S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas

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José Luna Redondo
hace 7 años
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1 1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para empezar, debemos notar que cuando resolvimos un S.E.L. de 2 ecuaciones con dos incógnitas, en los métodos de eliminación (suma y resta), sustitución e igualación, el propósito que perseguimos siempre fue de transformar el S.E.L. en un problema de una ecuación lineal con una sola incógnita. Es decir, redujimos un problema nuevo a un tipo de problema que ya sabemos cómo resolver. En este caso haremos lo mismo. x + y + z = 6 x y + z = 2 Ejemplo 1 En este primer ejemplo utilizaremos el método de suma y resta. Para esto, primero debemos decidir qué variable vamos a eliminar. Por ejemplo, podemos eliminar la variable z. Sumamos las primeras dos ecuaciones del S.E.L.: x + y + z = 6 2 x + 2 y = 6 Así hemos obtenido una ecuación que tiene solamene las variables x, y. Podemos simplificar la ecuación dividiendo ambos lados de la igualdad entre 2 y obtener: x + y = 3 A esta nueva ecuación la llamaremos la ecuación A Ahora vamos a sumar las ecuaciones dos y tres: Esta última ecuación implica que 1 x = 1. x y + z = 2 2 x = 2 De la ecuación A sabemos que x + y = 3, pero x = 1, por lo que necesariamente, y = 2. De la primera ecuación del S.E.L. y con los valores de las variables x, y podemos encontrar el valor de la variable z. Para esto, sustituimos los valores que ya conocemos en cualquiera de las ecuaciones del S.E.L.. x + y + z = z = 6 1 Traduce a palabras la ecuación para encontrar su solución. z = 6 3 = 3

2 2 Entonces, la solución del S.E.L. es: x = 1, y = 2, z = 3. Vamos a verificar la solución: x + y + z = = = 0 x y + z = = 2 Al resolver un S.E.L. de 3 ecuaciones con 3 incógnitas podemos usar cualquiera de los métodos que ya hemos estudiado. En el siguiente ejemplo aplicaremos el método de sustitución. Ejemplo 2 x + y + z = 10 x y + z = 6 Iniciamos despejando la variable x de alguna de las ecuaciones. Elegimos la segunda ecuación: x = z y Ahora sustituimos este valor de x en las otras dos ecuaciones. Empezamos sustituyendo en la primera ecuación: (x) + y + z = 10 (z y) + y + z = 10 2 z = 10 z = 5 Por suerte hemos encontrado el valor de z. Ahora vamos a sustituir el valor de y en la tercera ecuación: x y + z = 6 (z y) y + z = 6 2 y + 2 z = 6 Esta última ecuación puede simplificarse si dividimos entre dos ambos lados de la igualdad: y + z = 3 Pero ya sabemos que z = 5, por lo que: y + z = 3 y + 5 = 3 Implica que y = 2.

3 3 Para encontrar el valor de x utilizamos el primer despeje que hicimos: x = z y x = 5 2 = 3 Con lo que la solución del S.E.L.es: x = 3, y = 2, z = 5. Vamos a verificar el resultado: x + y + z = = = 0 x y + z = = 6 Igual pudimos haber sustituido el valor de la variable z que encontramos al inicio y simplificar el problema aún más. El siguiente ejemplo se resuelve con el método de igualación. x + y + z = 10 x + y z = 4 x y + z = 8 Ejemplo 3 Empezamos despejando la variable x de dos ecuaciones. Elegimos las primeras dos ecuaciones del S.E.L.: x + y + z = 10 x = 10 y z x + y z = 4 x = 4 y + z Ahora igualamos esos despejes y obtendremos una ecuación: x = 10 y z = 4 y + z 6 = 2 z Que implica z = 3. Ahora vamos a simplificar el problema. En la siguiente igualación, vamos a sustituir el valor que ya conocemos. Despejamos x de nuevo, pero ahora de las últimas dos ecuaciones: x + y z = 4 x = 4 y + z x y + z = 8 x = 8 + y z Y al igualar obtenemos: x = 4 y + z = 8 + y z 2 y + 2 z = y + 2 z = 4

4 4 Simplificamos la ecuación dividiendo entre dos ambos lados de la igualdad: Pero ya sabíamos que z = 3, por lo que y = 1. y + z = 2 Finalmente, podemos encontrar el valor de la variable x a partir de cualquiera de los despejes: x = 8 + y z x = = 6 Ahora verificamos que la solución sea correcta: x + y + z = = 10 x + y z = = 4 x y + z = = 8 El siguiente ejemplo se resuelve a través del método de los determinantes. Para esto, primero definimos cómo encontrar un determinante de tres por tres. Definición 1 Determinante de tercer orden Se calcula con la siguiente relación: a b c d e f = (a)(e)(i) + (d)(h)(c) + (g)(b)( f ) (c)(e)(g) ( f )(h)(a) (i)(b)(d) g h i Ejemplo 4 x + y + z = 10 x + y z = 4 x y + z = 2 Primero encontramos el determinante principal del S.E.L.: = = (1) + ( 1) + ( 1) (1) (1) (1) = Dado que = 0, el S.E.L. tiene solución única. Ahora calculamos los determinantes auxiliares para cada una de las variables. Recuerda que en cada caso sustituimos la columna de las constantes por la columna de la variable correspondiente. Empezamos calculando el determinante auxiliar en x: x = = (10) + ( 4) + ( 2) (2) (10) (4) =

5 5 Ahora calculamos el determinante auxiliar en y: y = = (4) + (2) + ( 10) (4) ( 2) (10) = Y finalmente, calculamos z : z = = (2) + ( 10) + (4) (10) ( 4) (2) = Ahora podemos calcular el valor de cada una de las variables: x = x = 12 4 = 3 y = y = 16 4 = 4 z = z = 12 4 = 3 Ahora verifica que la solución sea correcta. El siguiente ejemplo es una aplicación sencilla de los S.E.L. s de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Aarón, Bernardo y Claudio están jugando canicas. Aarón y Bernardo tienen 2 canicas más que el doble de lo que tiene Claudio. Entre Aarón y Claudio tienen 7 canicas más de las que tiene Bernardo, y entre los tres juntan 47 canicas. Cuántas tiene cada uno de ellos? Ejemplo 5 Primero debemos escribir el S.E.L. que modela esta situación. El texto del problema nos dice que «Aarón y Bernardo tienen 2 canicas más que el doble de lo que tiene Claudio.» Esto significa que si sumamos las cantidades de canicas que tiene Aarón más las que tiene Bernardo, esto será igual al doble de las que tiene Claudio más dos. Matemáticamente, si A representa la cantidad de canicas que tiene Aarón, B las que tiene Bernardo, y C las que tiene Claudio, tenemos: A + B = 2 C + 2 Lo cual puede reescribirse de la siguiente forma: A + B 2 C = 2 La siguiente oración del problema dice: «Entre Aarón y Claudio tienen 7 canicas más de las que tiene Bernardo», esto es: A + C = B + 7 Que puede escribirse como: A B + C = 7.

6 6 La siguiente oración del problema dice: «Entre los tres juntan 47 canicas». Esto es: A + B + C = 47 Entonces, el S.E.L. que modela esta situación es: Ahora debemos resolverlo. A + B 2 C = 2 A B + C = 7 A + B + C = 47 Vamos a utilizar el método de los determinantes. Calculamos primero el determinante principal : = = ( 1) + ( 2) + (1) (2) (1) (1) = Dado que = 0, el S.E.L. tiene solución única. Así que podemos seguir calculando los determinantes auxiliares: A = = ( 2) + ( 14) + (47) (94) (2) (7) = B = = (7) + ( 94) + (2) ( 14) (47) (2) = C = = ( 47) + (2) + (7) ( 2) (7) (47) = Y a partir de estos valores podemos conocer cuánto tiene cada uno de ellos: A = A = 72 6 = 12 B = B = = 20 C = C = 90 6 = 15 Ahora verificamos que la solución sea correcta. Primera Condición: «Aarón (12) y Bernardo (20) tienen 2 canicas más que el doble de lo que tiene Claudio (15):» se cumple, porque: = 2 (15) + 2 Segunda Condición: «Entre Aarón y Claudio tienen 7 canicas más de las que tiene Bernardo:» se cumple, porque: =

7 7 Tercera Condición: «Entre los tres juntan 47 canicas:» se umple, porque: = 47 Entonces, Aarón tiene 12 canicas, Bernardo tiene 20 y Claudio tiene 15. Tres bombas de distintos colores se utilizan para llenar una piscina. Cuando trabajan solamente las bombas amarilla y blanca tardan 12 minutos. Cuando trabajan solamente las bombas blanca y café tardan 6 minutos y 40 segundos, es decir 6 + 2/3 minutos. Cuando trabajan las bombas amarilla y café tardan 7 minutos y medio, es decir, 7.5 min. Cuánto tardarán las tres en llenar la piscina trabajando juntas? Reto 1 Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo del libro Matemáticas II escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 17 de septiembre de Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org

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