Elementos de álgebra Variables y Constantes

Transcripción

1 Elementos de álgebra 0.1. Variables y Constantes Las variables en matemática son objetos que representan cualquier cosa o evento. Las letras del alfabeto son usualmente empleadas para representar las variables y en nuestro caso, representan un número real arbitrario. La palabra variable, hace referencia a la manera como ésta puede tomar distintos valores dentro del conjunto numérico, denominado dominio de la variable. Generalmente, la variables se representan con letras minúsculas y son particularmente las últimas letras del alfabeto como:, y, z, w. Por ejemplo, la epresión C 2πr es la epresión para hallar el perímetro de una circunferencia de radio r. En la epresión, conformada por las variables, y, el dominio de la epresión y son todos los números reales ecepto cuando y 0, pues haría que la fracción se indetermine o cuando simultáneamente e y sean cero. En la epresión + 5, se debe cumplir que 5 dentro de su dominio. Por qué? Ejercicios 1 Según lo anterior, Cuál es el dominio de las epresiones siguientes? ( + 3)( 2) También, nos encontramos con las constantes, los cuales son valores particulares dentro de una situación particular y toman valores dentro de conjuntos mas concretos. Las constantes según el problema pueden ser desconocidas y se deben dar condiciones par hallarlas, o de lo contrario, son valores cuya representación es universal y las encontramos en múltiples aplicación, tal es el caso de π. Por ejemplo, la epresión que describe la relación entre la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad (en moles) de un gas ideal es P V n R T. Aquí, todas son constantes. 1

2 Algebra 2 Ejercicios 2 Escribe una epresión matemática que contenga: 1. Solo variables: 2. Solo constantes: 3. Variables y constantes:. Números, variables y constantes: 0.2. Epresiones algebraicas Las epresiones algebraicas son epresiones que representan números reales y son una combinación de letras, constantes y números mediante las operaciones. Por ejemplo, 3y 2 (a 2 + b 2 1) 2 3 y 2 z yz Responde: Por qué las epresiones algebraicas representan números reales? Ejercicios 3 Escribe 3 epresiones algebraicas con una, dos o tres variables: Dentro de una epresión algebraica hay que lograr identificar los términos y constantes. Esta identificación se hace necesaria para resolver correctamente operaciones entre epresiones algebraicas, que finalmente, terminan siendo operaciones entre números reales Términos Un término es una epresión que contiene sólo productos y cocientes. Los elementos de todo término son: el coeficiente, la parte variable y el grado. Además, los términos de una epresión algebraicas se identifican pues están separados por signos de suma o resta únicamente. Ejemplo 0.1 Son ejemplos de términos los siguientes: y, es un término con coeficiente 3, variables, y y grado es un término de grado cero. 3. es un término, con coeficiente 1 y variable.. 32 y 2 z 2 es un término. El numerador contiene un término con coeficiente + 3 3, variables, y, z y es de grado 6. Cómo sería para el denominador?

3 Algebra 3 Ejercicios Con base en lo anterior, resuelve: (I) Escribe ejemplos de términos que contengan 1, 2, 3 y variables. Indica el grado de cada uno y el coeficiente (II) Piensa en una variable. Cual?. Escribe términos en esta variable que sean de grados 0, 1, 2, 3, y 5. Luego de escribir estos términos, escribe la suma o resta de ellos. Responde: Estos términos son semejantes? Qué nombre recibe esta epresión algebraica? Cuál es el grado de esta epresión algebraica obtenida? Que conclusión puedes obtener de este ejercicio? Factores Los factores son los elementos de una multiplicación. Es decir, son los que conforman un término. Por ejemplo, 2ab es un término con tres factores y 23 2 yz es un término con factores. Recuerda que escribir 2ab es lo mismo que 2 a b. No creas que por que no hay signo de multiplicación entonces 2ab sólo tiene dos factores. Ejercicios 5 Escribe ejemplos de términos con 1,2,3 y factores: (a) (b) (c) (d) Términos semejantes Se dice que dos términos son semejantes si tienen la misma parte variable, no importa el orden de la parte variable o factores. Por qué? Ejemplo 0.2 Son ejemplos de términos y términos semejantes los siguientes: yz3 w es un término con coeficiente 2 5, variables, y, z, w y de grado. Además, este término es semejante a 3wyz 3. Observe que para que sean semejantes no deben tener el mismo orden las variables, pues el producto es conmutativo.

4 Algebra 2. El término y 2 es semejante a los términos 3yy ó 5y 2. Estos tres términos no son semejantes a 10 2 y. Por qué? Ejercicios 6 Escribe ejemplos de términos semejantes: (a) (b) (c) (d) Ejercicios 7 Ahora responde: (a) Qué es una epresión algebraica? (b) Para qué sirven las epresiones algebraicas? (c) Qué es un término? Un factor? Un coeficiente? (d) Qué es una variable y para qué sirve? (e) Qué es el grado de un término? (f) Clasificación de epresiones algebraicas Dependiendo del número de términos que aparecen en una epresión algebraicas se pueden clasificar como: Monomios: Epresiones con un sólo término. Por ejemplo, 3 2 y. Binomios: Epresiones con dos términos. Por ejemplo, 3 + 2yz. Trinomios: Epresiones con tres términos. Por ejemplo, 2 2 3y + y 2. Polinomio de n términos: y 2 + 5y y + 1. Polinomio de 6 términos. Ejercicios 8 Responde: 1. Escribe un: (Monomio) : (Binomio) : (Trinomio) : (Polinomio) : 2. Es la suma de dos monomios un monomio?. Justifica. 3. Es la suma de dos binomios un binomio? Justifica. Grado de una epresión algebraica Corresponde a la suma de los eponentes de las variables. Ejercicios 9 Lee y responde:

5 Algebra 5 2y. Su grado es yz. Su grado es. 7yz. Su grado es. 7. Su grado es. Valor de una epresión algebraica Como las epresiones algebraicas dependen de las variables y las variables se pueden reemplazar por un número real, siempre que esté en el domino de la variable, entonces las epresiones algebraicas son números cuando hay una sustitución de sus variables por números reales. Ejercicios 10 Con base en el siguiente ejercicio, halla el valor de las siguientes epresiones con los valores dados: El valor que toma el polinomio cuando 1 2 es: Se reemplaza el valor de 1 ( ( + 2) 2) en todas las de la epresión: ( 1 ) + 1 ( ) 8 ( 1 2) En la epresión algebraica 2 2y + z, si 3, y 2 y z 1, entonces el valor que toma es 3 2 2( 2)( 1) + ( 1) 9 1. El valor de y 2 cuando 3 y y 0 es:. Si 1 y y 2, entonces el valor que toma la epresión algebraica 3 es:. El valor de 32 y + yz si 1, y 2 y z 0 es:. El valor de cuando 1 y cuando 1 son: y Operaciones Las epresiones algebraicas representan números reales. Entonces, posible realizar entre epresiones algebraicas operaciones como suma, resta, multiplicación o división. Para ello, debemos tener en cuenta las operaciones vistas entre números reales, las propiedades de potencias, las propiedades de operaciones entre números reales y considerar el siguiente nivel jerárquico. (a) Dar prioridad a las operaciones entre signos de agrupación, (b) Luego las potencias, radicales y logaritmos,

6 Algebra 6 (c) Seguidas de la multiplicación y división, (d) Finalmente la suma y resta, (e) Si se debe decidir entre operaciones del mismo nivel realizar estas de derecha a izquierda. SUMA Es clave tener en cuenta los términos semejantes. De la suma de dos o más términos semejantes, resulta otro término semejante a los sumandos. Ejemplo 0.3 Algunos ejemplos de suma: 1. 2yz 2 + 5yz 2 7yz 2. Este resultado no es igual a 7 2 y 2 z. NO SUMES LOS EXPONENTES. 2. (8 y + 2) + (3 + 2y 5) 11 2y 3 3. (8t 2 6s 2 ) + (s 2 2t 2 + 6) 6t 2 2s RESTA Es clave tener en cuenta que el signo menos afecta lo que hay al interior de un signo de agrupación. La resta de epresiones algebraicas, es como se ilustra a continuación: Ejemplo 0. Algunas restas entre epresiones son: 1. (3a + 7b 9) (5a + 9b + 21) 3a + 7b 9 5a 9b 21 2a 2b ( +2 ) ( +3 ) [2[3( 2 + 2) 2( 2 5)]] 2[2[ ]] 2[2[ ]] 2[ ] PRODUCTO Tener claridad con el uso de la propiedad distributiva. Ejemplo 0.5 Algunos ejemplos son: 1. Monomios: (2)( 3 3 y) 6 y 2. Monomios y binomios: ( 3 2 )( 2 y z) 3 y z 3. Binomios: ( + 3)( 3) ( )

7 Algebra 7. Binomio y trinomio: (3y 2)(y 3 + 2y 2 3y) 12y + 6y 3 9y 2 8y 3 y 2 + 6y 12y 2y 3 13y 2 + 6y 5. Binomio al cuadrado: (3y 2) 2 (3y 2)(3y 2) 9y 2 12y + 6. Monomio y Binomios: 5( + 2)( 3) 5( ) 5( 2 6) Ejemplo 0.6 Simplificar la epresión (w 2 w 1)(w w 2 ) (w 5 +1)(w 1). (w 2 w 1)(w w 2 ) (w 5 + 1)(w 1) w 6 w w 5 + w 3 w + w 2 (w 6 w 5 + w w 6 w w 5 + w 3 w + w 2 w 6 + w 5 w + 2w + w 3 + w 2 w + 1 DIVISIÓN Hay que tener claridad con con la suma, resta y producto. Ejercicios 11 Algunos ejercicios son: (2 + 3) ( 1) ( ) ( 2 1) ( 3 + 3) ( 3) Productos Notables Los productos notables, son producto que con frecuencia se presentan en el álgebra como en las tablas de multiplicar, las necesitarás casi todo el tiempo en cálculos aritméticos, así ocurre con los productos notables, estarán presentes en muchos cálculos algebraicos. Aunque estos tradicionalmente se han dado a conocer mediante reglas, no es necesario pensarlos de esa forma, pues el camino natural sería aplicar las propiedades de los números reales. 1. ( + y) y + y 2 Demostración Al aplicar la definición de eponentes y propiedades de los relaes, (+y) 2 (+y)(+y) 2 +y+y+y 2 2 +y+y+y y+y 2 2. ( y) 2 2 2y + y 2 Demostración Ejercicio. Ejercicios 12 Teniendo en cuenta la guía, resuelve:

8 Algebra 8 (a) (3 2y) 2 (3) 2 2(3)(2y) + (2y) y + y 2 (b) (ab + 2a 2 b 2 ) 2 ( 1 (c) ) 2 5 y2 3. ( + y) y + 3y 2 + y 3 Demostración Ejercicio Ejercicios 13 Teniendo en cuenta la guía, resuelve: (a) (2 + 3) 3 (2) 3 + 3(2) (2) ( ) 3 1 (b) 2 + 3y ( ) 3 3 (c) 7 2 y 3 + 2y 3. ( y) y + 3y 2 y 3 Demostración Ejercicio. Ejercicios 1 Teniendo en cuenta la guía, resuelve: (a) (2 2 y 3 5) 3 (2 2 y 3 ) 3 3(2 2 y 3 ) 2 (5) + 3(2 2 y 3 )(5) 2 (5) 3 (b) (2a 5b 3 ) 3 ( 5 (c) 2 a3 1 ) 3 5 b2 5. ( + y)( y) 2 y 2 Demostración Ejercicio. Ejercicios 15 Teniendo en cuenta la guía, resuelve: (a) (2 15 ) (2 y ) ( ) 2 1 y2 (2) 2 5 y y (b) (3 2y 2 )(3 + 2y 2 ) (c) ( + 2y)( + 2y) Como se mencionó en al inicio de esta sesión, no se requiere la memorización de estas reglas. Basta con tener en cuenta la definición de eponentes y propiedades de los números reales para resolver un producto de esta naturaleza. Las reglas aparecen como mecanismo para llevar a cabo el producto mas rapido.

9 Algebra 9 Ejercicios 16 Puedo afirmar que (a + b) n a n + b n? Representación en lenguaje algebraico Del lenguaje natural podemos pasar al lenguaje algebraico, tomando como referencia los elementos vistos anteriormente. Hay que leer muy bien el enunciado y representar con variables las cantidades que son desconocidas en tal enunciado. Ejercicios 17 Representa simbólicamente los siguientes enunciados: 1. Seis veces un número natural arbitrario disminuido en la raíz cuadrada de dos, multiplicado por la semisuma del mismo número natural mas ocho. 2. El producto de dos enteros consecutivos corresponde al opuesto de la semisuma de ellos. 3. El interés obtenido después de 2 años a una inversión con interés simple del 6 % por año.. El perímetro de un rectángulo que es cm mas largo que ancho. 5. El área de un rectángulo que tiene por ancho 50 cm. 6. Un alambre de longitud l se corta en dos pedazos para diseñar un triángulo y un cuadrado. Escribe el área de cada figura a partir de la longitud del cuadrado y la longitud del cable. 7. Una caja de base cuadrada se fabricará con una lámina cuadrada de longitud l, donde se cortará de sus esquinas cuadrados de longitud para las pestañas. Escribe el volumen y área superficial de la caja en términos de l y. 8. Cada taco de papel se vende a $500 pesos. Escribe la epresión para el ingreso obtenido por venta de cantidad de tacos de papel. 9. Los costos variables de producción de galletas son de $30 pesos por unidad y los costos fijos son de $2000. Escriba una epresión para el costo total. Ahora, si el precio de venta de cada galleta es de $50 pesos, escriba una epresión para la utilidad de producción y venta de cantidad de galletas. 10. Con una lámina rectangular se va a fabricar un cilindro circular recto. Escriba una epresión para el volumen y área superficial de tal cilindro.

10 Algebra Polinomios Los polinomio son un tipo especial de epresión algebraica, pues cumplen: 1. Son epresiones con una sola variable. 2. Todos sus eponentes son enteros positivos. 3. Adoptan la forma p() a n n + a n 1 n a a 1 + a 0.. El coeficiente que acompaña a n se denomina coeficientes principal y el coeficiente a 0 es el coeficiente independiente. 5. El mayor valor del eponente n, se denomina el grado del polinomio. 6. Generalmente aparece ordenado de mayor a menor. 7. Este polinomio es el resultado de sumar monomios. 8. Como los polinomios son epresiones algebraicas, entonces se pueden efectuar operaciones entre éstos, tal como se hizo en pasajes anteriores. Ejercicios 18 De acuerdo a lo anterior, identifica el grado, coeficiente principal, término independiente de los siguientes polinomios y luego realiza las operaciones que se indican: p() : q() r() 1 s() 6 1. p() + r() 2. 2s() 5p() 3. 2[p() r()] + [2q() + s()] Ejercicios 19 De acuerdo a lo estudiado anteriormente, resuelve lo siguiente: 1. Escribe una epresión algebraica en las variables, y, z. 2. Escribe polinomios de grados 2,3,,5 y Resuelve los siguientes productos notables: (a) ( 3 + 5y 2 ) 2 (b) ( 1 3 y2 7 5 )2 (c) ( 2 π 2 y) 2 (d) ( y2 ) 3 (e) (3y 5) 3 (f) ( + 5)( 5)

11 Algebra 11 (g) (3 12 ) (3 y + 12 ) y (h) ( + 2)( 2). Resuelve (2 + 3y) + 2(5y + 3) 5. Resuelve ( 7y) 2(2y 5) 6. Resuelve ( y) y(5 2 2y + y 2 ) 7. Resuelve 2[a 2 2a[3a 5(a 2 2)]] + 7a 2 3a Es posible encontrar números reales y y tales que y 2 + y? 9. Halle el conjunto de valores que puede tomar para que la epresión 1 2 (+1) sea un entero. 10. Representa simbólicamente los siguientes enunciados: (a) La suma de tres enteros consecutivos es 336. (b) La suma de dos números es 55 y su producto es 68. (c) La suma de los cuadrados de dos enteros pares consecutivos es (d) El volumen de una caja de base rectangular sin tapa que se construye con una lamina cuadrada de carton de lados 10 cm y en donde las esquinas se hacen cortes cuadrados de longitud. (e) El doble de producto de dos números sumado con 5 veces el primero sobre la raíz cuadrada del segundo. (f) El producto de dos números pares consecutivos equivale al doble del par sucesor del segundo de los números pares. (g) El área de un cuadrado cuya diagonal mide d centímetros. (h) El las suma de las áreas de un cuadrado y un triángulo equilátero que se forma con un alambre de l centímetros de largo. (i) El volumen de una caja de base cuadrada construida con una lámina cuadrada en donde en sus esquinas se recortan cuadrados de lado. (j) El cuadrado de la semisuma de dos números menos el cuádruplo de la suma de los mismos. (k) La suma de los cuadrados de dos números menos la semisuma de los mismos disminuida en 2. ( ) ( ) Al efectuar queda:

12 Algebra 12 a) b) c) d) Factorización Recordarás que en cursos primarios hablabas de descomponer un número como producto de factores primos. Por ejemplo, al descomponer el 180 se obtiene En álgebra, no se habla de descomponer sino de factorizar. Quiere decir, que en aritmética se descompone y en álgebra se factoriza, pero resulta siendo lo mismo, pues tu descompones número y factorizas polinomios Técnicas de factorización 1. Factor común Ejemplo 0.7 El factorizar obteniendo un factor común, es igual que aplicar la propiedad distributiva. Recuerda que un factor es un elemento que conforma el producto y es común a todos los términos. El factor común de los números, corresponde al máimo común divisor. El factor común de una variable, es la variable elevada al menor eponente. a) yz 3 y 3 z + 3 yz yz(z 2 y ) b) 3a 2 b 3 3 2a b 2 + 9a 2 b 3a 2 b(b 2 2a 2 b + 3) c) 15 2 y y 12 2 y y(5y 2 + y) 2. Factor común por agrupación de términos. Ejemplo 0.8 Se puede aplicar el caso anterior dos o más veces. a) (+3) 3 (-1) + (+3) 2 (-1) 2 ( + 3) 2 ( 1)[( + 3) + ( 1)] b) c) 2 + 2y 2y ( 2 + 2y) ( + 2y) (+2y) (+2y) ( + 2y)( 1) 2p 3 p 2 + 2p 1 (2p 3 p 2 ) + (2p 1) p 2 (2p-1) + (2p-1) (2p 1)(p 2 + 1)

13 Algebra 13 Si observas, en los dos últimos ejemplos, no eiste un factor común en los términos, sino que debes asociar por pares (en este caso) para poder así, sacar un factor común de cada término encerrado entre paréntesis. Al etraer el factor común, notas que vuelve y queda de nuevo un factor común y vuelves a aplicar el caso. 3. Diferencia de cuadrados. Es un caso en donde se factorizan binomios. En tanto que es importante que los términos estén separados por un signo menos ( ). Se etrae raíz cuadrada (si es posible) a cada término y corresponde al producto de la suma y la diferencia de estas raíces. Es decir, a 2 b 2 (a + b)(a b) Ejemplo 0.9 Al emplear la técnica anterior, quedará: a) 25 6 y 8 100y 12 z 2 (5 3 y + 10 y 6 z)(5 3 y 10 y 6 z) b) (6 + 5)(6 5) c) 8 y 8 ( + y )( y ) ( + y )( 2 + y 2 )( 2 y 2 ) ( + y )( 2 + y 2 )( + y)( y) Observación 1 No confundas a 2 b 2 que se puede factorizar como una diferencia de cuadrados, con la epresión a 2 +b 2, la cual no es una diferencia de cuadrados. El error en este caso es pretender factorizar a 2 + b 2 como una diferencia de cuadrados y no lo es, pues no está separado por un signo menos, es decir, a 2 + b 2 (a + b)(a b). Ejercicios 20 Factoriza a 2 + b 2 en el sistema de los números complejos.. Trinomio de la forma 2 + b + c: Este es un trinomio con coeficiente principal igual a 1. Ejemplo 0.10 Al factorizar con este método, queda: a) p 2 + p + 3 (p + 3)(p + 1) b) y 2 15y + 50 (y 10)(y 5) c) 2 y 2y 2 ( 2y)( + 2y) 5. Trinomio de la forma a 2 + b + c (Trinomio con coeficiente) Ejemplo 0.11 Seguir el siguiente procedimiento:

14 Algebra 1 a) b) c) 6y 2 (6y + 12)(6y + 1) + 13y (y + 2)(6y + 1) 6 (y + 2)(6y + 1) En el primer paso, se multiplica el primer término con el último, dando como resultado Ahora, se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den 13. Se factoriza en el siguiente paso, para eliminar el 6 del denominador. Esta eliminación siempre es posible. 8q 2 (8q + 6)(8q ) + 2q 3 8 2(q + 3)(2q 1) 8 (q + 3)(2q 1) 9m 2 6mr + r 2 (9m 3r)(9m 3r) 9 3(3m r)3(3m r) 9 (3m r)(3m r) (3m r) 2 6. Trinomio por completación de cuadrados Eisten trinomios que no se pueden factorizar de las forma indicada anteriormente. Se procede y obliga con cierta técnica a ser un trinomio cuadrado perfecto. Veamos. Ejemplo 0.12 Factorizar el siguiente trinomio. 7. Suma-resta de cubos: Obedece las siguientes fórmulas: Suma 3 + y 3 ( + y)( 2 y + y 2 ) Ejemplo 0.13 Al seguir la regla queda: a) 6a b 18 (a + 10b 6 )(16a 8 + 0a b b 12 ) b) 8 3 y (2y + 3)( 2 y 2 6y + 9) c) y 3 z 3 (2 + 7yz)( 2 1yz + 9y 2 z 2 )

15 Algebra 15 d) 7 + a 3 ( a)(( 3 7) 2 3 7a + a 2 ) Diferencia 3 y 3 ( y)( 2 + y + y 2 ) Ejemplo 0.1 Al seguir la regla queda: a) 27y 9 1 (3y 3 1)(9y 6 + 3y 3 + 1) b) y 6 1 (y 2 1)(y + y 2 + 1) (y + 1)(y 1)(y + y 2 + 1) c) a 3 6b 6 (a b 2 )(a 2 + ab b ) Ejercicios Con base en las indicaciones presentadas anteriormente, factoriza completamente las siguientes epresiones: a) 3a 2 b + 18ab 2 b) 25 2 y 9y 5 c) a 2a 8a d) e) 6 + 5a 6a 2 f) 5y 8ab g) (+1)( 2) 2 2( 2)(+1) 2 h) i) 16a + 2a j) 8 1 k) a 6 c b 6 c l) 5/2 1/2 m) a + a 2 2 n) ñ) a( y) b(y ) o) 8m 2 2m 6 p) + 1 q) 12y r) y 2 y + s) ( 2 1) + ( 2 2) 2. Considera la siguiente situación: El volumen de un cilindro de radio r está dado por V πr 2 h, donde h es la altura del cilindro. Halla una epresión matemática para hallar el volumen de un casquete cilíndrico. Factoriza por completo y concluye como puede hallarse el volumen de tal casquete. 3. Justifica la validez de la epresión a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 a partir de un cuadrado de lado a + b. Representa gráficamente tal situación.. Al factorizar queda: a) 3( + 3)( + 2) b) 3( + 3)( 2) c) 3( 3)( 2) d) 3( 3)( + 2) 5. Es cierto que al factorizar la epresión queda ( 5)( )? 6. Factoriza las siguientes epresiones algebraicas:

16 Algebra 16 a) y 12 3 y 2 b) 2 25y c) d) a e) f) g) h) 2a 2 + 7a Caso Especial: Trinomio por completación. En ocasiones resultan trinomios que no se pueden factorizar por las técnicas vistas anteriormente. Presentamos el método de completación de cuadrados. Ejemplo 0.15 Se trata de factorizar Vemos que con las técnicas vistas anteriormente no es posible hacerlo. Sin embargo, podemos factorizarlo, tomando el coeficiente de, en este caso, el 3, lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado. Este término completa el cuadrado. Queda ( 3 2 ) 2 9. Este valor lo sumamos y restamos de la siguiente forma: Esta transformación nos llevará a utilizar técnicas anteriores. Observa la forma como se asocia ( ) ( ) ( ( ) 17 2) ( ) ( ) Ejercicios 22 Con respecto la técnica anterior, responde: 1. Halla la factorización en general del trinomio a 2 + b + c. 2. Factoriza completamente los siguientes polinomios. a) b) c) d) e) f) Epresiones Racionales Una de las aplicaciones de la factorización, es que permite simplificar y realizar operaciones entre epresiones fraccionarias, en donde aparecen involucrados los

17 Algebra 17 polinomios y cuya simplificación requiere de la factorización como mecanismo de identificación de factores comunes. Veamos en la aritmética como opera: Ejemplo 0.16 En la aritmética e incluso álgebra, se nos pide que simplifiquemos al máimo la epresión 60. Para esto, hacemos divisiones sucesivas entre factores 90 primos para transformar la fracción inicial en una fracción equivalente en donde no haya mas divisor común que el 1. Es decir, Aquí, se ha 3 dividido entre 2, 3 y 5 respectivamente. Es decir, en este caso lo que hacemos es cancelar los factores comunes entre el denominador y denominador. Es decir, Debe ser claro que lo único que podemos cancelar son los factores que son comunes. El ERROR es cancelar sumandos o factores que hagan parte de los sumandos. Un par de ejemplos de falsas simplificaciones son: y 3 y y + z 5y z Ejemplo 0.17 Queremos simplificar las siguientes epresiones a partir de las ideas epuestas anteriormente. Si observas en el proceso anterior, lo primero que hicimos fue descomponer ambas partes, es decir, debemos factorizar ambos polinomios. Observa el siguiente ejemplo y procede para simplificar los ejercicios siguientes: ( 3)( + 2) ( ) ( 3) a2 a 3 1 El anterior constituye uno de los ejercicios más simples en cuanto la simplificación pues toda operación entre epresiones racionales tiene como resultado un número racional. Ahora requerimos efectuar sumas o productos entre epresiones fraccionarias. Ejemplo 0.18 Efectuar la suma de las siguientes epresiones como se muestra en el siguiente ejemplo. Recuerda que se procede con el método de hallar el denominador común, siendo este el mínimo común múltiplo de los denominadoras dados.

18 Algebra t 3t + 2 t 1 t(t 1) (3t + 2) (3t + 2)(t 1) (t 1)(3t + 2) 3 q ( 2 9) t(t 1) (3t + 2) (t 1)(3t + 2) t2 t 12t 8 (t 1)(3t + 2) t2 13t 8 (t 1)(3t + 2) ( + 1) a b a a b b a + b b + a + b a Después de trabajar la suma y resta, piensa en la operación siguiente y determina el resultado: ( ) 2a y 3y2 ay a 2 3 b Ejercicios 23 Halla el resultado de las siguientes operaciones y simplificar: y + y 2 2 y 2 22 y y 2 2 y 2y

19 Algebra y 2 + y 2 + 2y + y 2 y 10. ( + a) 2 a 2 a Ejercicios 2 Resuelve: 1. a2 a 2 a 2 + a y y y 2 z 8 2 y y 2 a 3 27 a 2 6a + 9 y 2 y 3 2 3y 6. 3a2 + a 10 5a 3a t 3t + 2 t 1 3 q ( 2 9) (a + h)2 a 2 h y 3 3 y y 3 y 1 a + b b a b(b + a) 2a b b 2 a 2 a a b a a + b + b b a 19. y y y ( + 1) b b 2 b b2 + 6b + 8 3b 2 b ( a a 1 + a 1 ) ( a + 1 a + 1 a 1 a 1 ) a a2 + 2ab + b 2 a 2 b 2 a2 + 3ab + 2b 2 a 2 3ab + 2b a a 1 + a + 2 a 2 2 +

20 Algebra ( + y)2 y y + y 2 + y 2 y 27. y + y y + 1 y Racionalización Cuando aparecen epresiones con raices en el denominador de una epresión racional, se puede transformar a un denominador sin tal epresión, recurriendo a técnicas algebraicas vistas hasta el momento, como la factorización y productos notables. Con base en los ejemplos epuestos, termina: Ejercicios 25 Racionalizar las siguientes epresiones: 1. ( ) ( 3) ( + 3)( 3) + 3 ( ) 2 ( 3) Elaborado por Jaime Andrés Castaño Universidad del Valle