La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO. PAU CASTILLA Y LEÓN A) EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LAS CCSS La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) ,6, donde es el tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en años. a) Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono? b) Cuál es la concentración máima de ozono que se alcanza en esa ciudad?. (jun-004) En una determinada empresa se fabrican unidades de un producto, y la función de beneficio viene dada por B( ) 1 0 a) Calcula el número de unidades producidas que deben fabricarse para que no haya ni beneficios ni pérdidas. b) Calcula el número de unidades que deben fabricarse para que el beneficio sea máimo. A cuánto asciende ese beneficio máimo? (sep 004) Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 1 de la noche viene dado por la función: S( t ) 660 1t 7t t donde t indica las horas transcurridas desde las 1 en punto de la mañana. a) A qué hora tiene máima y mínima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las 1 de la noche? Qué porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas de máima y mínima audiencia? b) Dibuja la gráfica de la función S(t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las 1 de la noche. (sep 008) Una discoteca abre sus puertas a las 10 de la noche sin ningún cliente y las cierra cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de clientes (N) en función del número de horas que lleva abierto, t, es: N(t) = 80t 10 t. a) Determina a qué hora el número de clientes es máimo. Cuántos clientes hay en ese momento? b) A qué hora cerrará la discoteca? (jun 007) Una panadería se dedica a la elaboración y venta de magdalenas caseras. El coste en euros de producir diariamente kg de magdalenas viene dado por la función 5 f( ) 0,0 0,. El precio de venta de 1 kg de magdalenas es 5 euros. 6 a) Determina la función de beneficio neto diario de la panadería por la producción de las magdalenas. Cuál es el beneficio del panadero si en un día elabora y vende eactamente 5 kg de magdalenas?

2 b) Halla la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el mayor beneficio. Cuál es el beneficio máimo que puede alcanzar al día por la elaboración y venta de magdalenas? (jun 010 f.e.) El número de visitantes diarios a una feria de turismo viene dado por la función V ( t) 0( t 14t 11), donde t (0,10) es el tiempo (en horas) transcurrido desde la apertura de la feria. a) Cuándo aumenta la afluencia de público y cuándo disminuye? En qué momento se alcanza el número máimo de visitantes? b) Determina ese número máimo de visitantes. (jun 011) Los beneficios diarios de una fábrica, en miles de euros, vienen dados por la función f ( ) donde indica el número de unidades que se producen al día. a) Calcula el número de unidades que han de producirse diariamente para obtener el máimo beneficio. b) Calcula el máimo beneficio que puede obtenerse en un día. (sep 011) B) PROBLEMAS DE DETERMINACIÓN DE PRÁMETROS Sabemos que la función f( ) a b tiene un máimo en el punto (,8). a) Halla los valores de " a " y " b " b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f ( ) en el punto de abscisa 0 (jun 004) Dada la siguiente función: 9 a 10 1 f( ) 9 a 1 a) Determina a para que la función f() sea continua. b) Calcula el área del recinto acotado determinado por la función obtenida en el apartado anterior, el eje OX y las rectas 1 y 1 (sep 004) a b c si Sea f ( ) La representación gráfica de la función f () es m n si la siguiente:

3 Calcula la epresión de la función f () sabiendo que el punto A es el vértice de la parábola. (jun 008) Se considera la función f ( ) a 5 4. c) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la función en el punto corte al eje OX en el punto 5. d) Calcula, además, el área de la región limitada por dicha tangente, el eje OX y la función f (), para el valor de a obtenido anteriormente. (jun-005) C) OTROS: CONTINUIDAD, DERIVABILIDAD, RECTAS TANGENTES, GRÁFICAS. Se considera la función f ( ) 4. 1 a) Calcula los máimos y mínimos de f (). b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo 0, 5. (sep 005) Se considera la función f ( ) a) Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Representa gráficamente la función f (). d) Obtén la epresión de la recta tangente a dicha función en =. (sep 007) Encuentra dos números positivos cuya suma sea 10, tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. (sep 007) 1 Se considera la función f( ), se pide: a) Representa la función f (). b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f () en el punto = 1/ c) Halla el área limitada por la recta y = y la parte positiva de los ejes de coordenadas. (sept-008)

4 Dada la función: a) Representa gráficamente f(). b) Estudia su continuidad y su crecimiento. c) Representa gráficamente f(). (sep 009) La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la cantidad de abono (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la 5 función C( ) 10 0 a, donde [0, 00] y a es un parámetro. a) Determina el valor de a sabiendo que con 10 gramos de abono se recogen 0.5 kg de tomate. b) Supuesto a = 0, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máima cantidad de tomates. Cuál es esa máima cantidad de tomates? (jun 010 f.g.) 1 Dada la curva de ecuación f ( ), para (,). 4 a) Halla los máimos y mínimos de la curva en el intervalo considerado y estudia su crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la curva en dicho intervalo. c) Calcula la recta tangente a la curva f() en el punto =1. (jun 010 f.g.) Dada la función f ( ) a) Calcula sus asíntotas. b) Determina sus intervalos de crecimiento, sus máimos y sus mínimos. (jun 010 f.e.) Dada la curva de ecuación f ( ) 5 6 se pide: a) Halla los máimos y mínimos de la curva, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la curva. (sep 010 f.g.)

5 Sea la función f ( ) 0 a) Determina sus puntos de discontinuidad y su derivada en = y en =. b) Dibuja la gráfica de la función. c) Eplica la relación eistente entre la derivada y la tasa de variación media en un punto, indicando lo que significa el valor obtenido de la derivada de la función f() en =. (sep 010 f.e.) Dada la función f ( ) ( 1) a) Calcula sus asíntotas. b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máimos y sus mínimos. c) Con los datos anteriores, representa gráficamente la función. (jun 011) Sea una función f() de la que se conoce su derivada f ()= -1. a) Representa gráficamente f (). b) Deduce de la gráfica los intervalos de crecimiento de f(). c) Halla la abscisa de los puntos máimos y mínimos de f(). (sep 011) OTRAS COMUNIDADES si 0 Dada la función: f ( ) 1 si 0 a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f. b) Hallar la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa =1. (Cantabria junio 06) Dada la función f ( ) 4 a) Representarla gráficamente. b) Estudiar su continuidad y derivabilidad. si si si (Castilla La Mancha junio 06) Dada la función f ( ),

6 a) Encuentra los puntos de la gráfica en los cuales la recta tangente es paralela a la recta +4y+5=0. b) Calcula las ecuaciones de dichas rectas tangentes. (Cataluña junio 06) La temperatura (en º C), de un objeto viene dada por la siguiente función: t t 4 f ( t) 10, donde t es el tiempo en horas. t t 5 Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinco horas más tarde y la temperatura que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo. (La Rioja junio 06) La función f ( ) 10 00representa el beneficio que obtiene una empresa por la fabricación de unidades de un producto. a) Cuántas unidades ha de fabricar para que no haya pérdidas? b) Calcula el beneficio unitario. c) Cuál es el mayor beneficio posible? (Navarra junio 06) Se considera la función f ( ) a b ln( ), siendo a y b parámetros reales. a) Determine los valores de a y b sabiendo que f(1) = y que la derivada de f() es nula en = 1. b) Para a = 4/ y b = 1, determine los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de f(). c) Para a = b = -, calcule lím f () y lím f ( ). Hallar las derivadas de: a) y ln 1 b) c) y y cos sen d) e) f ) 0 y y y ( 4 1). tg () (Zaragoza junio 06)

14 Máimo en =-1 Mínimo en =1. Departamento de Matemáticas. IES EUROPA

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