EJERCICIOS UNIDADES 6 y 7: DERIVADAS Y APLICACIONES

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1 IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES 6 y 7: DERIVADAS Y APLICACIONES + a) (15 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (1 punto) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función 1 (011-M1-B-) Se condera la función dada por f ( ) (011-M-B-) Sea la función f ( ) 1 0 > a + 1 < > a) (075 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en = 1 b) (175 puntos) Para a = estudie la continuidad y la derivabilidad de f (011-M4;Jun-A-) a) (1 punto) Calcule la función derivada de f ( ) = e ( + ) b) (15 puntos) Se sabe que la epreón que representa el número medio de clientes N t que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t () que llevan abiertos, es N( t) = a t + b t, 0 t 8, a, b R Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha do de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b + 4 < 4 < a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (05 puntos) Determine los etremos locales de f c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = 4 (011-M6-A-) Sea la función f ( ) 5 (010-M-A-) Sean las funciones f ( ), h ( ) = + 0 < < 1 a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en = 0 b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en = 0 c) (05 puntos) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (n picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel 6 (010-M4-B-) Un depóto lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja El volumen de agua, en m, que hay en cada momento en el depóto, desde que empieza a t vaciarse, viene dado por la función V () t = 8 t +, donde t es el tiempo en minutos a) (05 puntos) Cuál es la capacidad del depóto? b) (05 puntos) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? c) (08 puntos) Represente gráficamente la función V d) (07 puntos) Calcule la derivada de esa función en t = 8 e interprete su gnificado

2 IES Padre Poveda (Guadi) a) (15 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de en los que dicha función alcanza sus etremos locales b) (075 puntos) Determine los intervalos de concavidad y conveidad de la función f 7 (009-M;Sept-A-) La función derivada de una función f viene dada por f ( ) = c) (075 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (,5) ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto, calcule la 8 (009-M;Jun-B-) Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C () t = 0t + 4t + 5, 0 t 5 (t = años transcurridos desde el año 000) a) (1 punto) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) (1 punto) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C ( t) en t = 8 Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento (008-M1-A-) Sea la función f definida mediante f ( ) = 1 a) (05 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Estudie su curvatura c) (1 punto) Determine sus asíntotas d) (05 puntos) Represente la función 10 (008-M1-B-) a) (15 puntos) La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos ( 0, ) y ( 4,0) Estudie la monotonía de la función f b) (15 puntos) Calcule la derivada de las guientes funciones: e g( ) = ( + 1) L( + 1 ); h( ) = (008-M;Sept-A-) a) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( ) el punto de abscisa = 1 b) (15 puntos) Halle los valores de a y b para que la función ( ) etremo relativo en el punto ( 1,) 1 (008-M;Sept-B-) Dada la función f ( ) 4 +, = en b g = a + tenga un = determine: a) (15 puntos) La monotonía y la curvatura de f b) (05 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus etremos relativos c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 1 (008-M;Jun-A-) Sea la función definida de la forma f ( ) a) (05 puntos) Halle el dominio de f b) (15 puntos) Estudie la derivabilidad de f en = 1 10 < c) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0

3 IES Padre Poveda (Guadi) + a + b < 1 L( ) 1 a) (15 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en = 1 b) (15 puntos) Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en = 1 y en = 1 14 (008-M;Jun-B-) Sea la función definida de la forma f ( ) 15 (008-M4-B-) Calcule las derivadas de las guientes funciones: 7 5 a) (075 puntos) f ( ) = ( + 1) e c) (075 puntos) h( ) = ( + 1) ( 6) b) (075 puntos) g( ) = L( ) d) (075 puntos) i ( ) 16 (008-M5-A-) Sea la función f ( ) = 6 a) (1 punto) Determine sus puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión c) (1 punto) Represente gráficamente la función 17 (008-M5-B-) Sea la función f ( ) ( 1) = a + b > 1 a) ( puntos) Calcule a y b, sabiendo que f ( ) = 7 y que f es continua en =1 b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 e 0 f > 0 a) (1 punto) Es f continua en = 0? Es continua en su dominio? b) (1 punto) Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? c) (1 punto) Estudie la monotonía de f 18 (008-M6-A-) Sea la función definida de la forma ( ) 19 (008-M6-B-) a) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) de abscisa 1 b) (15 puntos) Sea la función g ( ) + a + b presenta un punto de infleión en el punto (,5) = en el punto = Calcule a y b sabiendo que su gráfica 0 (007-M1-A-) + a 0 a) (15 puntos) Sea la función f ( ) + b + 1 > 0 Halle a y b para que la función sea continua y derivable b) (15 puntos) Calcule la derivada de las guientes funciones: e g( ) = + Ln( 1 ), h( ) = ( 5) +1 1 (007-M1-B-) a) (15 puntos) Determine dónde se alcanza el mínimo de la función f ( ) = 6 + a Calcule el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5 1 b) (15 puntos) Calcule g (), endo g ( ) = e 6

4 IES Padre Poveda (Guadi) (007-M;Jun-A-) Para la función : R R determine: a) (15 puntos) Su monotonía y sus etremos relativos b) (15 puntos) Su curvatura y su punto de infleión f definida de la forma f ( ) =, (007-M;Jun-B-) a) ( puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f = a 1,5 sea la recta y = + ( ) b en el punto ( ) 1 b) (1 punto) Para ( ) = g e + Ln( + ), calcule g ( 1) 4 (007-M;Sept-A-) Sea la función f : R R, definida por f ( ) + m + 5 a) (1 punto) Calcule m para que la función sea continua en = 1 b) (1 punto) Para ese valor de m, es derivable la función en = 1? c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = 0 5 (007-M;Sept-B-) a) ( puntos) Sea la función definida para todo número real por f ( ) = a + b Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (,1) 1 y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es 1 b) (1 punto) Si en la función anterior a = y b = 4, determine sus intervalos de monotonía y sus etremos > 0 a) (15 puntos) Estudie su derivabilidad en = 0 b) (15 puntos) Determine eisten asíntotas y obtenga sus ecuaciones 6 (007-M4-A-) Se condera la función f ( ) 7 (007-M4-B-) Se condera la función f ( ) = a) ( puntos) Determine los etremos relativos de f Estudie la monotonía y la curvatura b) (1 punto) Represente gráficamente la función f 1 > a) (15 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f 8 (007-M5-A-) Se condera la función definida por f ( ) b) (1 punto) Represente la gráfica de f c) (05 puntos) Indique los etremos relativos de la función 1 > 1 k > a) ( puntos) Calcule el valor de k para que la función f sea continua en = 0 Para ese valor de k, es f derivable en = 0? b) (1 punto) Para = 0 lím f lím f 9 (007-M5-B-) Sea la función f ( ) k, calcule ( ) y ( ) + 4

5 IES Padre Poveda (Guadi) 0 (007-M6-B-) a) (15 puntos) La función f ( ) = + a + b tiene un etremo relativo en = y un punto de infleión en = Calcule los coeficientes a y b y determine el citado etremo es un máimo o un mínimo relativo b) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( ) = en el punto de abscisa = 1 (006-M1-B-) Calcule las derivadas de las guientes funciones: 1 a) (1 punto) ( ) = + ( 5 ) f c) (1 punto) h ( ) = 5 + e g = + Ln + b) (1 punto) ( ) ( ) ( ) (006-M;Sept-A-) a) (15 puntos) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice ( 0,) que corta al eje de abscisas en los puntos (,0) y (,0) A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) (15 puntos) Calcule los etremos relativos de la función g( ) (006-M;Sept-B-) Se condera la función f ( ) = 5 = a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa = 1 b) (1 punto) Estudie su monotonía c) (1 punto) Calcule sus asíntotas 4 (006-M;Jun-A-) a) (15 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f ( ) = a b pase por el punto ( 1, ) y tenga el punto de infleión en = 1 b) (15 puntos) Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la función definida por g ( ) = (006-M;Jun-B-) Sea la función f definida por f ( ) 1 + > 0 a) ( puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = (006-M4-A-) Conderemos la función f ( ) 1 > 1 a) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (1 punto) Determine la monotonía de f c) (1 punto) Represente gráficamente esta función 7 (006-M6-B-) a) (15 puntos) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f, es la recta de ecuación y = + 4 Estudie razonadamente la monotonía de f, a la vista de la gráfica de la derivada 4 4 g =, calcule la ecuación de la recta tangente a b) (15 puntos) Dada la función ( ) + 4 su gráfica en el punto de abscisa = 0

6 IES Padre Poveda (Guadi) 8 (01-M-B-) Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: a) (05 puntos) Estudie la continuidad de la función P t 0 t 5 b) (075 puntos) Estudie la derivabilidad de P P( t) en t =5 100t 50 c) (075 puntos) Estudie la monotonía de t > 5 t + 5 dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas d) (05 puntos) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? 9 (01-M;Sept-B-) En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina La 11t + 0 superficie afectada, en km, viene dada por la función f ( t) =, endo t el tiempo t + transcurrido desde que empezamos a observarla a) (05 puntos) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (15 puntos) Estudie la mancha crece o decrece con el tiempo c) (075 puntos) Tiene algún límite la etenón de la superficie de la mancha? 40 (01-M4;Jun-B-) Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para at t 0 t 6 los próimos 10 años viene dado por la función B ( t), endo t t 6 < t 10 el tiempo transcurrido en años a) (075 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá c) (075 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor a 41 (01-M5-A-) a) (075 puntos) Para la función f definida de la forma f ( ) =, + b determine, razonadamente, los valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación = y como asíntota horizontal la de ecuación y = 4 (01-M6-A-) Sean dos funciones, f y g, tales que las epreones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f ( ) = + y g ( ) = a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g b) (075 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula c) (075 puntos) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? 4 (011-M-A-) El beneficio, en miles de euros, alcanzando en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B ( t), endo t el tiempo transcurrido en meses a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función 1 al cabo de 6 meses t t t 6 b) (05 puntos) Cuándo fue mínimo el beneficio? () 8 B t Cuál fue dicho beneficio? t + 1 c) (1 punto) Represente gráficamente la función 6 < t 1 B ( t) Cuándo fue máimo el beneficio? A cuánto ascendió? 44 (011-M5;Sept-A-) b) (15 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los etremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de infleión de la función g( ) = + + 6