Cálculo de derivadas

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1 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por P y Q b) la distancia media recorrida entre s y 6 s c) la pendiente de la recta tangente t en el punto P Espacio (m) f() Q(6, 8) r t P(, ) Tiempo (s) a) b) TVM[, 6] 8 6 m 6 c) / Aplica la teoría. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() en [, ] b) f() + en [, ] c) f() en [, ] + d) f() + en [, ] f() f() 5 ( ) 6 a) TVM[, ] f() f() ( ) b) TVM[, ] f() f() 0 ( /) c) TVM[, ] f() f( ) d) TVM[, ] ( ) ( ) SOLUCIONARIO

2 . Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en b) f() + en c) f() en d) f() + 5 en f( + h) f() ( + h) ( ) a) f'() lím lím lím + h + lím h f( + h) f( ) ( + h) + [ ( ) + ] b) f'( ) lím lím lím 6 h + 6 lím h f( +h) f( ) ( + h) [( ) ] c) f'( ) lím lím lím h + h 0 lím h + h h( + h) lím lím( + h) h 0 f( + h) f() ( + h) + 5( + h) ( + 5 ) d) f'() lím lím h h h h + h h( h + ) lím lím lím lím( h + ) h 0. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de la función f() en b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa c) Representa la función f() y las rectas. f( + h) f() ( + h) a) f'() lím lím + h + h h( + h) lím lím lím ( + h) h 0 b) Si ò f() ò P(, ) La recta tangente: m f'() y ( ) La recta normal: y ( ) + c) f( + h) f() a) f'() lím ( + h) ( + h) + ( + ) lím lím 9 + 6h + h 6 h h + h h( + h) lím lím lím( + h) h 0 b) Si ò f() ò P(, ) La recta tangente: m f'() y ( ) 8 La recta normal: y ( ) + 9 c) Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de la función f() + en b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa c) Representa la función f() y las rectas El número de bacterias que hay en un cultivo se epresa mediante la fórmula f(), donde representa el número de horas. Calcula el crecimiento medio por hora de las bacterias entre las y las 5 horas. f(5) f() 8 TVM[, 5] bacterias/h 5 5 TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 5

3 . La función derivada Piensa y calcula a) Observa la gráfica de la función de f() / y calcula las pendientes de las rectas tangentes r y s b) Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f() en? / r s a) m r y m s b) No. Aplica la teoría 6. Analiza si las funciones representadas admiten derivada en a) No, porque la función no es continua. b) No. Hay dos rectas tangentes diferentes. 7. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() 5 b) f() c) f() + d) f() a) f'() lím ( + h) ( ) b) f'() lím lím + h + lím h ( + h) ( + h) + ( + ) c) f'() lím lím + h + h h + + lím h + h h lím( + h ) h 0 h +h ( +h) d) f'() lím lím lím h lím h 0 ( + h)h h 0 ( + h) 8. Calcula el valor de la derivada de la función f() + en los puntos de abscisa: a) b) c) 0 d) ( + h) + ( + ) f'() lím lím + h + h + lím h + h lím( + h) h 0 f'() a) f'() b) f'( ) ( ) c) f'(0) 0 0 d) f'() 6 SOLUCIONARIO

4 9. Calcula el valor de la abscisa en el que la derivada de la función f() + vale ( + h) + + h ( + ) f'() lím lím + h + h + + h lím h + h +h lím( + h + ) + h 0 + ò ò / ( + h) a) f'() lím lím + h + h h + h lím lím( + h) h 0 b) 0. Dibuja la gráfica de la función cuadrática a) Calcula su función derivada. b) Representa la función derivada en los mismos ejes coordenados. c) Observando el dibujo, calcula los puntos en los que la derivada toma estos valores:,,,, 0 c) /,, /,, 0. Reglas de derivación Piensa y calcula Clasifica las siguientes funciones como polinómicas, irracionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas: a) b) 5 c) sen d) e) L a) Eponencial. b) Polinómica. c) Trigonométrica. d) Irracional. e) Logarítmica. Aplica la teoría Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación:. a) 8 b) + a) y' 0 b) y'. a) + 5 b) + a) y' + b) y' 6. a) ( 8) b) ( + ) a) y' ( 8) b) y' 8( + ). a) ( + ) b) ( ) a) y' ( + ) b) y' ( ) 5. a) b) a) y' b) y' ( ) 6. a) e b) + 5 a) y' e b) y' + 5 L TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 7

5 7. a) L ( ) b) log ( + ) a) y' b) y' 6 + log e + 8. a) sen ( 7) b) cos ( + ) a) y' cos( 7) b) y' ( + ) sen ( + ) 9. a) + tg b) L a) y' + sec b) y' + L 0. a) b) + a) y' + + ( + ) e (sen + cos ) b) y' cos e cos. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y simplifica los resultados. a) b) + a) y' + 9 y'' 6 y''' 6 b) y' y'' 6 y'''. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa f() P(, ) f'() 6 Recta tangente: f'() y + ( ) + Recta normal: y + ( ) 7. Máimos, mínimos relativos y monotonía Piensa y calcula Observa la gráfica de la función racional f() a) los máimos y mínimos relativos. b) la monotonía, es decir: intervalos donde es creciente ( ) intervalos donde es decreciente ( ) + y halla: + a) Máimo relativo:a(, ) Mínimo relativo: B(, ) b) Creciente ( ): ) U (, Decreciente ( ): (, 0) U (0, ) 8 SOLUCIONARIO

6 Aplica la teoría. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' + 9 y' 0, A(, ) 0 B(, 0) y'' 6 y''() 6 < 0 ( ) A(, ) máimo relativo. y''() 6 > 0 (+) B(, 0) mínimo relativo. f'() Creciente ( ): U (, Decreciente ( ): (, ). Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' 6 y' 0 0, 0 0 O(0, 0) A(, ) y'' 6 6 y''(0) 6 < 0 ( ) O(0, 0) máimo relativo. y''() 6 > 0 (+) A(, ) mínimo relativo. f'() Creciente ( ): (, Decreciente ( ): (0, ) 5. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + y' + y' 0 0,, 0 0 O(0, 0) / A(, /) 0 B(, 0) y'' 6 + y''(0) > 0 (+) O(0, 0) mínimo relativo. y''() < 0 ( ) A(, /) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, 0) mínimo relativo. Creciente ( ): (0, ) U (, Decreciente ( ): U (, ) 7. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' f'() y' 0, A(, ) B(, ) y'' y''( ) < 0 ( ) A(, ) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, ) mínimo relativo. f'() y' 6 + y' 0 No tiene ni máimos ni mínimos relativos. f'() + 0 Creciente ( ): Decreciente ( ): Ö Creciente ( ): ) U (, Decreciente ( ): (, 0) U (0, ) 8. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 9

7 y' ( ) y' 0 0, 0 A(0, ) B(, ) y'' ( ) y''(0) < 0 ( ) A(0, ) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, ) mínimo relativo. f'() Creciente ( ): U (, Decreciente ( ): (0, ) U (, ) 9. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotonía de la recta: + Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado. y' < 0 Es siempre decreciente. La gráfica de la función es una recta de pendiente m, que es la derivada. 0. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola: Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. y' y' 0 A(, ) y'' y''() > 0 (+) A(, ) mínimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): (, Decreciente ( ): Tiene un mínimo relativo; antes del eje es decreciente, y después, creciente. 5. Puntos de infleión y curvatura Piensa y calcula Observa la gráfica de la función racional f() y halla visualmente el punto de infleión y los intervalos donde es convea ( ), y cóncava ( ) Punto de infleión: O(0, 0) Convea ( ): (, 0) U (, Cóncava ( ): ) U (0, ) 0 SOLUCIONARIO

8 Aplica la teoría. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: y' + 9 y'' 6 y'' 0 A(, ) y''' 6 0 Punto de infleión: A(, ) f''() + 0 Convea ( ): (, Cóncava ( ): Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: 6 y' y'' y'' 0, 5 A(, 5) 5 B(, 5) y''' y'''() 0 y'''( ) 0 Punto de infleión: A(, 5), B(, 5) f''() Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: + Convea ( ): ) U (, Cóncava ( ): (, ) y' 6 + y'' 6 6 y'' 0 A(, ) y''' 6 0 Punto de infleión: A(, ) f''() + 0 Convea ( ): (, Cóncava ( ): Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: ( ) + y' ( ) y'' 6( ) y'' 0 A(, ) y''' 6 0 Punto de infleión: A(, ) f''() + 0 Convea ( ): (, Cóncava ( ): 5. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: + + y' + y'' + y'' 0 0, 0 A(0, ) B(, ) y''' + y'''(0) 0 y'''( ) 0 Puntos de infleión: A(0, ), B(, ) f''() Convea ( ): ) U (0, Cóncava ( ): (, 0) 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: y' TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS

9 ( ) y'' y'' 0 /9 A(, /9) 6( ) y''' 5 y'''() /8? 0 Punto de infleión: A(, /9) f''() + 0 Convea ( ): (, Cóncava ( ): U (0, ) 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: y' + ( ) ( + ) y'' ( ) y'' O(0, 0) 6( +6 + ) y''' ( ) y'''(0) 6? 0 Punto de infleión: O(0, 0) f''() Convea ( ): (, 0) U (, Cóncava ( ): ) U (0, ) 8. Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones: a) 5 b) 6 a) y' 5 y' O(0, 0) y'' 0 y''' 60 y IV 0 y V 0 Punto de infleión en O(0, 0) b) y' 6 5 y' O(0, 0) y'' 0 y''' 0 y IV 60 y V 70 y VI 70 Mínimo en O(0, 0) SOLUCIONARIO

10 Ejercicios y problemas. La derivada 9. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() + 5 en [, ] b) f() 6 en [, ] c) f() en [, ] + d) f() + en [, 0] f() f( ) a) TVM[, ] 8 9 ( ) ( ) f() f() ( 9) b) TVM[, ] f() f( ) 0 ( ) c) TVM[, ] ( ) ( ) f(0) f( ) d) TVM[, 0] 0 ( ) 0 ( ) 0. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() 5 en b) f() + en c) f() + 5 en d) f() + 5 en f( + h) f( ) 5( + h) [5 ( ) ] a) f'( ) lím lím lím 0 + 5h lím 5h 5 f( + h) f() ( + h) + ( + ) b) f'() lím h + + h lím lím lím f( + h) f( ) ( + h) + 5 [ ( ) +5] c) f'( ) lím lím lím + h h h h h( h) lím lím lím ( h) h 0 f( + h) f() ( + h) + 5( + h) ( + 5 ) d) f'() lím lím + 6h + h h 5 + h + h h(h + ) lím lím lím lím (h + ) h 0. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de la función f() + en b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa c) Representa la función f() y las rectas. f( + h) f() ( + h) + ( + h) ( + ) a) f'() lím + h + h + + h + lím lím 6h + h h(6 + h) lím lím lím (6 + h) 6 h 0 b) Si f() P(, ) c) La recta tangente: m f'() 6 y 6( ) 6 La recta normal: y ( ) P(, ) 6 TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS

11 Ejercicios y problemas. El número de llamadas que se reciben en una centralita es: f(), donde se epresa en horas, y f(), en miles de llamadas. Calcula el número medio de llamadas que se reciben entre las y las horas; y entre las y las 6 horas. Cómo interpretas los resultados? f() f() 8 6 f(6) f() a) TVM[, ] b) TVM[, 6] Entre y la función es creciente y entre y 6 es decreciente. Debe presentar un máimo en. La función derivada. Analiza si las funciones representadas admiten derivada en a) No, porque es discontinua. b) No, porque se pueden dibujar dos rectas tangentes de pendientes distintas en. Aplicando la definición de derivada, calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() + b) f() + ( + h) ( + h) + ( + ) ( + h + h ) h + + a) f'() lím lím lím + h + h h + + lím h + h h lím ( + h ) h h 6 + h + + ( + h + )( + ) b) f'() lím lím lím h h 0 ( + h + )( + )h ( + ) 5. Aplicando la definición de derivada, halla la función derivada de f() Calcula: a) el valor de la derivada en el punto de abscisa b) el valor de la abscisa en el que la derivada vale / + h 0 ( + h )( + h + ) f'() lím + h h 0 [ ] lím lím h 0 h 0 h( + h + ) h 0 h( + h + ) lím h h 0 h( + h + ) + a) f'() b) SOLUCIONARIO

12 . Reglas de derivación Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 6. a) + 7 b) + 6 a) y' 6 + b) y' a) + 5 b) a) y' 6 + b) y' a) ( ) b) ( + ) a) y' 6 ( ) b) y' ( + ) 5. a) 7 + b) e + a) y' 7 + L 7 b) y' e + 5. a) L (5 ) b) L ( ) a) y' 5 5 b) y' 55. a) log ( + 5) b) log ( + + ) a) y' 6 log e + 5 b) y' + log e a) ( + ) b) ( ) 5 a) y' (6 + )( + ) b) y' 0 ( ) 50. a) b) a) y' b) y' 56. a) sen ( ) b) cos ( + ) a) y' (6 ) cos ( ) b) y' ( + ) sen ( + ) 57. a) sen ( + ) b) tg ( ) a) y' cos ( + ) b) y' sec ( ) 5 5. a) b) + a) y' 5 5 ( ) + b) y' ( + ) 5. a) e b) e 7 a) y' 6 e b) y' 7e a) e + cos b) e a) y' e sen b) y' ( + )e a) b) a) y' 6 ( ) L sen (/)sen L cos sen L cos b) y' sen sen TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 5

13 Ejercicios y problemas 60. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y simplifica los resultados. a) + b) 6 c) d) a) y' + y'' + y''' b) y' y'' y''' c) y' + y'' 6 y''' d) y' y'' y''' + c) y' ( +) 6( ) y'' ( +) ( ) y''' ( +) + d) y' ( ) y'' ( ) y''' ( ). Máimos, mínimos relativos y monotonía 6. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' y' 0, A(, ) B(, ) y'' 6 y''( ) 6 < 0 ( ) A(, ) máimo relativo. y''() 6 > 0 (+) B(, ) mínimo relativo. f'() Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y simplifica los resultados. a) + b) 6 c) + d) a) y' + y'' 6 y''' 6 b) y' 8 y'' 8 y''' 0 Creciente ( ): ) U (, Decreciente ( ): (, ) 6. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' y' 0, 6/ A(, 6/) 6/ B(, 6/) y'' y''( ) < 0 ( ) A(, 6/) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, 6/) mínimo relativo. 6 SOLUCIONARIO

14 f'() Creciente ( ): ) U (, Decreciente ( ): (, ) 6. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina 6 + y' 6 6 y' 0, 5 A(, 5) B(, ) y'' y''( ) < 0 ( ) A(, 5) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, ) mínimo relativo. f'() Creciente ( ): ) U (, Decreciente ( ): (, ) y' + ( + ) y' 0, A(, ) B(, ) y'' ( + ) y''( ) > 0 (+) A(, ) mínimo relativo. y''() < 0 ( ) B(, ) máimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): (, ) Decreciente ( ): ) U (, 67. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' 6 ( + ) Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' y' 0, 5 9 A(, 9) 5 99 B(5, 99) y'' 6 + y''( ) 8 > 0 (+) A(, 9) mínimo relativo. y''(5) 8 < 0 ( ) B(5, 99) máimo relativo. f'() Creciente ( ): (, 5) Decreciente ( ): ) U (5, 66. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + y' O(0, 0) y'' 8 +8 ( + ) y''(0) / > 0 (+) O(0, 0) mínimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): ( 0, Decreciente ( ): 68. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' + ( ) y' 0, 0 A(, 0) B(, ) + TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 7

15 Ejercicios y problemas y'' ( ) A(, 5) y''() < 0 ( ) A(, 0) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, ) mínimo relativo. f'() Creciente ( ): U (, +@) Decreciente ( ): (, ) U (, ) Es una parábola con eje de simetría en y con el vértice en A(, 5) 69. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotonía de la recta: 5 Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado. y' > 0 La función es siempre creciente. 5. Puntos de infleión y curvatura 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: + y' y'' 6 y'' 0 0 A(0, ) y''' 6 0 Punto de infleión: A(0, ) f''() + 0 Es una recta de pendiente, que es el valor de la derivada. Convea ( ): (0, Cóncava ( ): 70. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola: 8 Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. y' 8 y' 0 5 A(, 5) y'' y''( ) < 0 ( ) A(, 5) máimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): ) Decreciente ( ): (, 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: + + y' + 6 y'' y'' 0 A(, ) y''' 6 0 Punto de infleión: A(, ) f''() + 0 Convea ( ): Cóncava ( ): (, 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: + 8 SOLUCIONARIO

16 y' 6 y'' y'' 0 0 A(0, ) y''' 0 Punto de infleión: A(0, ) f''() + 0 Convea ( ): (0, Cóncava ( ): 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y' y'' 6 y'' 0 0, / 0 0 O(0, 0) / 6/7 B(/, 6/7) y''' 7 y'''(0) 0 Punto de infleión: O(0, 0) y'''(/) 0 Punto de infleión: A(/, 6/7) f''() + 0/ Convea ( ): (0, /) Cóncava ( ): U (/, 76. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: 6 + y' ( + ) 6( ) y'' ( + ) y'' 0, / A(, /) / B(, /) ( ) y''' ( + ) y'''( ) 9/8 0 Punto de infleión:a(, /) y''' () 9/8 0 Punto de infleión: B(, /) f''() Convea ( ): ) U (, Cóncava ( ): (, ) 77. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: y' + ( ) 75. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y' 6 y'' y'' 0, A(, ) 0 B(, 0) y''' y''' ( ) 0 Punto de infleión: A(, ) y''' () 0 Punto de infleión: B(, 0) f''() Convea ( ): ) U (, Cóncava ( ): (, ) + y'' ( ) y'' O(0, 0) 6( + + 6) y''' ( ) y'''(0) /8 0 Punto de infleión: O(0, 0) f''() Convea ( ): (, 0) U (, Cóncava ( ): ) U (0, ) 78. Calcula los puntos críticos de la función y' y' 0 0 O(0, 0) TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 9

17 Ejercicios y problemas y'' 6 y''(0) 0 y''' 6 0 O(0, 0) Punto de infleión. 79. Calcula los puntos críticos de la función y' y' 0 0 O(0, 0) y'' y''(0) 0 y''' y'''(0) 0 y IV > 0 (+) O(0, 0) mínimo relativo. Para ampliar 80. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) f() + en [, ] b) f() + en [, ] f() f( ) a) TVM[, ] ( ) ( ) f() f() b) TVM[, ] 8. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: + a) f() en [, 5] b) Si f() P(, ) La recta tangente: m f'() y ( ) + 6 La recta normal: y ( ) + 8 c) 8 + A(, ) b) f() + 6 en [, ] f(5) f() a) TVM[, 5] 5 5 f() f( ) b) TVM[, ] ( ) ( ) El espacio que recorre una motocicleta viene dado por f(t) t + t, donde t se epresa en segundos, y f(t), en metros. Calcula la velocidad media en las dos primeras horas de movimiento. 8. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de la función f() en b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa c) Representa la función f() y las rectas. h +h +h a) f'() lím lím lím h lím h 0 ( + h)h h 0 + h f() f(0) TVM[0, ] m/s 0 8. Analiza en qué puntos la función del gráfico no es derivable. 0 SOLUCIONARIO

18 En y en la gráfica de la función tiene picos, y se pueden dibujar, en cada uno de ellos, dos rectas tangentes con distinta pendiente. Es decir, la función no es derivable. 85. Analiza si en la función del gráfico es derivable. Dibuja la recta tangente en dicho punto. ( ) Aplicando la definición de derivada, halla la función derivada de: f() Calcula: a) el valor de la derivada en el punto de abscisa b) el valor de la abscisa en el que la derivada es / f'() lím + h 6 h + 6 ( + h )( ) lím h lím h 0 ( + h )( )h ( ) a) f'() b) /, 5 ( ) Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 88. a) ( + ) b) ( + ) sen La función es derivable en. La tangente en dicho punto es la recta a) y' 6( + ) b) y' 6 ( + ) sen + ( + ) cos 86. Aplicando la definición de derivada, calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() b) f() ( + h) a) f'() lím lím + h + h +h ( + h + h )h lím lím ( + h + h ) h 0 b) f'() lím + h h + ( + h )( ) lím lím h h 0 ( + h )( )h ( ) 89. a) + b) a) y' 5 b) y' ( ) 90. a) + e sen 5 b) e sen e cos e (sen cos ) a) y' sen sen b) y' TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS

19 Ejercicios y problemas 9. a) b) L ( 5) a) y' b) y' ( 5) L( 5) 9. a) e sen b) a) y' cos e sen e e b) y' + 9. a) e b) e L a) y' e + + b) y' e ( ) L + 9. a) e cos b) + e (+) a) y' e ( cos sen ) b) y' e ( + ) e + e 95. a) L tg b) L 5 + e a) y' sec sec cosec tg sen cos b) y' + e 97. a) cos b) tg + sen a) y' cos sen b) y' tg sec + cos sen L a) b) sen cos cos + ( + ) sen a) y' cos b) y' sen + cos 99. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y simplifica los resultados. a) b) + + c) d) a) y' + y'' 6 y''' 6 b) y' + 6 y'' y''' 6 c) y' 8 ( ) +8 y'' ( ) y''' ( ) d) y' 6 y'' + y''' a) tg + b) sen a) y' sec + + b) y' cos 00. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones y simplifica los resultados. a) + b) c) + d) + SOLUCIONARIO

20 a) y' + y'' + y''' b) y' y'' 6 y''' 6 c) y' 6 ( +) 8( 6 ) y'' ( + 5) y''() / < 0 ( ) A(, ) máimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): Decreciente ( ): (, 8 +8 y'' ( + ) 7 6 y''' ( + ) d) y' ( +) + y'' ( + ) 8 8 y''' ( + ) 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + y' + y' 0, / 0 A(, 0) / /7 B(/, /7) y'' 6 y''() > 0 (+) A(, 0) mínimo relativo. y''(/) < 0 ( ) B(/, /7) máimo relativo. f'() / Creciente ( ): /) U (, Decreciente ( ): (/, ) 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + 5 y' ( + 5) y' 0 A(, ) 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + y' ( ) y' 0 0, 0 A(0, ) 0 B(, 0) y'' ( ) y''(0) < 0 ( ) A(0, ) máimo relativo. y''() > 0 (+) B(, 0) mínimo relativo. f'() Creciente ( ): U (, Decreciente ( ): (0, ) U (, ) 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina y' 0 ( + ) 5 + y' A(0, 5) y'' 0 0 ( + ) y''(0) 0 < 0 ( ) A(0, 5) máimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS

21 Ejercicios y problemas 05. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotonía de la recta + Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado. y' / < 0 La derivada es menor que cero para todo valor de ; luego la función es siempre decreciente. La gráfica de la función es una recta de pendiente /, que es su derivada. 07. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: a) + b) a) y' 6 y'' 6 6 y'' 0 0 A(, 0) y''' 6 y'''() 6 0 Punto de infleión: A(, 0) f''() Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. y' y' 0 7/ A(, 7/) y'' y''() > 0 (+) A(, 7/) mínimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): (, Decreciente ( ): Convea ( ): (, Cóncava ( ): b) y' + 5 y'' y'' 0, 0 A(, 0) 0 B(, 0) y''' y'''( ) 0 Punto de infleión: A(, 0) y'''() 0 Punto de infleión: B(, 0) f''() Convea ( ): ) U (, Cóncava ( ): (, ) 08. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: a) + b) a) y' + ( + ) A(, 7/) El vértice de la parábola coincide con el mínimo calculado. Antes del vértice, la parábola es decreciente, y después, creciente. y'' ( + ) y'' 0, 0, / A(, /) 0 0 O(0, 0) / B(, /) SOLUCIONARIO

22 + 7 y''' ( + ) y''' ( ) /8 0 Punto de infleión: A (, /) y'''(0) 0 Punto de infleión: O(0, 0) y'''( ) /8 0 Punto de infleión: B (, /) f''() Convea ( ): (, 0) U (, Cóncava ( ): ) U (0, ) b) y' ( ) + y'' ( ) y'' O(0, 0) y''' + 7 ( ) y'''(0) 0 Punto de infleión: O(0, 0) f''() Convea ( ): (, 0) U (, Cóncava ( ): ) U (0, ) Problemas 09. Aplicando la definición de derivada, calcula la ecuación de la recta tangente a la curva: f() + en el punto de abscisa f'( ) lím +h + + h lím h + lím + h lím h h 0 ( + h)h lím h 0 + h Si f( ) P(, ) m f'( ) y ( + ) 0. Halla los puntos en los que la función derivada de las siguientes funciones es igual a cero: a) + b) + + b) y' P(, ). Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva + 5 en el punto de abscisa P(, ) y' Recta tangente: m y'() y ( ) Recta normal: y ( ) + 7 a) y' , 7 P(, 7) 0 P(, 0). Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 5 + en el punto de abscisa 6 P(, 6) y' 5 TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 5

23 Ejercicios y problemas Recta tangente: m y'( ) 7 y 6 7( + ) Recta normal: y 6 ( + ) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa P(, ) y' / Recta tangente: m y'() y ( ) + Recta normal: y ( ). Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva + cuya pendiente sea y' P(, ) m y ( ) 5. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva 9 + cuya pendiente sea. Cuántas soluciones hay? b) P(, ) m y ( + ) + 7 Hay dos soluciones. 6. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva + 6 que sean paralelas a la recta La recta tiene de pendiente: y',m y' , a) 5 P(, 5) m y 5 ( ) + 5 b) 5 P(, 5) m y + 5 ( + ) 5 7. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que tengan una pendiente de 5 m tg 5 y' 0, / a) 0 P(, 0) m b) / /7 P( /, /7) m y + /7 + / + 5/7 8. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en los puntos de corte con el eje y' 9 9, a) 9 P(, 9) m y + 9 ( ) 5 0, y' a) P(, 0) m y'() ( ) 8 6 SOLUCIONARIO

24 b) P(, 0) m y'( ) ( + ) 8 9. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina sen Como es una función periódica de período π, solo se estudia en el primer período positivo [0, π] y' cos cos 0 π/, π/ π/ A(π/, ) π/ B(π/, ) y'' sen y''(π/) < 0 ( ) A(π/, ) máimo relativo. y''(π/) > 0 (+) B(π/, ) mínimo relativo. f'() π/ π π/ π Creciente ( ): (0, π/) U (π/, π) Decreciente ( ): (π/, π/) 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina cos Como es una función periódica de período π, solo se estudia en el primer período positivo [0, π] y' sen sen 0 0, π 0 A(0, ) π B(π, ) y'' cos y''(0) < 0 ( ) A(0, ) máimo relativo. y''(π) > 0 (+) B(π, ) mínimo relativo. f'() + 0 π/ π π/ π y' cos cos 0 kπ,k 0 0 A(0, 0) y'' sen y''(0) 0 y''' cos y'''(0)? 0 A(0, 0) es un punto de infleión y lo mismo sucede con todos los kπ,k Como y' cos, se tiene que y' nunca puede ser negativa; por tanto, es siempre creciente. Creciente ( ): Decreciente ( ): Ö. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la función + cos y' sen sen 0 π/ + kπ,k π/ A(π/, π/) y'' cos y''( π/) 0 y''' sen y'''(π/)? 0 A(π/, π/) es un punto de infleión, y lo mismo sucede con todos los π/ + kπ,k Como y' sen, se tiene que y' nunca puede ser negativa; por tanto, es siempre creciente. Creciente ( ): Decreciente ( ): Ö. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotonía de la recta. Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado. y' / > 0 La función es siempre creciente. La gráfica de la función es una recta de pendiente m /, que es la derivada. Creciente ( ): (π,π) Decreciente ( ): (0, π). Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina sen TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 7

25 Ejercicios y problemas. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. y' y' 0 5 A(, 5) y'' 6 < 0 ( ) A(, 5) máimo relativo. f'() + 0 Creciente ( ): Decreciente ( ): (, A(, 5) Como es una función periódica de período π, solo se estudia en el primer período positivo [0, π] y' sen y'' cos cos 0 π/, π/ π/ 0 A(π/, 0) π/ 0 B(π/, 0) y''' sen y'''(π/)? 0 A(π/, 0) punto de infleión. y'''(π/)? 0 B(π/, 0) punto de infleión. f''() + 0 π/ π π/ π Convea ( ): (π/, π/) Cóncava ( ): (0, π/) U (π/, π) 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: + sen Tiene un máimo relativo, antes del eje es creciente, y después, decreciente. 5. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: sen Como es una función periódica de período π, solo se estudia en el primer período positivo [0, π] y' cos y'' sen sen 0 0, π 0 0 A(0, 0) π 0 B(π,0) y''' cos y'''(0) 0 A(0, 0) punto de infleión. y'''(π) 0 B(π, 0) punto de infleión. f''() + 0 π/ π π/ π Convea ( ): (π,π) Cóncava ( ): (0, π) 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: cos y' + cos y'' sen sen 0 kπ,k 0 0 A(0, 0) y''' cos y'''(0)? 0 A(0, 0) es un punto de infleión y lo mismo sucede con todos los kπ,k f''() + 0 π/ π π/ π Convea ( ): (π,π) Cóncava ( ): (0, π) La conveidad es periódica de período π 8. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función: cos y' + sen y'' cos cos 0 π/ + kπ,k π/ π/ A(π/, π/) y''' sen y'''(π/)? 0 A(π/, π/) es un punto de infleión, y lo mismo sucede con todos los π/ + kπ,k 8 SOLUCIONARIO

26 f''() π/ π π/ π Convea ( ): (0, π/) U (π/, π) Cóncava ( ): (π/, π/) La conveidad es periódica de período π Para profundizar 9. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva en el punto de abscisa. Haz la representación gráfica. P(, ) y' + 6 m y'( ) Recta tangente: y + ( + ) Recta normal: y + ( + ) 5. Halla los puntos en los que las rectas tangentes a las curvas +, + son paralelas. y' + y' A(, ) en la ª parábola. 0 A(, 0) en la ª parábola.. Demuestra que la función L es estrictamente creciente en todo su dominio. y' / Dom(f) (0, y' > 0 en todos los puntos del dominio; por lo tanto, es creciente siempre.. Determina los máimos, los mínimos relativos y la monotonía de la función 8 L y' 8/ 8/ 0, no se estudia, por no estar en el dominio. 8 L A(, 8 L ) y'' + 8/ y''() > 0 (+) A(, 8 L ) mínimo relativo. Monotonía: f'() La ecuación de la recta tangente a una curva f() en el punto de abscisa es: Creciente ( ): (, Decreciente ( ): (0, ) y + 0 Calcula cuánto valen f() y f'() La recta tangente es: f() f'(). Calcula la amplitud del ángulo con el que la recta tangente a la gráfica de la función sen corta al eje en el punto de abscisa 0 y' cos m tg α cos 0º α 5 TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS 9

27 Linu/Windows Paso a paso 5. Calcula la derivada de la función: + Resuelto en el libro del alumnado. 7. Calcula los máimos y mínimos relativos y la monotonía de: Resuelto en el libro del alumnado. 6. Halla las rectas tangente y normal a la curva: 6 + para Representa la curva y las rectas. Resuelto en el libro del alumnado. 8. Determina los puntos de infleión y la curvatura de la función: + 5 Resuelto en el libro del alumnado. 9. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Practica 0. Calcula la ª derivada de las siguientes funciones: a) b) 5 sen. Calcula la ª derivada de las siguientes funciones: a) e tg b) e L e cos a) y' e ( sen ) sen b) y' 5 a) y' (tg + )e tg b) y' e ( ) L +. Calcula la ª derivada de las siguientes funciones: a) e cos b) L cos a) y' e ( cos sen ) b) y' tg. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: + Dibuja la gráfica para comprobarlo. y' ,, 0 0 A(0, 0) / B(, /) 0 C(, 0) y'' 6 + y''(0) > 0 (+) A(0, 0) mínimo relativo. y''() < 0 ( ) B(, /) máimo relativo. y''() > 0 (+) C(, 0) mínimo relativo. Creciente ( ): (0, ) U (, Decreciente ( ): 0) U (, ) 0 SOLUCIONARIO

28 Windows Derive. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: + Dibuja la gráfica para comprobarlo. y' y' 0, Máimo relativo: A(, ) Mínimo relativo: B(, ) Creciente ( ): ) U (, Decreciente ( ): (, 0) U (0, ) 5. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: Dibuja la gráfica para comprobarlo. 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: 6 + Dibuja la gráfica para comprobarlo. y' ( + ) 6( ) y'' ( + ) y'' 0, / A(, /) / B(, /) ( ) y''' ( + ) y'''() 9/8 0 A(, /) punto de infleión. y'''( ) 9/8 0 B(, /) punto de infleión. Convea ( ): ) U (, Cóncava ( ) : (, ) y' + 9 y'' 6 y'' 0 A(, ) y''' 6 0 A(, ) punto de infleión. Convea ( ): (, Cóncava ( ): ) TEMA 0. CÁLCULO DE DERIVADAS

29 Linu/Windows 7. Calcula y clasifica los puntos críticos de las siguientes funciones: a) b) Representa la gráfica para comprobarlo. a) y' + y' 0 A(, ) y'' 6 y''() 0 y''' 6 0 A(, ) punto de infleión. Con ayuda dewiris o Derive, resuelve los siguientes problemas: 8. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la siguiente función en el punto que se indica: en Representa la función, la recta tangente y la recta normal para comprobarlo. Recta tangente: + Recta normal: b) y' + + y' 0 A(, ) y'' + y''() 0 y''' + y'''() 0 y IV < 0 ( ) A(, ) máimo relativo. 9. Calcula los máimos y mínimos relativos, puntos de infleión y determina la monotonía y la curvatura de la siguiente función: Dibuja la gráfica para comprobarlo. Máimos relativos: no tiene. Mínimos relativos: no tiene. Puntos de infleión: O(0, 0) Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): ) U (, ) U (, Convea ( ): (, 0) U (, Cóncava ( ): ) U (0, ) SOLUCIONARIO