I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A

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1 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso XI-009 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El eamen consta de dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir UNA Y SÓLO UNA de ellas y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. PUNTUACIÓN: La calificación máima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Tiempo: 90 minutos. Ejercicio 1.- Calificación máima: puntos OPCIÓN A Calcula el valor de los parámetros a, b є lr para que la función punto de infleión en 0 y un mínimo relativo en 1. f() ( a) e + b tenga un Ejercicio.- Calificación máima: puntos Dada la función 4 f() 9 + 6, se pide: a). Halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f tiene pendiente 1. b). Calcula los puntos de infleión de f(). Ejercicio.- Calificación máima: puntos Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 m. Se sabe que la pérdida de calor a través de las paredes laterales vale 100 unidades por metro cuadrado, mientras que a través del techo es de 00 unidades por metro cuadrado. La pérdida por el suelo es tan pequeña que puede conderarse nula. Calcula las dimenones de la caldera para que la pérdida de calor sea mínima. Ejercicio 4.-. Calificación máima: puntos a) (1,5 puntos) Dada la función + < f() a 1 e + en. Para el valor obtenido de a, es f() derivable en? b) (1,5 puntos) Calcula el valor de m para que 0 m 1 + cos 0. sen( ), calcula a para que f() sea continua

2 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso OPCIÓN B Ejercicio 1.- Calificación máima: puntos Sea f: lr lr definida por f() a + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta y +. Ejercicio.- Calificación máima: puntos Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: f() endo ln ( ) el logaritmo neperiano de. ( ln ( ) ) Ejercicio.- Calificación máima: puntos Calcular a) b) c) ( ) sen + Ejercicio 4.- Calificación máima: puntos Se condera la función f: lr lr definida por: sen 0 f() con b lr. b + > 0 a). Calcula b para que f sea derivable en 0. π,, determinar los etremos relativos b) ( puntos). Para b - y el intervalo [ ] (máimos y mínimos) y la curvatura.

3 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso OPCIÓN A, Ejercicio A.1 SOLUCIONES Calcula el valor de los parámetros a, b є lr para que la función f() ( a) e + b tenga un punto de infleión en 0 y un mínimo relativo en 1. Mínimo relativo en 1. f () e + ( a) e + b ( + a) e + b f tiene un mínimo relativo en 1 Punto de infleión en 0. f (1) 0 ( a) e + b 0 ( ) f () ( + ) e + ( + a) e ( a) e f tiene un punto de infleión en 0 a 0 a Sustituimos el valor de a en la epreón ( ) : La función pedida es, ( ) e + b 0 b e ( puntos) f() ( ) e e y su gráfica es Ejercicio A. Dada la función 4 f() 9 + 6, se pide: a). Halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f() tiene pendiente 1. b). Calcula los puntos de infleión de f(). a) Puntos en los que la recta tangente tiene pendiente 1. f () m 1 f () Aplicando la Regla de Ruffini obtenemos dos soluciones: 1 y. Calculamos sus segundas coordenadas: f( 1) y f() Los puntos pedidos son P( 1, 4) y P (,6).

4 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso b) Puntos de infleión. f () 1 1 ; f () ± 1 f Punto de Infleión + Punto de Infleión f CONVEXA -1 CÓNCAVA 1 CONVEXA f ( 10) < 0 ; f (0) 1 0 > 0 ; f (10) < 0 Por lo tanto, sus puntos de infleión son: P( 1, 4) y P (1,14) Ejercicio A. Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 m. Se sabe que la pérdida de calor a través de las paredes laterales vale 100 unidades por metro cuadrado, mientras que a través del techo es de 00 unidades por metro cuadrado. La pérdida por el suelo es tan pequeña que puede conderarse nula. Calcula las dimenones de la caldera para que la pérdida de calor sea mínima. Variables de deción. Longitud del lado de la base de prisma (m) y Altura del prisma (m) Función pérdida de calor. f(, y) y y + 00 Relación entre las variables. (Volumen) 768 y 768 y Planteamiento y resolución. f(, y) 400y y SUSTITUCIÓN Calculamos su derivada para localizar el mínimo de la función: f() f () + 600; f () Comprobamos que, efectivamente, se trata de un mínimo: f () + 600; f (8) 70 > 0 f alcanza el valor mínimo en 8. Toma de deción. El lado de la base de la caldera debe medir 8 metros y su altura ha de ser 1 metros. De esta forma se conseguirá una pérdida mínima de calor de unidades y 1; f(8) ( puntos) y

5 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso Ejercicio A.4 a) (1,5 puntos) Dada la función + < f() a 1 e +, calcula a para que f() se a continua en. Para el valor obtenido de a, es f() derivable en? b) (1,5 puntos) Calcula el valor de m para que + m 1 + cos 0. sen( ) a) Continuidad en a a 0. (0,75 puntos) f() e e 1 f() (a 1) 4a Para a 0, tenemos 1 < 0 < f ( ) 0 f() f () e + e > + 0 f ( ) e + f ( ) f ( ) f no es derivable en b) Valor de m.. (0,75 puntos) m 1 + cos m sen m cos m sen( ) cos( ) cos( ) 4 sen( ) m 1 + cos m sen( ) 1 m. (1, 5 puntos) ; OPCIÓN B, Ejercicio B.1 SOLUCIONES Sea f: lr lr definida por f() a + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta y +. Calculamos su primera y segunda derivada: f() a + b f () a f () Calculamos la abscisa del punto de infleión: Como la pendiente de la recta tangente es m ( ) + 4( ) + a a f ( ) 6 La segunda coordenada del punto de tangencia es y( ) ( ) + Por lo tanto a 6. ( ) + 1 ( ) + 6 ( ) + b b f( ) 1 b 19.

6 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso Ejercicio B. Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: f() endo ln ( ) el logaritmo neperiano de. ( ln ( ) ) Máimos y mínimos relativos. Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero: 1 f() ln ( ) f () ln() + ln () ln () + ln () ln () ln () + 0 ln () 0 e 1 f () 0 ln() ( ln() + ) 0 ln () e Estudiamos el gno de la derivada a ambos lados de los valores que la anulan: ( ) ( ) ( ) ( ) f + Máimo relativo Mínimo relativo f CRECIENTE e - DECRECIENTE 1 CRECIENTE f (e ) > 0 ; f (e ) < 0 ; f (10) 9,907 > 0 Por lo tanto la función tiene un máimo relativo en el punto ( e,4 e ) relativo en el punto ( 1, 0 ). Puntos de infleión. Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: ( ln () 1) f () ( ln ()) + ln () f () ln() + ( ) ln () + 1 ln () e f () Calculamos la tercera derivada y sustituimos el valor: 1 ( ln() + 1) ( ln () + 1) f () f (e ) ( ln(e ) + 1) e e 0. 1 Por lo tanto, la función tiene un punto de infleión en ( 1 e, e ). + y un mínimo Ejercicio B. Calcular 5 a) b) 1 + sen ( ) c) 0 +

7 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso a) b) c) ( ) + 5 ( ) 9 ( ) 5 + ( ) ( + ) ( ) ( ) sen + ( 1 ) 4 (cos e e + e + sen() cos() + 0 () sen 6 + ()) e sen() cos() Ejercicio B.4 Se condera la función f: lr lr definida por: sen 0 f() con b lr. b + > 0 a). Calcula b para que f sea derivable en 0. π,, determinar los etremos relativos b) ( puntos). Para b - y el intervalo [ ] (máimos y mínimos) y la curvatura. a) Continuidad f() 0 f() (b + 0 Derivadas laterales. sen sen 0 0 ) 0 f() f(0) f es continua en lr. 0 cos < 0 f f (0 ) cos 0 1 () b 1 b + > 0 + f (0 ) b La función f es derivable en 0 cuando b 1. b) Etremos relativos. Calculamos la derivada de la función (teniendo en cuenta que no es derivable en 0 ) y la igualamos a cero: f() sen + π 0 f 0 < () cos + π < 0 0 < cos 0 con 0 ; f π < π () con 0 < 1 π

8 Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso Calculamos la segunda derivada y sustituimos los valores que anulan la primera para determinar qué tipo de etremos relativos son: f () sen π < 0 0 < o o f f π π sen < 0 f tiene un máimo relativo en π π sen ( ) 1 > 0 f tiene un mínimo relativo en o ( 1) > 0 f Curvatura. f tiene un mínimo relativo en π. π. π. Estudiamos los valores que anulan la segunda derivada y el gno que toma ésta alrededor de ellos: f () 0 sen 0 0 con con π < 0 π; 0 < (impoble) π f Punto de Infleión + + f - π CONVEXA π CÓNCAVA 0 CÓNCAVA f π π sen < 0; f π π sen > 0 o La función es convea ( π, π). o La función es cóncava ( π,). o La función tiene un punto de infleión en π.