P-1 k Entonces k 1 0. Por lo tanto k 1 Teorema del Factor Sea P un polinomios de grado n b una constante. Se dice que b es un cero de P -b es un factor de P Esto es equivalente a afirmar que b es un cero de P P es divisible por b Observación Si -b es un factor de P, entonces eiste un polinomio C tal que P b. C

12 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Ejemplo Como es cero de P, entonces P es divisible por Por la Regla de Ruffini tenemos que 0-0 Entonces P Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio P a n n 1 n n a n 1 a n... a 0 de grado n tiene al menos un cero complejo. Si el polinomio tiene un cero complejo, entonces, el conjugado de éste también es cero dicho polinomio. Teorema sobre el número de ceros n n1 n Todo polinomio P an an 1 an... a0 de grado n tiene eactamente n ceros complejos, 1,,,..., n Y puede escribirse en la forma P... an 1 n Ejemplo: - De P P - sacamos factor común tenemos De allí se deduce que P tiene dos ceros: - Etensión de la Regla de Ruffini División del tipo P : a b Al dividir P en el binomio a b se tendrá un cociente C, polinomio de un grado menor que P un resto R, constante. Sabemos que se debe cumplir que P a bc R.

13 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Sacando factor común a del binomio se puede escribir P a b/a C R, lo cual es equivalente a P b/a.a.c R Esto indica que si aplicamos la Regla de Ruffini dividiendo P en b/a, obtendremos el cociente, a.c, que será múltiplo del cociente que buscamos, para encontrar C tendremos que dividir el resultado encontrado por el valor a, mientras que el resto es el mismo. Etensión del Teorema del Resto El resto de la división de P en el binomio a b es R P-b/a. -1 Efectuar las siguientes divisiones: a 1 Respuesta a Vamos a considerar la división en ½ b 7 9 Entonces el cociente buscado es el obtenido, ½ 1 ½ ¾ /8 1 / / -5/8 C el resto es el mismo, 8, dividido en. Esto es: 5 R 8 Se puede verificar que -1 b Vamos a considerar la división en Entonces el cociente buscado es el obtenido, - 9 dividido en. Esto es: C - el resto es el mismo, R 0 Se puede verificar que 7-9

14 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N FACTOREO DE POLINOMIOS Factorear un polinomio es epresarlo como producto de polinomios primos. Caso particular Sea P a n. n a n-1. n-1 a 1. a 0, con a n 0 sean 1,,,..., n sus ceros. Entonces p puede ser factoreado en la forma P an 1. n Donde cada binomio de la forma i es un factor primo Ver adjunto: Epresiones algebraicas primas compuestas Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes: Factor común Una epresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece multiplicando en cada uno de esos términos. Ejemplos 1 En la epresión 8 5 z z 1 w z 5, el factor común es z. Entonces 8 5 z z 1 w z 5 z z w z por la propiedad distributiva, en sentido recíproco A veces es necesario sacar factor común Factor Común en Grupo Una epresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede etraer un único factor común habremos factoreado. a 15 m m 5 m 15 m m m 5 m m b

15 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Diferencia de Cuadrados Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir: a b a b a b a 0.01a b 1 0.1a b a b 1 b - Trinomio Cuadrado Perfecto Vimos que: a b a a b b que a - b a - a b b Entonces los trinomios de la forma a ± a b b se pueden factorear como cuadrados de binomios. Observaciones: -a - b [-a b] a b a a b b b a [-a - b] a - b a - a b b Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i Se busca a los cuadrados se determina a sus bases ii Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados iii Se analizan los signos se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una diferencia a 1 es un trinomio cuadrado perfecto pues 1 son cuadrados de bases 1 respectivamente. Además el duplo de las bases es..1 coincide con el do término. Entonces 1 1 b 5 p 0 p es un trinomio cuadrado perfecto pues 5 p son cuadrados de bases 5 p respectivamente. Además el duplo de estas bases es. 5. p que es el tercer término de la epresión. Como este término es negativo se tiene que 5 0 p p 5 p

16 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Cuatrinomio Cubo Perfecto Vimos que: a b a a b ab b que: a - b a - a b ab - b Entonces los cuatrinomios de la forma a ± a b ab ±b se pueden factorear como cubos de binomios. Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i Se busca a los cubos se determina a sus bases ii Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente iii Se analizan los signos se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia Ejemplos a 1 8 es un cuatrinomio cubo perfecto pues 8 son cubos cuas bases son respectivamente Además que son los otros términos Entonces 1 8 b -1 no tiene los signos adecuados pero sacando factor común -1 se tiene - 1 La epresión entre paréntesis tiene dos cubos 1 cuas bases son que son los otros términos Entonces:

17 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado Son polinomios de la forma: n a n o n a n Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sea n. Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla: n a n es divisible por a por lo tanto Si n es impar n a n Si n es par Si n es impar n a n Si n es par n a n ac donde C es el cociente de la división a a a a 5 a 5 a - a a - a a n a n no es divisible por a ni por a pues el resto de la división es R 0 en ambos casos Ecepción : Si n no es potencia eacta de, se le puede considerar como múltiplo de un impar en cuo caso se le puede factorear como suma de potencias de grado impar Ejemplo: a a a - a a n - a n es divisible por - a por lo tanto n - a n - a C donde C es el cociente de la división - a - a a a 5 - a 5 - a a a a a n - a n es divisible por a por - a n - a n a. C 1 n - a n - a. C Ejemplo: X a - a C1 a C Observe que en este caso es más conveniente factorear como diferencia de cuadrados a a - a a a - a Ejemplo

18 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Ejemplos de casos combinados a a a a 1 a - a - a -1 a a 1 a 1 a1 a 1 a1 a 1 a 1 b c a b a b a 1 b 1 1 a b 1 1 a b EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS Se llama epresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes. Ejemplos 1 ; ; 5 ; Valor Numérico de una Epresión Algebraica Fraccionaria ; Se llama Valor Numérico de una epresión algebraica fraccionaria al número real que se obtiene al sustituir la variable por determinados valores. Ejemplo El valor numérico de para 0 es 0 para 1 es -1 Pero la epresión no está definida para, dado que la división por cero no eiste. Dominio de una epresión algebraica Se llama Dominio Dom de una epresión algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de los Números Reales. Ejemplos a Dom 1, U, b Dom, 0 U 0, 1 c Dom - {, / }

19 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Epresiones algebraicas equivalentes Dos epresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numéricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras Simplificación Simplificar una epresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador denominador por un mismo factor. Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador el denominador primos entre si, la epresión fraccionaria se dice reducida a su mínima epresión. Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador denominador. Entonces las epresiones serán equivalentes cuando una epresión se ha obtenido de otra tras un proceso de simplificación esto será válido en el dominio de la epresión de partida. Ejemplo Operaciones entre epresiones algebraicas fraccionarias Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios. Suma algebraica 1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la epresión º paso: Calcular el mcm entre los denominadores º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios Ejemplo: Sea la epresión 1 1 Pasos auiliares mcm 1 1 Siguiendo el algoritmo de la suma de fracciones resulta:

20 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Producto de epresiones algebraicas fraccionarias 1 paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la epresión. paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es posible. Ejemplo: Sea la epresión Respuesta: División de epresiones algebraicas fraccionarias 1 paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor. paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la epresión paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es posible Ejemplo: Simplificar las siguiente epresión Respuesta: 1 Pasos auiliares Pasos auiliares 9 9 7

21 Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N Epresiones algebraicas enteras primas compuestas Una epresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma la unidad. Es decir no puede factorearse en el conjunto de las epresiones algebraicas con coeficientes reales. En cambio una epresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad de si misma se llama compuesta Todos los binomios de 1 grado del tipo ± a son primos ; 1 - ; Todos los binomios de º grado del tipo 1 ; ; a son primos. 9 Todos los binomios de grado del tipo ± a a son primos 9 ; 1 ; - El máimo común divisor mcd de dos o más epresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor eponente. Se denota con mcd [A, B], donde A B son las epresiones algebraicas consideradas. El mínimo común múltiplo mcm de dos o más epresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes no comunes con su maor eponente. Ejemplo: Sean las epresiones A mcd[a, B ] a b mcm[a, B] 5 a b a - b a a b - ab - b B 5a 10 ab 5b Pasos auiliares a a b - ab - b 5a 10 ab 5b a b a - b 5 a b