Colegio Universitario Boston. Álgebra

Transcripción

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2 Factorización de Polinomios En el estudio de la matemática uno de los temas más importantes que encontramos es el de la factorización de polinomios. Este procedimiento nos permite aprender a expresar un polinomio como el producto de sus factores, y además nos facilita el trabajo para simplificar, efectuar operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) y resolver ecuaciones que contienen expresiones algebraícas racionales. Existen varios métodos para realizar una factorización de polinomios entre los cuales podemos mencionar: el método de factor común, el de agrupación, el método de trinomio de segundo grado (caso general y el de trinomios cuadrados perfectos) y el de diferencia de cuadrados A continuación se presentan estos métodos y algunos ejemplos para ilustrarlos: Método por factor común. Para realizar este tipo de factorización seguimos el siguiente procedimiento: Debemos tomar los coeficientes numéricos de los diferentes monomios que aparezcan en el polinomio y calcular su máximo común divisor (MCD). Lo que significa encontrar el producto de los divisores comunes de los mismos. Seguidamente verificamos si las variables que aparecen en el polinomio están presentes en todos los monomios, si es así tomamos la variable que tenga el menor exponente para que forme parte de nuestro factor común. Es decir que el factor común está formado por el MCD y por todas las variables que estén presentes en todos los términos del polinomio que tengan menor exponente. Finalmente debemos formar el otro factor el cual encontramos luego de dividir cada término del polinomio por el factor común. Cabe resaltar que el 2

3 Ejemplos. 1. polinomio que se forma como el otro factor podría ser factorizado por cualquiera de los otros dos métodos que estudiaremos a continuación. El primer paso es encontrar el factor común. MCD Factor Literal Factor común es. El otro factor que obtenemos es. Por lo tanto tenemos que 2. Para este caso lo primero que debemos realizar es presentar el polinomio con su denominador común. Luego encontramos el factor común. MCD Factor Literal Factor común es. El otro factor que obtenemos es. 3

4 Por lo tanto tenemos que Método por agrupación. Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos. Para realizar este tipo de factorización seguimos el siguiente procedimiento: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos. Debe quedar un paréntesis común. Se extrae dicho paréntesis como factor común. Y finalmente se forma el otro factor usando los resultados obtenidos en la primera factorización efectuada. Ejemplo. 1. El primer paso es agrupar los términos que tengan factor común. Luego determinamos el factor común de cada agrupación. Ahora como tenemos paréntesis iguales se toma este como un factor común, y se forma el otro factor. Por lo tanto tenemos que: 4

5 Método por trinomio cuadrado perfecto. Para realizar este tipo de factorización seguimos el siguiente procedimiento: Ejemplos. 1. Ordenamos el trinomio de forma decreciente, y calculamos la raíz cuadrada de los términos que están en los extremos del mismo. Multiplicamos estos resultados entre si y luego por dos, si esto nos da el término del centro tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Tomamos los resultados obtenidos en el paso uno los encerramos entre paréntesis uniéndolos con el signo del término del centro y este paréntesis lo elevamos al cuadrado. Ordenamos los términos del trinomio y calculamos las raíces de los términos que se encuentran en los extremos Verificamos con respecto al término que se encuentra en el centro Finalmente tenemos que 2. Ordenamos los términos del trinomio y calculamos las raíces de los términos que se encuentran en los extremos 5

6 Verificamos con respecto al término que se encuentra en el centro 40 Finalmente tenemos que Método de inspección para trinomios cuadrados. Si en un polinomio de la forma, los términos se pueden expresar en dos de sus factores es decir: y de manera que al realizar la suma de su producto en cruz este sea igual a. Entonces podemos decir que. Ejemplos. 1. Inicialmente vamos a expresar factores. como el producto de dos de sus Verificamos si su producto en cruz corresponde a Por lo que tenemos que: 2. Inicialmente vamos a expresar factores. como el producto de dos de sus Verificamos si su producto en cruz corresponde a 6

7 Por lo que tenemos que: Método por diferencia de cuadrados. En términos matemáticos la palabra diferencia se maneja como resta, es decir que para este caso manejaremos restas de cuadrados, cabe señalar que no existe método de factorización para una suma de cuadrados al menos en los números reales. Para realizar este tipo de factorización seguimos el siguiente procedimiento: Calculamos la raíz cuadrada de los dos términos que aparecen involucrados. Si las raíces son exactas entonces formamos dos paréntesis, uniendo estos dos términos uno con suma y otro con resta. Nota El orden en que se ubiquen estos paréntesis no altera el resultado, pero se recomienda ubicar primero el positivo y luego el negativo esto púes existen casos donde hay que realizar este tipo de factorización en varias ocasiones. Ejemplos. 1. Realizamos el calculo de las raíces términos que se nos plantean en la diferencia Por lo tanto tenemos que 7

8 2. Realizamos el calculo de las raíces términos que se nos plantean en la diferencia En el resultado que obtenemos, nuevamente encontramos una diferencia de cuadrados por lo que debemos realizar la factorización de dicho paréntesis. Finalmente el resultado que obtenemos es En algunos casos podemos encontrarnos con ejercicios en los cuales debemos aplicar varios métodos al mismo tiempo para llegar a obtener la factorización completa de un polinomio. Para este tipo de casos seguimos el siguiente orden: Combinación de casos. 1. Factorización por factor común. 2. Factorización por diferencia de cuadrados si tiene 2 términos. 3. Factorización por trinomio cuadrado perfecto si tiene 3 términos. 4. Factorización por inspección trinomio si tiene 3 términos. Ejemplos. 1. El primer paso es encontrar el factor común. Factor Literal: 8

9 Realizamos la primera factorización. Al obtener el resultado anterior notamos que en el paréntesis nos queda indicada una diferencia de cuadrados. Por lo que finalmente obtenemos como resultado: 2. El primer paso es encontrar el factor común. MCD Factor Literal Realizamos la primera factorización. Al obtener el resultado anterior notamos que en el paréntesis nos queda indicado un trinomio cuadrado perfecto. Verificamos con respecto al término que se encuentra en el centro Por lo tanto: 9

10 Práctica Factorización 1. La factorización completa de la expresión corresponde a 2. Un factor de es 3. Un factor del polinomio corresponde 4. Al factorizar un factor es 5. Un factor del polinomio corresponde a 10

11 6. La expresión es equivalente a 7. Al factorizar uno de lo factores es 8. Al factorizar en forma completa la expresión uno de los factores es 9. Al factorizar uno de los factores es 10. Un factor de polinomio corresponde a 11. Un factor del polinomio corresponde a 11

12 12. Uno de los factores de es 13. Al factorizar uno de los factores es 14. Un factor de es 15. Un factor de es 16. Un factor de es 17. Al factorizar uno de los factores es 12

13 18. En la factorización completa de uno de los factores es 19. Un factor de es 20. En la factorización completa de uno de los factores es 21. Al factorizar el trinomio uno de los factores es 22. Al factorizar uno de los factores es 23. En la factorización completa de, uno de los factores es 13

14 24. En la factorización completa de, uno de los factores es 25. En la factorización completa de, uno de los factores es 26. Una factorización de es 27. Uno de los factores de es 28. Uno de los factores de es 29. Uno de los factores de es 14

15 30. En la factorización completa de, uno de los factores es 31. En la factorización completa de, uno de los factores es 32. En la factorización completa de, uno de los factores es 33. En la factorización completa de uno de los factores es 34. En la factorización completa de, uno de los factores 35. En la factorización completa de, uno de los factores 15

16 36. Uno de los factores de la expresión es igual : 37. Uno de los factores de es igual a: 38. Al factorizar completamente uno de los factores es: 39. Un factor de corresponde a: 40. Al factorizar, uno de los factores es: 41. Al factorizar, uno de los factores es igual a: 16

17 42. La factorización de es: 43. Analice las siguientes proposiciones con respecto al trinomio. I. Este trinomio tiene dos factores iguales. II. Este trinomio no es factorizable en R. De estas con certeza Cuáles son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 44. La factorización de es igual a: 45. La factorización completa de 9 es: 46. En la factorización completa de, uno de los factores es: 17

18 47. Un factor de es igual a: 48. Uno de lo s factores de es: 49. Uno de los factores de es: 50. La factorización de es igual a: 51. Analice las siguientes proposiciones con respecto al trinomio. I. Este trinomio tiene dos factores iguales. II. Este trinomio no es factorizable en. De estas con certeza Cuáles son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 18

19 52. La factorización de es: 53. Una factorización de es: 54. La factorización completa de la expresión es igual a: 55. Un factor de es: 56. Uno de los factores de es: 19

20 57. Un factor de es: 58. Uno de los factores de es: 59. Uno de los factores de es: 60. Un factor de es igual a: Fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Para realizar una suma o resta de fracciones se sigue un proceso muy similar al seguido para con las operaciones de con números racionales. El proceso para sumar fracciones consiste en seguir los pasos siguientes: Se factorizan todos los denominadores que sean factorizables en. Se calcula el mínimo común denominador, que estará formado por el producto de los factores comunes y no comunes que tengan mayor exponente. 20

21 El común denominador se divide por cada denominador y el cociente se multiplica por el respectivo numerador. Se efectúan las multiplicaciones y luego se reducen los términos semejantes. Finalmente, se simplifica la fracción algebraica resultante. Ejemplo. 1. Factorizamos todos los denominadores por los métodos estudiados. Calculamos su denominador común y realizamos la suma. Factorizamos el numerador de la expresión y simplificamos. Por lo tanto: 21

22 Multiplicación de fracciones algebraicas El proceso que seguiremos para efectuar multiplicaciones de fracciones algebraicas hasta obtener un producto reducido a la mínima expresión, consiste de los siguientes pasos: Se factorizan todos los numeradores y denominadores que sean factorizables en R. Se cancelan los factores iguales de los numeradores con los de los denominadores. Se multiplican entre sí todos los numeradores y todos los denominadores. Se reducen los términos semejantes. Ejemplo. Realizamos la factorizaciones. Planteamos la expresión con sus respectivas factorizaciones. 22

23 Simplificamos la expresión que obtenemos. Por lo tanto División de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas racionales se invierte la fracción que corresponde al divisor y, luego, se resuelve como si fuese una multiplicación. Ejemplo. Convertimos la división en una multiplicación. Realizamos la factorizaciones. Planteamos la expresión con sus respectivas factorizaciones. Por lo tanto 23

24 Fracciones complejas. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, y división de fracciones algebraicas racionales pueden combinarse de muy diversas maneras. El caso que llamaremos 'fracciones complejas" es el de una fracción cuyo numerador y cuyo denominador son, a su vez, sumas o restas de fracciones. En este caso se simplifican separadamente el numerador y el denominador y, por último, se efectúa la división, multiplicando extremos por extremos y medios por medios; esto se ilustra en forma simbólica seguidamente: Ejemplo. Desarrollo del Numerador y del Denominador Planteamos las expresiones factorizadas. Simplificamos. 24

25 Por lo tanto: Práctica Equivalencias 61. La expresión es equivalente a 62. La expresión + es equivalente a 25

26 63. La expresión es equivalente a 64. La expresión es equivalente a 3a a 1 3a a 1 3a a La expresión es equivalente a 26

27 66. La expresión es equivalente a 67. La expresión es equivalente a 3x 3 3x Al simplificar se obtiene 27

28 69. La expresión es equivalente a 70. La expresión es equivalente a 71. El resultado de corresponde a 28

29 72. La expresión es equivalente a 73. La expresión es equivalente a 74. La expresión simplificada corresponde a 29

30 75. La expresión es equivalente a 76. La expresión es equivalente a 77. La expresión es equivalente a 30

31 78. La expresión es equivalente a 79. La expresión es equivalente a 80. La expresión es equivalente a 31

32 81. La expresión es equivalente 82. La expresión es equivalente a 83. La expresión es equivalente a 32

33 84. El resultado de es: 85. La expresión es: La expresión es equivalente a: 33

34 87. La expresión es equivalente a 88. La expresión es equivalente a 89. La expresión es equivalente a 34

35 90. La expresión es equivalente a 91. La expresión es equivalente a 92. La expresión es equivalente a 35

36 93. La expresión es equivalente a 94. La simplificación máxima de es: 95. La expresión es equivalente a: 36

37 96. El resultado de efectuar es: 97. Al simplificar la expresión esta es igual a: 98. La expresión es equivalente a: La expresión es equivalente a:

38 100. La expresión es equivalente a: 101. La expresión es equivalente a: Ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es una ecuación de la forma: donde a, b, c son números reales con. Las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones, una única solución o no tener solución del todo. Lo cual se presenta a continuación con el cálculo del discriminante: 1. Si 0, la ecuación tiene dos soluciones reales. 38

39 2. Si = 0, la ecuación tiene una única solución real. 3. Si 0, la ecuación tiene una única solución real. Para obtener las soluciones de una ecuación cuadrática utilizamos la formula general. Ejemplos. 1. Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante. Buscamos las soluciones con la formula general. De donde tenemos: Por lo tanto: 39

40 2. Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante. Buscamos las soluciones con la formula general. De donde tenemos: Por lo tanto: 3. Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante. Por lo que la ecuación no tiene soluciones reales.. 40

41 Práctica Ecuaciones El conjunto solución de es 103. El conjunto solución de corresponde a 104. La solución de la ecuación es 41

42 105. El conjunto solución de es 106. El conjunto solución de es 107. El conjunto solución de la ecuación es 108. El conjunto solución de es 42

43 109. Si es una constante, las soluciones de la ecuación son y y y y 110. Una solución de es 111. El conjunto solución de la ecuación es 43

44 112. Una solución de la ecuación es 113. El conjunto solución es 114. Una solución de es 44

45 115. Una solución de es 116. El conjunto solución de es 117. El conjunto solución de es 118. El conjunto solución de es 45

46 119. El conjunto solución de es 120. El conjunto solución de la ecuación es 121. El conjunto solución de la ecuación es 122. El conjunto solución de la ecuación 46

47 123. Una solución de con es 124. Una solución de es 125. El conjunto solución de es 126. Si a es un constante entonces el conjunto solución de la ecuación es igual a: 47

48 127. Considere las siguientes proposiciones: I. Toda ecuación cuadrática tiene soluciones reales II. Si el discriminante de una ecuación cuadrática es entonces la ecuación tiene dos soluciones Cuales de ellas son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 128. Para la ecuación se cumple que: No tiene soluciones reales Únicamente una solución real Tiene dos raíces reales distintas Tiene más de dos soluciones reales distintas 129. El valor del discriminante de la ecuación es: 48

49 130. Analice las siguientes proposiciones referentes a la ecuación cuadrática I. Si entonces no existen soluciones reales II. Si III. Si entonces existe una única solución real entonces existen dos soluciones reales De ellas son siempre correctas Todas Solo Solo II Solo II Y III 131. Para la ecuación se cumple que: No tiene soluciones reales Únicamente una solución real Tiene dos raíces reales distintas Tiene más de dos soluciones reales distintas 132. El conjunto solución de es 49

50 133. El conjunto solución de es 134. El conjunto solución de es 135. El conjunto solución de es 136. El conjunto solución de es 50

51 137. Considere las siguientes ecuaciones. I. II. Cuáles de ellas tienen dos soluciones reales? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 138. El conjunto solución de es 139. Considere las siguientes ecuaciones. I. II. Cuáles de ellas tienen soluciones reales? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 140. El conjunto solución de es 51

52 141. La solución de es 142. El conjunto solución de es: 143. El conjunto solución de es el siguiente: 144. El conjunto solución de es el siguiente: 52

53 145. La ecuación se caracteriza pues: Tiene 2 soluciones reales. No tiene soluciones reales. Tiene dos soluciones reales iguales. Tiene tres soluciones diferentes El conjunto solución de es el siguiente: 147. El conjunto solución de es el siguiente: 148. El conjunto solución de es el siguiente: 53

54 149. El conjunto solución de es el siguiente: 150. El conjunto solución de es el siguiente: 151. El conjunto solución en, de la ecuación es igual a : 152. La ecuación se caracteriza pues: Tiene 2 soluciones reales. No tiene soluciones reales. Tiene dos soluciones reales iguales. Tiene tres soluciones diferentes. 54

55 153. Una de las raíces de la ecuación es 3 y la otra será: 154. El conjunto solución de es la siguiente: 155. El conjunto solución en R de la ecuación es: Situaciones 156. Considere el siguiente enunciado: En un rectángulo, el perímetro mide 40cm y el área es de 64cm 2 Cuáles son las dimensiones del rectángulo?. Si x representa la medida del ancho del rectángulo, una ecuación que permite resolver el problema anterior es 55

56 157. Considere el siguiente enunciado: La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es. Hallar los números. Si x representa el mayor de los números, una ecuación que permite resolver el problema anterior es 158. Analice el siguiente enunciado. Halle dos números cuyo producto sea -6 y su suma sea 4. Si x representa uno de los números, una ecuación que plantea correctamente el problema anterior corresponde a 159. Analice el siguiente enunciado. El producto de dos números es 408 y el mayor de ellos es 3 unidades mayor que seis veces el menor. Cuáles son los números?. Si x representa el número menor entonces, una ecuación que permite resolver el problema anterior es 56

57 160. Analice el siguiente enunciado. Una sala de sesiones tiene 13m de ancho y 16m de largo, y quieren alfombrarla, excepto un borde de ancho uniforme. Qué dimensiones deberá tener la alfombra si su área es de 108m?. La ecuación cuadrática que plantea este problema es 161. Dentro de un terreno, se desea cercar una parcela rectangular. Se tienen 1000m de malla para hacerlo y se desea encerrar la mayor área posible. La función cuadrática que plantea el problema del área A en función del lado x es 162. Considere el siguiente enunciado: El largo de un rectángulo es el doble que el ancho x. Si el largo y el ancho del rectángulo se duplicaran, el área sería de 400m. La ecuación cuadrática que permite calcular las dimensiones del rectángulo es 57

58 163. Si el área de un terreno rectangular mide 896m y el largo excede al ancho en 4m, entonces cuál es la longitud en metros del largo del rectángulo? 164. El producto de dos números positivos es 2. Si el número mayor excede en al menor, entonces cuál es número mayor? 165. El área de un rectángulo es. Si el largo es igual a aumentado en el triple del ancho, entonces cuál es la longitud del largo del rectángulo? 58

59 166. La suma de dos números es y su producto. Cuáles son esos números? Si el área de un rombo es 6,4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cuádruplo de la longitud de la otra diagonal, entonces cuál es la medida de la diagonal de mayor longitud? 168. El producto de dos números negativos es 90. El número mayor excede en siete a un tercio del número menor. Cuál es el número menor? 59

60 169. Considere el siguiente enunciado: La diferencia de dos números naturales es y la diferencia de sus recíprocos es. Cuáles son los números? Si x representa el menor de los números, una ecuación que permite resolver el problema anterior es 170. Considere el siguiente enunciado: El área de un rectángulo es 225 y su perímetro es 95. Cuánto mide de ancho el rectángulo? Si la medida del ancho se representa con a entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es 171. Considere el siguiente enunciado: El área de un rectángulo es de 48 y su perímetro es de 28, Cuáles son las dimensiones de este rectángulo? Si x representa la medida del ancho, entonces una ecuación que nos permite resolver el problema, es: 60

61 172. El producto de dos números positivos es 4. Si el número mayor excede en al menor, entonces considerando a x como el número mayor, la ecuación que permite encontrar el valor de x es: 173. Analice el siguiente problema. Entre Diego y Alejandra resolvieron 420 problemas. Alejandra resolvió tres problemas menos que el doble de problemas de los que resolvió Diego. Cuántos problemas resolvió Diego? Si x representa el número de problemas que resolvió Diego, una ecuación que permite resolver el problema anterior es: 174. En un rectángulo, la suma de las medidas de dos lados consecutivos es 120 cm. Si la longitud de uno de ellos excede en 30 cm a la longitud del otro, entonces, cuál es la medida del lado de mayor longitud? 61

62 175. Considere el siguiente enunciado. El producto de dos números es 80. El número mayor excede en seis a la quinta parte del número menor. Cuál es el número menor? Si x representa el número menor, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es 176. Considere el siguiente enunciado: "La suma de un número positivo y doce veces su recíproco es igual a 8 Cuál es el número? Si x representa el número buscado, una ecuación, con la cual se resuelva este problema, es: 177. Considere el siguiente enunciado: "La longitud de un terreno rectangular excede en 12m a la longitud del ancho. Si el área de este terreno es cuál es la medida del ancho? Si x representa la medida del ancho, entonces una ecuación, con la cual se resuelva este problema, es: 178. El producto de dos números positivos es 4. Si el número mayor excede en 80 al menor, entonces, considerando a x como el número mayor, la ecuación mediante la cual se puede encontrar el valor numérico de x es: 62

63 179. El área de un rectángulo es. Si el largo es el triple del ancho aumentado en 4m, entonces, considerando que x representa la medida del ancho, una ecuación con la cual se pueda encontrar el valor numérico de x es: 180. Analice el siguiente enunciado: "La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. Hace 8 años la edad del padre era cuatro veces la que tenía su hijo (,Cuántos años tiene actualmente el padre?" Si x representa la edad actual del hijo, una ecuación con la cual se resuelva el problema anterior es: 181. Analice el siguiente problema: "Luis tiene 8 años más que Roberto. Si la edad de Luis es siete quintos de la edad de Roberto Cuántos años tiene Luis?" Si x representa la edad de Luis, una ecuación que resuelve el problema anterior es: 182. Considere el siguiente enunciado: "Si el triple de un número se aumenta en 3 unidades, el resultado es igual al cuadrado del número inicial, disminuido en 6 unidades. Halle ese número." Si x representa al número buscado, una ecuación, con la cual se resuelva el problema anterior, es: 63

64 Sistemas de ecuaciones Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos: 1. Sustitución 2. Igualación 3. Reducción Método de sustitución Tomemos el siguiente sistema Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Despejemos la en la primera ecuación dejándola en términos de. Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado Ahora tenemos una ecuación con una sólo incógnita y resolvemos Ya conocido el valor de lo sustituimos en la expresión del valor de que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema 64

65 Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será e. Método de igualación. Tomemos el siguiente sistema Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita Igualamos ambas ecuaciones Este valor de lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de Método de reducción Tomemos el siguiente sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema 65

66 Por lo tanto y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuación del sistema obtenemos Sistemas de ecuaciones Práctica 183. El valor de x en la solución de es A 184. Si el valor de x en el sistema es entonces el valor de y corresponde a 66

67 185. El conjunto solución del sistema corresponde a 186. El valor de y que es solución del sistema de ecuaciones 187. El conjunto solución del sistema corresponde a 67

68 Soluciones. Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta 1 D 26 B 51 C 76 B 2 B 27 C 52 C 77 C 3 D 28 B 53 C 78 B 4 A 29 A 54 B 79 D 5 A 30 D 55 C 80 A 6 C 31 B 56 B 81 B 7 C 32 C 57 B 82 D 8 D 33 C 58 B 83 D 9 B 34 D 59 C 84 C 10 A 35 B 60 B 85 B 11 C 36 B 61 B 86 A 12 A 37 B 62 A 87 D 13 C 38 A 63 A 88 A 14 C 39 B 64 D 89 C 15 C 40 A 65 D 90 C 16 B 41 C 66 D 91 A 17 C 42 A 67 C 92 A 18 D 43 B 68 A 93 C 19 A 44 B 69 D 94 C 20 A 45 C 70 B 95 B 21 A 46 B 71 A 96 C 22 C 47 C 72 D 97 C 23 B 48 B 73 C 98 B 24 C 49 C 74 A 99 B 25 C 50 A 75 A 100 C 68

69 101 C 126 B 151 D 176 D 102 B 127 B 152 B 177 B 103 D 128 D 153 D 178 A 104 C 129 D 154 D 179 A 105 A 130 D 155 B 180 C 106 C 131 A 156 A 181 A 107 B 132 C 157 A 182 A 108 C 133 D 158 C 183 D 109 A 134 D 159 C 184 B 110 B 135 B 160 D 185 C 111 A 136 C 161 B 186 D 112 B 137 C 162 C 187 B 113 D 138 B 163 C 114 C 139 D 164 A 115 A 140 B 165 D 116 D 141 D 166 D 117 C 142 A 167 C 118 B 143 C 168 C 119 C 144 A 169 B 120 B 145 A 170 B 121 C 146 A 171 B 122 C 147 D 172 C 123 A 148 B 173 A 124 C 149 A 174 B 125 A 150 A 175 D 69