IGUALDADES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: IDENTIDADES Y ECUACIONES

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José Francisco Quiroga Redondo
hace 7 años
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1 IGUALDADES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: IDENTIDADES Y ECUACIONES IDENTIDADES Y ECUACIONES.- Dos epresiones algebraicas separadas por el signo igual (=), forman una igualdad entre epresiones algebraicas. Las hay de distintas clases: Una identidad es una igualdad entre dos epresiones algebraicas que se cumple para todos los valores que demos a las variables (letras). Ejemplo: = 2 se cumple para todos los valores de. Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas que se cumple sólo para algunos valores de las variables, llamados soluciones de la ecuación. Ejemplo: 1 = se cumple sólo para = 2 (solución), ya que: 2 1 = Una igualdad falsa o absurdo es una igualdad entre epresiones algebraicas que no se cumple para ningún valor de las variables. Ejemplo: = + no hay ningún número que sumado con valga lo mismo que antes. Centraremos nuestra atención en las ecuaciones. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN.- Para manejar una ecuación debes aprender a nombrar sus elementos: Miembros: Son las epresiones algebraicas que hay a cada lado del signo igual (=). La epresión algebraica que hay delante del signo =, se llama primer miembro y a la que hay detrás del signo =, se le llama segundo miembro. Ejemplo: 4 = primer miembro segundo miembro Términos: Ejemplo: Son cada uno de los sumandos que forman los dos miembros de la ecuación. 4 = (tiene cuatro s) Incógnitas: Son las variables (letras) que intervienen en la ecuación. Ejemplo: En la ecuación: 4 = la incógnita es la Soluciones: Son los valores por los que hay que sustituir las incógnitas (letras) para que se cumpla la igualdad. Ejemplo: 4 = tiene como solución: = pues: 4 = 2 + 1

2 ECUACIONES EQUIVALENTES.- Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen eactamente las mismas soluciones. Ejemplo: = (Solución: = ) = 1 (Solución: = ) Luego estas dos ecuaciones son equivalentes. RESOLVER UNA ECUACIÓN.- Resolver una ecuación es encontrar todas sus soluciones. Para ello hay que averiguar los valores que se esconden detrás de las incógnitas para que se cumpla la igualdad. Ejemplos: 4 + = 7 Solución: = = Solución: = 8 4 = 80 Solución: = 20 = 4 Solución: = 12 Antes de aprender algo nuevo para resolver ecuaciones, ten en cuenta que en muchas ocasiones te puedes defender con lo que sabes (tanteo). Compruébalo resolviendo estas ecuaciones: Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones usando el tanteo: a) + = 8 b) 6 = c) 4 = d) 2 = 16 e) 2 = 4 f) = Pero, en casi todas las ecuaciones, el cálculo de las soluciones no se puede conseguir por tanteo. DESPEJAR LA INCÓGNITA: Para resolver una ecuación, hemos de dar una serie de pasos, transformándola en otras equivalentes y cada vez más sencillas, hasta conseguir que la incógnita ( ) quede sola en uno de los dos miembros, quedando en el otro miembro un número conocido (que es la solución). Entonces se dice que hemos despejado la incógnita. Hay sólo dos tipos de transformaciones que permiten pasar de una ecuación a otra equivalente y más sencilla:

3 Aunque en los ejemplos siguientes sepas encontrar la solución tanteando, es importante que aprendas los procedimientos que se eponen en ellas. 1ª TRANSFORMACIÓN: Ejemplo 1: = Sumamos en cada miembro + = Re ducimos s + semejantes = 8 ( despejada ) Ejemplo 2: Re stamos 2 = 6 + en cada miembro = Re ducimos s semejantes = 6 ( despejada ) Si sumamos o restamos el mismo (número o monomio) a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente Ejercicio.- Resolver las ecuaciones siguientes, usando este procedimiento: a) + 2 = 7 b) 7 = 2 c) 6 = 2 d) 11 = + 4 e) 8 = 2 f) 2 = 7 + Ejemplo : 2ª TRANSFORMACIÓN: = 1 Divi dim os entre cada miembro : =1 : Que se ep resa = 1 Operando = ( despejada ) Ejemplo 4: 4 = Multiplicamos por 4 cada miembro 4 = 4 4 Operando = 12 ( despejada ) Si multiplicamos o dividimos por el mismo número distinto de 0 los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente Ejercicio.- Resolver las ecuaciones siguientes usando este procedimiento: a) 2 = 14 b) = 0 c) 6 = 8 d) = e) 2 = f) = 6 Ejercicio.- Resuelve combinando las dos técnicas anteriores: a) 2 1 = b) + 2 = 12 c) + = 2 2 d) 1 = 2

4 CASOS ESPECIALES: La ecuación: 0 = no tiene solución, ya que 0 = 0, valga lo que valga. Es una igualdad falsa o absurdo. La ecuación: 0 = 0 tiene como solución a todos los números, se cumple valga lo que valga. Es una identidad. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL SENCILLA.- Una ecuación lineal o de grado1 es una ecuación que tiene todos sus s de grado menor o igual que 1. Ejemplo: = Para resolver una ecuación sencilla de 1º grado, seguiremos las siguientes pautas: Reducimos en cada miembro los s semejantes (los que tienen la misma parte literal) Usamos la 1ª transformación, hasta conseguir que queden en uno de los dos miembros todos los s con la incógnita y en el otro, los s sin incógnita. Reducimos, de nuevo, en cada miembro los s semejantes, consiguiendo que la ecuación quede de la forma: a = b (a y b números conocidos). Usamos la 2ª transformación para terminar de despejar la incógnita. Ejemplo: Resolver la ecuación: = Reducimos s semejantes: + 4 = + 10 Aplicamos la 1ª transformación: = Reducimos s semejantes: = + 6 Aplicamos 1ª transformación: = + 6 Se reducen s semejantes: 2 = 6 Aplicamos 2ª transformación: 2 6 = 2 2 Operamos: = Solución Podemos comprobar que esta es la solución de la ecuación, sustituyendo por en la ecuación y probando que la igualdad numérica que resulta de efectuar las operaciones indicadas, es verdadera: = = = 19 (identidad numérica).

5 Ejercicios.- Resolver las ecuaciones siguientes: 1) a) +1 = 7 b) + 10 = 4 c) 8 = + 2 d) = 9 + e) = 8 f) + 4 = g) 2 = 7 h) 16 = 10 2) a) 2 = 6 b) 18 = c) 2 = 10 d) 1 = e) 1 = f) 12 = 6 g) + = 16 h) 7 = 12 i) 6 2 = 8 j) 12 8 = 1 7 k) 2 = 7 l) 4 = ) a) 2 = + 8 b) = + 14 c) 4 6 = d) = e) + = + f) = g) 4 = 2 1 h) = i) + 4 = j) 4 + = 1+ k) 2 = l) 10 2 = + 4 ECUACIONES CON PARÉNTESIS.- Se desarrollan los paréntesis y se procede como para las anteriores. Ejercicio: Resolver las ecuaciones: a) 8 ( 1 2 ) = 11 b) ( 4 ) ( 1) = 0 c) ( 4 ) ( 1) = d) 2 ( + ) = 14 e) ( + 2) = 18 f) 2 ( 1) = g) ( + 1) = 2 h) = 6 ( 7) i) 11 ( + 7) = ( 6) j) 6 ( 1) 4 ( 2) = k) ( 2 1) + 2 ( 1 2) = l) 2 ( 1 ) ( 2 + 1) = 2 + m) ( 2) + 4 = 2 ( 1) + 1 n) ( 2 1) = 7 ( 1) + 2 ñ) 6 ( 2) = ( 1) o) ( + ) = 2 ( + 2) p) ( 2 1) + = 1 4 ( 2) q) ( 1 ) = ( 1) + 2 r) 6 8 ( + 1) = 2 ( + 2) ( + ) ECUACIONES CON DENOMINADORES.- Para resolver una ecuación con denominadores se multiplican, por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores, los dos miembros de la ecuación y se opera, consiguiendo así una ecuación equivalente a la inicial sin denominadores. Se siguen después los procedimientos anteriores.

6 Ejemplo 1: m. c. m. 1 = (,1 ) = desarrollamos 1 = paréntesis = 9 operamos dividiendo antes de multiplicar = 9 Ejemplo 2: sumamos a los dos miembros + = 9 + operando = 12 + m. c. m. = ( 2, ) 2 =6 6 + desarrollamos = 6 paréntesis = operamos dividiendo antes de multiplicar + 2 = 0 operando = 6 reducimos s semejantes = 0 divi dim os entre = 0 Ejercicios: Resolver las ecuaciones: a) 10 = 2 b) = 6 c) + = 9 4 d) + = e) 2 + = 6 f) + + = 9 g) = h) = 12 i) + + = 2 j) + 2 = k) + 9 = l) = + 10 m) + 10 = n) 2 2 = ñ) + 4 = 2

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