Fatela Preuniversitarios

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1 MATEMÁTICA Guía º ÚMEROS IRRACIO ALES Los números irracionales son números decimales reales que tienen infinitas cifras decimales y no aparece en ellas ningún período Surgen al resolver raíces (de cualquier índice) de números racionales No es correcto epresarlos con una cierta cantidad de decimales, puesto que el número eacto tiene infinitos decimales La eactitud que requiere la Matemática, hace que estos números se deban indicar con el símbolo radical También son irracionales algunos números especiales surgidos del análisis matemático como el número "π", que se aplica al cálculo de longitud de circunferencias, superficies de círculos; y superficies y volúmenes de sólidos de revolución, y el número "e" (Número de Neper) que sirve de base a los logaritmos naturales Cómo aparece un número así en la recta numérica? Supongamos que tenemos un triángulo isósceles rectángulo, cuyos catetos iguales valen Entonces la hipotenusa será: Por Pitágoras: + La hipotenusa es un número irracional Coloquemos este triángulo en la recta numérica, como se muestra en la figura, y haciendo centro en el origen llevemos la longitud de la hipotenusa hacia la recta numérica Queda demostrado así que hay un punto de dicha recta numérica que es un número irracional - 0 Se puede demostrar que en la recta numérica hay infinitos números irracionales MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -

2 ) Etracción de factores: Operaciones con números irracionales Es práctica habitual en matemática la etracción de factores de los radicales que lo permitan Para que la etracción de factores sea posible el eponente de la potencia debe ser mayor o igual al índice de la raíz Se puede hacer aplicando propiedades de potencias o con una regla práctica: a) Aplicando propiedades de potencias: 7 Descomponemos la potencia del radicando en factores Aplicamos propiedad distributiva Cancelamos potencia y raíz 7 Aplicando regla práctica: 7 Dividimos el eponente de la potencia por el índice de la raíz 7 Eponente de las potencias que quedan dentro de la raíz Eponente de las potencias que salen de la raíz A menudo se presenta el caso del radical de un número que se puede factorear (o sea descomponer en sus factores primos) Se procede así: MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -

3 Para practicar: a) 7 6 y Etraer factores de los siguientes radicales y y 0,0 y y z 0z ) Introducción de factores: Si se necesita es posible introducir un factor que se halla afuera del radical hacia adentro del mismo Se puede hacer aplicando propiedades (con un artificio) o con una regla práctica: ) Aplicando propiedades de potencias (con un artificio matemático) El artificio matemático consiste en tomar el factor que se va a introducir al radical, elevarlo a la potencia del índice de esta raíz y al mismo tiempo etraerle una raíz del mismo índice Ambas operaciones son inversas de modo que este factor a introducir no se altera 6 7 ( ) ( ) 7 Artificio matemático Aplicamos propiedad asociativa Potencia de potencia Producto de potencias de igual base ) Aplicando regla práctica: Multiplicamos el eponente de la potencia a introducir por el índice de la raíz Luego propiedades de potencias MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -

4 ) Suma algebraica de Radicales: Los números irracionales sólo se pueden sumar o restar en forma eacta si tienen radicales semejantes Números irracionales de radicales semejantes 6 ; ; Para sumarlos simplemente se suman algebraicamente sus partes racionales, lo que equivale a sacar el radical como factor común Por ejemplo: Si los números irracionales no son de radicales semejantes no se pueden sumar y se debe epresar el resultado como un binomio irracional: 6 + Binomio Irracional A veces hay que sumar radicales que en apariencia no son de radicales semejantes, pero en los cuales al etraer factores se puede llegar a que aparezcan radicales semejantes Por ejemplo: Una vez etraídos los factores de las raíces, los radicales quedan semejantes y se pueden sumar MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -

5 Para practicar: ) Multiplicación de Radicales: Pueden ser de raíces de igual o de distinto índice A) De Raíces del mismo índice: Efectuar las siguientes sumas algebraicas: a) , Propiedad Asociativa Se aplica la propiedad asociativa y se colocan los radicandos bajo el mismo símbolo radical B) De Raíces de distinto índice: Para multiplicar raíces de distinto índice debe hallarse el "Mínimo Común Índice" que es el mínimo común múltiplo de los índices Para ello debe hacerse el factoreo conjunto de dichos índices, tal como se eplicó en el apunte "Conjuntos Numéricos", para sacar el común denominador al hacer la suma de fracciones Luego se realiza un artificio que consiste en multiplicar el índice y el eponente de cada radical por un mismo número Este número es el necesario para llevar el índice de la raíz al Mínimo Común Índice Al hacer esta operación de multiplicar por un mismo número al eponente y al índice de una raíz no se altera su valor, de modo que es un paso correcto Por último se asocian las dos raíces (que ya quedan de igual índice) en un sólo radical El resultado final debe epresarse con los factores etraídos del radical Multiplico por Multiplico por El Mínimo Común Índice entre y es MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -

6 Para practicar: Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones: 0 y y y a) 00 y y y y 6 y y 7 y z : ( y) y z ) Racionalización de Denominadores: Es una tradición en Matemática no dejar "nunca" un número irracional en los denominadores de fracciones Esto se debe a que no podemos realizar una división (por métodos numéricos, o sea con lápiz y papel) si el divisor tiene infinitos decimales como ocurre con los números irracionales Es preciso realizar una operación para racionalizar (convertir en racional) el denominador, para luego sí proceder a dividir Lo que ocurre al racionalizar es que un número irracional aparece en el numerador, pero esto no es mayor problema pues al ser racional el denominador podemos efectuar la división con tanta precisión como queramos a condición de tomar los decimales suficientes del numerador irracional Se aconseja siempre etraer todos los factores que sean posibles de la raíz a eliminar antes de proceder con el caso de racionalización que corresponda Hay tres casos de racionalización de denominadores: A) Primer Caso: Hay una raíz cuadrada en el denominador: Se multiplica y se divide por la misma raíz a eliminar 8 MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 6 -

7 B) Segundo Caso: Hay una raíz no cuadrada en el denominador: Se multiplica y se divide por una raíz del mismo índice de la que se va a eliminar, que contenga las potencias que le faltan a dicha raíz para que el eponente de sus factores iguale al índice ab ab a b ab a b ab a b a b a a b a b a a b a ab a a b C) Tercer Caso: Hay un binomio con una o dos raíces cuadradas en el denominador: + + ( + ) + ( + ) ( + ) + Se multiplica y se divide por el binomio conjugado del denominador, que corresponde a un binomio similar pero con el signo del medio cambiado Casos Combinados de Racionalización de Denominadores A veces pueden aparecer casos combinados de racionalización de denominadores, en los cuales hay que aplicar los casos ya vistos en el orden adecuado a fin de eliminar todas las raíces del denominador: MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 7 -

8 Para practicar: a) d) y y Racionalizar los denominadores en las siguientes fracciones: y y 6 y y ( + + ) + + Por último es importante destacar que, al simplificar eponentes con índices en un determinado radical pueden aparecer situaciones que conviene aclarar: ( 8) Aquí se arriba al mismo resultado resolviendo las operaciones en el orden marcado o simplificando el eponente con el índice ( ) ( ) en R Aquí no tiene solución real la epresión dada, pero simplificando el eponente y el índice se arribaría a un resultado erróneo MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 8 -

9 ( ) 6 Aquí la solución de la epresión dada es, pero simplificando el eponente y el índice se arribaría a un resultado erróneo ( ) Para practicar: 8 a) Resolver las siguientes Potencias de Eponente fraccionario (Ver teoría en guía N ) : 9 MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 9 -

10 Trabajo Práctico " úmeros Irracionales" ) Etraer factores de los siguientes radicales: a) 8 m n 6 8y 0 0 0,06a b c 8 0 ) Introducir factores en los siguientes radicales y operar: a) 8 y ( y) y 8 8 ab b c c a 7 ) Efectuar las siguientes sumas algebraicas: a) d) 9y + 7y y + y 0,0y y y 7 ) Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones: a) y y y 6 6 y : yz d) 8 6 MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 0 -

11 ) Racionalizar los denominadores en las siguientes fracciones: a) y y abc abc 6 6 d) + 6) Resolver los siguientes ejercicios aplicando Potencias de Eponente fraccionario y reduciendo todo a potencias de igual base a) MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -

12 Resultados del Trabajo Práctico " úmeros Irracionales" ) a) y mn mn ab 7 c ab ) a) 0 8 y 6 y abc 0 ) a) 8 y d) 0 y y ) a) y 6 z y 8 d) 6 6 ) a) y a c abc d) ( + )( + 0 ) 6 6) a) MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- -