Máximos y mínimos usando la segunda derivada

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Juan José Domínguez Rodríguez
hace 7 años
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1 Máimos mínimos usando la segunda derivada Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máimos mínimos de funciones. Ya vimos que la función = 2 2 tiene un máimo en el punto = De la gráfica se observa inmediatamente que la pendiente de las rectas tangentes va disminuendo conforme avanzamos sobre el eje. Esto es claro al observar que para valores de negativos, las pendientes de las rectas tangentes son positivas, para valores de positivos las rectas tangentes son negativas. Esto significa que la razón de cambio de la derivada de la función en el intervalo que vemos en la gráfica es negativa, pues las pendientes van decreciendo. En conclusión, si la segunda derivada de la función evaluada en un punto crítico es negativa, entonces el punto crítico corresponde a un máimo. Un análisis semejante puede audarte a convencerte que si la segunda derivada de una función en un punto crítico es positiva, entonces el punto crítico es un mínimo de la función. Pero tenemos un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función evaluada en el punto crítico es cero. En este punto, la derivada deja crecer (o decrecer) empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llmaremos punto de infleión. Criterio de la segunda derivada Sea = f () una función c uno de sus puntos críticos. Entonces, si f ( c ) < 0, la función tiene un máimo en = c si f ( c ) > 0, la función tiene un máimo en = c Definición 1 si f ( c ) = 0, la función tiene un punto de infleión en = c 1/7

2 Utiliza el criterio de la segunda derivada para verificar que el punto crítico = 0 de la función: Ejemplo 1 = 2 2 es un máimo. Si la segunda derivada evaluada en = 0 es negativo, tenemos que la pendiente está decreciendo alrededor de ese punto crítico. Es decir, antes de = 0 la pendiente es positiva después es negativa. La segunda derivada de la función es: d 2 = 2 La segunda derivada de la función siempre es negativa. Entonces, el único punto crítico de la función es un máimo. Ejemplo 2 Calcula los máimos mínimos de la función: = La primera derivada de la función: d d = Igualando a cero la primera derivada obtenemos una ecuación de cuarto grado. Podemos utilizar la sustitución: u = 2 para simplificarla a una ecuación de segundo grado: Ahora vamos a resolver la ecuación: 3 u 2 2 u 12 = 0 u = b ± b 2 4 ac 2 a = ( 2) ± ( 2) 2 4 (3)( 12) 2 (3) = 2 ± 4 ( 144) = 2 ± 148 Entonces, u 1 = u 2 = /7

3 Es evidente que u 2 < 0, luego: Dado que u 2 < 0, al hacer: , = = ± obtenemos raíces 1 = complejas = Ahora calculamos la segunda derivada de la función: d 2 = Al evaluarla en los puntos críticos obtenemos: ( 1 ) d 2 = 12 ( ) 3 4 ( ) > 0 (Mínimo) ( 1 ) d 2 = 12 ( ) 3 4 ( ) < 0 (Máimo) Entonces la función tiene un máimo en el punto = un mínimo en = Se te queda como ejercicio verificar que los puntos críticos han sido correctamente clasificados utilizando el criterio de la primera derivada (usando una tabla de valores de, f () f ()) graficar la función. Calcula los máimos mínimos de la función: = ln() Ejemplo 3 usando el criterio de la segunda derivada. Empezamos calculando los puntos críticos de la función. Primero calculamos la primera derivada: d d ( ) 1 = + ln() (1) = 1 + ln() Ahora igualamos la primera derivada a cero resolvemos: ln() = 1 e ln() = = e 1 = 1 e Ahora calculamos la segunda derivada de la función: d 2 = 1 3/7

4 Puesto que e > 0, al evaluar la segunda derivada en el único punto crítico de la función obtenemos un número positivo. Esto nos indica que el punto crítico corresponde a un mínimo = ln() Calcula los máimos mínimos de la función: Ejemplo 4 = sin cos en el intervalo (0, π) usando el criterio de la segunda derivada. Para calcular la primera derivada usaremos la regla del producto: Definiendo: u = sin, v = cos, tenemos que: du d = cos dv d = sin Sustituendo estos valores en la regla de derivación correspondiente obtenemos: d d = (sin )( sin ) + (cos )(cos ) = cos 2 sin 2 Ahora calculamos los puntos críticos de la función igualando a cero la primera derivada: cos 2 = sin 2 cos = sin Los valores para los cuales sin cos son iguales en valor absoluto son = π/4 = 3 π/4. Esto se observa fácilmente en una circunferencia unitaria: 4/7

5 3π/4 π/4 Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función: = 2 cos sin 2 sin cos = 4 sin cos d2 Al evaluar en los puntos críticos obtenemos: ( π ) ( π ) d 2 = 4 sin cos 4 4 =π/4 ( ) ( ) = 4 Por lo que tiene un máimo en = π/4. = 2 Ahora vamos a evaluar la segunda derivada en el otro punto crítico: ( ) ( ) 3π 3π d 2 = 4 sin cos 4 4 =3π/4 ( ) ( ) = 4 Por lo que ahora se trata de un mínimo. = 2 La gráfica de esta función es la siguiente: 5/7

6 = sin cos Calcula los máimos mínimos de la función: Ejemplo 5 = utilizando el criterio de la segunda derivada. Primero calculamos la primera derivada de la función: d d = ( ) = = 12 ( + 1) ( 4) Los puntos críticos de la función son evidentes a partir de la factorización de la derivada: 1 = 0, 2 = 1, 3 = 4 Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función para clasificar los puntos críticos evaluando en ella: Se te queda como ejercicio graficar la función. d 2 = d 2 = 0 (Mínimo) = 1 d 2 = 48 (Máimo) =0 d 2 = 240 (Mínimo) =4 En la maoría de las aplicaciones de los máimos mínimos de funciones trataremos de optimizar un objetivo. /7

7 En las siguientes secciones veremos problemas aplicados donde se requiera de la optimización de alguna cantidad que depende funcionalmente de otra. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 01 de agosto de Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico Espero que estos trucos se distribuan entre profesores de matemáticas de todos los niveles sean divulgados entre otros profesores sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m 7/7

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