TEMA 5 ANEXO II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Antonia Robles Cárdenas
hace 6 años
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1 TEMA 5 ANEXO II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A) INTRODUCCIÓN Una ecuación puede tener dos incógnitas. Después de simplificar nos queda una ecuación del tipo ax + by = c, donde x e y son las incógnitas, mientras que a y b son los respectivos coeficientes, que pueden ser números positivos o negativos, o incluso fracciones. El número c se llama término independiente, e igualmente puede ser positivo, negativo o fracción. Ejemplos: x + y = 7 2x + 3y = 15 5x -2y = 7/8 Una ecuación así no tiene una única solución, sino que tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, en la ecuación x + y = 7, la solución puede ser que x = 1 y = 6, pero también podría ser x = 2 y = 5, o también x = 3 y = 4, o bien x = -1 y = 8 hay infinitas soluciones, por lo que no se puede resolver. Para resolverlo necesitamos una segunda ecuación donde aparezcan las mismas incógnitas, es decir, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo: x + y = 7 x y = 3 Ahora sí se puede resolver. Hay infinitas posibilidades de dos números que sumados den 7, pero sólo hay una posibilidad de que sumados den 7 y al mismo tiempo, restados den 3, o sea, que cumplan al mismo tiempo las dos ecuaciones. En este caso la respuesta es 5 y 2. En general un sistema de ecuaciones tiene el siguiente formato: ax + by = c dx + ey = f Donde a, b, d, e son los coeficientes de las incógnitas, mientras que c, f son los términos independientes. Todos esos valores pueden ser positivos, negativos, fracciones B) Sistemas equivalentes Del mismo modo que existen ecuaciones equivalentes, también existen sistemas equivalentes. Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones (para x y para y).

2 Reglas de equivalencia: Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se le suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente. Ejemplo: Sea el sistema Si en la primera ecuación resto 8 en ambos miembros, el nuevo sistema quedaría: x + y 8 = 2 Este sistema es equivalente al anterior, tendría las mismas soluciones. Si se multiplica o divide los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número, resulta otro sistema equivalente. Ejemplo: Sea el sistema Si multiplico por 2 todos los términos de la 2ª ecuación, el nuevo sistema quedaría así: 4x 6y = 10 Este sistema es equivalente al anterior, tendría las mismas soluciones. Si a una ecuación del sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene un sistema equivalente. Ejemplo: Sea el sistema Voy a construir una nueva ecuación sumando las dos ecuaciones que tengo, es decir: x + y + 2x -3y = simplificando queda 3x -2y = 15. Esta nueva ecuación es equivalente a las anteriores, tiene las mismas soluciones para x e y.

3 C) Resolución de sistemas. Método de sustitución. Para resolver sistemas hay varios métodos. El método de sustitución consiste en lo siguiente: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye esa expresión en la otra ecuación. 3. Se resuelve esta segunda ecuación en la cual ya solo hay una incógnita. 4. Una vez resuelta, el valor obtenido se sustituye en la ecuación despejada al principio para obtener el valor de la otra incógnita. Ejemplo: Sea el sistema Despejamos x en la primera ecuación. x = 10 y Dicho valor lo sustituimos en la segunda ecuación: 2(10 y) - 3y = 5 Quitamos el paréntesis: 20 2y 3y = 5 Pasamos el 20 al otro lado: - 2y - 3y = 5 20 Simplificamos -5y = -15 Cambio el signo de los dos 5y = 15 Despejamos: y = 15/5 y = 3 Ya tenemos una incógnita, pero nos falta la otra. Para averiguarla nos vamos al principio, donde la despejamos. Recordamos: x = 10 y

4 Pero ahora ya sabemos que y = 3, por tanto x = 10 3; x = 7 Luego las soluciones son x = 7; y = 3. Este método es útil cuando resulta fácil despejar una incógnita, como en este ejemplo que hemos usado D) Resolución de sistemas. Método de igualación. Este método es útil cuando en las dos ecuaciones resulta fácil despejar la misma incógnita. Ejemplo: En el sistema x + 5y = 19 x 2y = -2 Si quisiéramos despejar la y sería un tanto engorroso, pues aparecerían denominadores. Pero en cambio despejar la x es fácil en ambas ecuaciones. El método de igualación consiste en lo siguiente: 1. Despejamos una incógnita en la primera ecuación. 2. Despejamos esa misma incógnita en la segunda ecuación. 3. Igualamos ambos valores. 4. Resolvemos la ecuación que nos queda, que solo tiene una incógnita. 5. Una vez resuelta sustituimos ese valor en el lugar donde despejamos la primera incógnita para averiguar el valor de ésta. Ejemplo: x + 5y = 19 x 2y = -2 Despejamos x en la primera: x = 19 5y Despejamos x en la segunda: x = y Como x = x, igualamos los valores despejados 19 5y = y Resolvemos la ecuación -5y - 2y = Cambio de signo a todo 5y + 2y =

5 7y = 21 y = 21/7 = 3 Y ahora reemplazos y por su valor, 3, en cualquiera de las dos ecuaciones donde despejamos x, por ejemplo en la primera: X = 19 5y = = = 4 Soluciones, x = 4; y = 3 E) Resolución de sistemas. Método de reducción. El método de reducción consiste en obtener un sistema equivalente sumando o restando a una de las ecuaciones la otra, de manera que la nueva ecuación resultante tenga una sola incógnita. El método consiste en lo siguiente: 1. Multiplicamos una o ambas ecuaciones por números convenientes para conseguir un sistema donde una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero con signo contrario. 2. Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas. 3. Obtenemos una ecuación con una sola incógnita, y la resolvemos. 4. Sustituimos el valor de la incógnita que hemos hallado en una cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, y la resolvemos para hallar la otra incógnita. Ejemplo: Sea el sistema siguiente: 5x + 3y = 7 3x + 4y = 2 Multiplico la primera ecuación por 3. Queda 15x + 9y = 21 Multiplico la segunda ecuación por 5. Queda 15x + 20y = 10 Ahora a la primera ecuación (o a la segunda, pero en este caso resulta más fácil si elijo la primera) le cambio de signo a todos sus términos Queda -15x 9y = -21 Ahora sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro

6 Sería: -15x + 15x -9y + 20y = Simplificando queda 11y = -11 Por tanto y = -11/11 = -1 Ya sabemos una incógnita. Para averiguar la otra sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la primera. 5x + 3y = 7 5x + 3 (-1) = 7 5x -3 = 7 5x = x = 10 x = 10/5 =2. Luego la solución al sistema es x= 2; y = -1. Observa que los números que elegimos al principio para multiplicar las ecuaciones no fueron al azar. Yo había decidido reducir la x, y por eso utilicé para multiplicar los coeficientes de la x, el 3 y el 5, multiplicando cada una por el de la otra, para que en ambos saliera 15. Otro ejemplo: 5x + 7y = -2 3x + 3y = 0 Puedo decidir hacerlo eliminando la x o la y. Voy a eliminar la x. Para ello multiplico la primera ecuación por el coeficiente que lleva la x en la segunda, en este caso por 3. Queda 15x + 21y = -6 Ahora multiplico la segunda ecuación por el coeficiente que tiene x en la primera, 5 Queda 15x + 15y = 0 Y ahora cambio de signo todos los términos de una de la ecuaciones, en este caso voy a cambiar la segunda, que quedaría: -15x -15y = 0 Ahora sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones: 15x -15x +21y -15y = Simplificando sale: 6y = -6 Luego y =-6/6 = -1 Ya tengo y, ahora para averiguar x sustituyo ese valor averiguado en cualquiera de la ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda. 3x + 3y = 0 3x + 3 (-1) = 0 3x -3 = 0 3x = 3 x = 3/3 = 1 Soluciones al sistema: x=1; y=-1

7 Y otro ejemplo: 4x + 2y = 10 13x 4y = 1 Voy a hacerlo eliminando la y, pero valdría también si decido eliminar la x Multiplico la primera ecuación por 4 Queda 16x + 8y = 40 Multiplico la segunda ecuación por 2 Queda 26x -8y = 2 Ahora sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones. Observa que aquí no nos hecho falta cambiar de signo nada, porque ya están escritas de por sí con los signos adecuados para que una de las incógnitas desaparezca. 16x +26x + 8y -8y = Simplificando queda: 42x = 42 Luego x = 42/42 = 1 Ahora sustituimos ese valor en una cualquiera de la ecuaciones iniciales, por ejemplo en la primera, que parece más fácil. 4x + 2y = y = y = 10 2y = y = 6 y = 6/2 =3 Por tanto, las soluciones del sistema son: x = 1; y = 3. Este método de reducción resulta útil cuando las incógnitas llevan coeficientes distintos de 1. Porque si intentáramos hacerlo por el método de sustitución aparecerían denominadores y sería más incómodo. Por ejemplo, el sistema x + 2y = 8 2x + 3y = 14 Resulta fácil hacerlo por sustitución, despejando x en la primera ecuación, x = 8-2y y después sustituyendo ese valor en la segunda ecuación. Pero por ejemplo en éste otro: 5x -3y = 21 3x +4y = 30

8 Si quisiéramos hacerlo por sustitución resultaría engorroso, pues al despejar x, por ejemplo en la primera ecuación, quedaría x = (21 + 3y)/5 y al sustituir dicho valor en la otra ecuación tendríamos paréntesis y denominadores, que habría que empezar eliminando. En cambio por reducción resulta mucho más sencillo. En este caso es más cómodo eliminar la y en vez de la x porque ya tiene los signos contrarios Multiplicamos la primera por 4 y la segunda por 3 Quedan: 20x 12y = 84 9x + 12y = 90 Sumamos término a término: 20x + 9x +12y -12y = x = 174 x = 174/29 = 6 Ahora sustituimos ese valor de 6 en una de la ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda: 3x +4y = y = y = 30 4y = y = 12 y= 12/4 = 3 Solución x=6; y=3.

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