IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
|
|
- Vicenta Belmonte Villalba
- hace 9 años
- Vistas:
Transcripción
1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 0-0 Opción A Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima Función a optimizar Área = área rectángulo + área cuadrado = a + b Relaciones: perímetro: 6a = x a = x/6; b = - x b = ( x)/ Mi función A(x) = (x /36) + ( x) /6 El mínimo anula A (x) A (x) = x/36 (-)( x)/6, De A (x) = 0 x/9 -( x)/6 = 0 x/9 = ( x)/8 8x = 8 9x 7x = 8 x = 8/7 m Veamos que es mínimo A (x) = /36 + /6 > 0, luego es mínimo independientemente del valor de x Dimensiones pedidas: x = 8/7 m y x = 8/7 = 6/7 m Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y = x, y = 8 - x y la curva y = x x [0'5 puntos] Realiza un esbozo de dicho recinto [ puntos] Calcula su área Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y = x, y = 8 - x y la curva y = x x Realiza un esbozo de dicho recinto y = x es una recta, con dos valores basta, el (0,0) y el (,) y = 8 - x es una recta, con dos valores basta, el (,) y el (,0) f(x) = x x es unaparábola con las ramas hacia abajo, corte con los eje en (0,0) y (,0), y abscisa de su vértice en la soluuxió de f (x) = 0 = x x =, luego V(,) Un esbozo de las gráficas es el siguiente: (Veremos las abscisas donde se cortan para el área) y = x e y = 8 -x se cortan en x = 8 x, de donde 8x = 8 x = y = x y f(x) = x x se cortan en x = x x Las soluciones de x + x = 0 son x = 0 x = - y = 8 - x e y = x x se cortan en 8 - x = x x, de donde x - 6x +8 =0 Sus soluciones son x= y x= Como sólo me lo piden en el primer cuadrante, nos interesan las abscisas x = 0, x = y x =
2 Calcula su área Área = 0 [(x)-(x-x )]dx + [(8-x)-(x-x )]dx = 0 [x+x ]dx + [x 6x + 8]dx = = [x + x 3 /3] 0 + [x 3 /3 3x + 8x ] = [ (+/3)-(0) ] + [ (8/3-+6) - (/3-3+8) ] = = /3 + 0/3-6/3 = 8/3 u Ejercicio 3, Opción A, Modelo 5 de 0 Considera el sistema de ecuaciones x + ky + z = k + x + y + kz = 3 (k+)x + y + z = k + ['5 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución [0'5 puntos] Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? (c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para k = 0 y Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución k La matriz de los coeficientes del sistema es A = k y la matriz ampliada k+ k k+ * A = k 3 k+ k+ Si det(a) = A 0, rango(a) = rango(a * ) = 3 = nº de incógnitas El sistema es compatible y determinado y tiene solución única k Adjuntos A = k primera = k+ fila ()(-k) (k)(-k -k) + ()(-k-) = -k-k+k 3 +k --k = k 3 +k -6k = k(k +k-6) Resolviendo la ecuación k(k +k-6) = 0, tenemos k = 0, y de k +k-6 = 0 obtenemos k = -3 y k = Si k 0, k -3 y k, det(a) = A 0, rango(a) = rango(a * ) = 3 = nº de incógnitas El sistema es compatible y determinado y tiene solución única Si k = -3-3 A = -3 - y * A = -3 3 En A como -3 = 0, tenemos rango(a)= -3 - Adjuntos 3 primera - - fila = ()(-5) (-3)(5) + (-)(5) = = 0, tenemos rango(a * ) = Como rango(a) = = rango(a * ), el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Si k = A = 3 y 3 3 * A = 3 En A como = -5 0, tenemos rango(a)= 3
3 3 3 3 = 0, por tener dos filas iguales tenemos rango(a * ) = Como rango(a) = rango(a * ) = < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Si k = * A = 0 y A = 0 3 En A como 0 = 0, tenemos rango(a)= 0 Adjuntos 3 primera fila = ()() 0 + ()(-) = 0, tenemos rango(a * ) = Como rango(a) = rango(a * ) = < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Por tanto para k = -3, k = 0 y k =, el sistema tiene más de una solución (c) Resuelve el sistema para k = 0 Hemos visto en el apartado anterior que si k = 0, rango(a) = rango(a * ) =, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Como el rango es, sólo necesitamos ecuaciones (Tomo las del menor de A distinto de cero con el que hemos determinado el rango, es decir la ª y la ª) x + z = x + y = 3 Tomo x = a R, con lo cual tenemos z = / a/ e y = 3/ a/, con a R La solución del sistema es (x,y,z) = (a, 3/ a/, / a ) con a R Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 Se consideran los vectores u = (k,, ); v = (,, -) y w = (,, k), donde k es un número real [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes [ punto] Determina los valores de k para los que u + v y v w son ortogonales (c) [0'75 puntos] Para k = -, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo Se consideran los vectores u = (k,, ); v = (,, -) y w = (,, k), donde k es un número real Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes Los vectores son linealmente dependientes si su determinante es cero k k k +k Adjuntos det(u; v; w) = 0 = - F +F (-)= -k 0-3 = -k 0 --k segunda = -()( 0 (--k)(-k) ) = k F +F (-) -k 0 k- C +C -k 0 0 columna 3 3 = (--k)(-k) = k = 0, luego k = ± para que los vectores sean dependientes Determina los valores de k para los que u + v y v w son ortogonales Los vectores son ortogonales si su producto escalar ( ) es cero u + v = (k,, ) + (,, -) = (k+,, -) v w = (,, -) - (,, k) = (, 0, --k) (u + v) (v w) = (k+,, -) (, 0, --k) = 0 = k k+ = k+ = 0, de donde k = - para que sean ortogonales (c) Para k = -, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo El vector perpendicular a la vez a v y w es su producto vectoiral (x) v = (,, -) y w = (,, -) 3
4 v x w = i j k - - = i() j(0) + k() = (,0,) Como me dicen que el vector sea unitario dividimos dicho vector por su módulo v x w = El vector pedido es ( /,0, / ) = ( /, 0, / ) + = Opción B Ejercicio, Opción B, Modelo 5 de 0 Sea la función f : R R definida por f(x) = ln(x + 3x + 3) - x donde ln denota la función logaritmo neperiano ['5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) [ punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = - Sea la función f : R R definida por f(x) = ln(x + 3x + 3) - x donde ln denota la función logaritmo neperiano Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) Me piden la monotonía es decir el estudio de la ª derivada f(x) = ln(x + 3x + 3) x x+3 f (x) = x +3x+3 - = x+3 - (x +3x+3) - x - x = x +3x+3 x +3x+3 De f (x) = 0 -x x = 0 = x(-x-), de donde x = 0 y x = -, que serán los posibles extremos relaticos ց en (-,-) Como f (-) = -/(+) < 0, f es estrictamente decreciente ( ) Como f (-0 ) = (-0 )(-0 9)/(+) > 0, f es estrictamente creciente ( ր) en (-,0) Como f () = -/(+) < 0, f es estrictamente decreciente en ( ց ) (0,+ ) Por definición x = - es un mínimo relativo y vale f(-) = ln() + = Por definición x = 0 es un máximo relativo y vale f(0) = ln(3) + 0 = ln(3) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = - La ecuación de la recta normal en x = - es y f(-) = [ -/f (-) ] (x + ) f(x) = ln(x + 3x + 3) x f(-) = ln() (-) = - x - x f (x) = f (-) = (-)/ = - x +3x+3 La ecuación de la recta normal en x = - es y = (/) (x + ) Ejercicio, Opción B, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (0;+ ) R definida por f(x)=ax + bln(x), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x = y que f(x)dx =- 8ln() Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (0;+ ) R definida por f(x) = ax + bln(x), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x = y que Como tiene un extremo relativo en x =, tenemos f () = 0 f(x) = ax + bln(x) f (x) = ax + b/x, de donde f () = 0 nos dá a + b = 0, luego b = -a Nuestra función es f(x) = ax aln(x) f(x)dx = 7-8ln() De f(x)dx = 7-8ln(), tenemos (ax - aln(x))dx = 7-8ln() = {**} = [ax 3 /3 -a(x lnx x) ] = = (6a/3 a( ln() ) (a/3 -a(0-)) = 6a/3 8a ln() + 8a a/3 + a = 7a 8a ln(), de donde obtenemos que a = y b = - Ejercicio 3, Opción B, Modelo 5 de Dada la matriz A = 5, sea B la matriz que verifica que AB = - 7 3
5 [ punto] Comprueba que las matrices A y B poseen inversas ['5 puntos] Resuelve la ecuación matricial A - X - B = BA 3 - Dada la matriz A = 5, sea B la matriz que verifica que AB = Comprueba que las matrices A y B poseen inversas A tiene inversa si det(a) 0 det(a) = 3 - = = 3 0, luego A tiene inversa 5 Sabemos que det(a B) = det(a) det(b), si A y B son matrices cuadradas de igual orden det(a B) = det(a) det(b) = 3 det(b) = - = -6-7 = -3, de donde det(b) = -3/3 = - 0, luego B tiene 7 3 inversa Resuelve la ecuación matricial A - X - B = BA Multiplicamos la expresión anterior por A por la izquierda AA - - X - AB = ABA, de donde X = AB + ABA = = = Ejercicio, Opción B, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Encuentra los puntos de la recta r (x-)/ = (-y)/ = z-3 cuya distancia al plano π x-y+z= vale cuatro unidades Ponemos la recta en paramétricas recta r (x-)/ = (-y)/ = z-3 = λ R, de donde x = + λ -y = - + λ, luego y = - λ, z = 3 + λ Un punto genérico de la recta r es X(x,y,z) = X( + λ, - λ, 3 + λ) Le imponemos a este punto que su distancia al plano π x - y + z = 0 sea u (+ λ) - (- λ) + (3+ λ) λ d(x, π) = = =, de donde + 0λ =, que nos dan lugar a dos ecuaciones: +( + 0λ) =, de donde λ = y el punto es X ( + (), (), 3 + ()) = X (5, 0, ) +( + 0λ) = -, de donde λ = -/0 = -7/5 y el punto es X ( + (-7/5), (-7/5), 3 + (-7/5)) = = X (-3/5, /5, 8/5) Luego hay dos puntos el X (5, 0, ) y el X (-3/5, /5, 8/5) 5
IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Específico Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Específico Modelo 1) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 específico Sea la función f: (0,+) R definida por f(x) 1/x + ln(x) donde
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Incidencias. Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Junio de 04 (Incidencias Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Junio Incidencias 04 Sea f la función definida por f(x) = x + ln(x)
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco
Más detallesOpción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 x cos(x) + b sen(x) [2 5 puntos] Sabiendo que lim
IES Fco Ayala de Granada Junio de 013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 013 x cos(x) + b sen(x) [ 5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula b
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 ( Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 11 ( Modelo 3) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 del 11 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida por f(x) ax 3 + bx +cx, determina
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f(x) = x 2 + ax + b y g(x) = c e (x+1) Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto ( 1, 2) y tienen en ese punto la
Más detallesModelo1_2009_Enunciados. Opción A
a) Duración: hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la. e) Se permitirá el uso de calculadoras que
Más detallesOpción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 2014
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna [ 5 puntos] Sabiendo que Sabiendo que 0 0 cos(3) - e + a sen() Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre
Más detallesMatemáticas II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 2012 BACHILLERATO FORMACIÓN PROFESIONAL CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR.
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 0 Matemáticas II BACHILLERATO FORMACIÓN PROFESIONAL CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR Examen Criterios de Corrección y Calificación UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 0ko
Más detallesINSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
Opción A Ejercicio 1.- Sea la función f : (0, + ) R definida por f(x) = 1 +ln(x) donde ln denota la función x logaritmo neperiano. (a) [1 75 puntos] Halla los [ extremos ] absolutos de f (abscisas donde
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. Miguel A. Jorquera
UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Miguel A. Jorquera BACHILLERATO MATEMÁTICAS II JUNIO 2 ii Índice General 1 Examen Junio 2. Opción B 1 2 SOLUCIONES del examen de junio 2 Opción
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 013 Capítulo 13 Año 01 13.1. Modelo 01 - Opción A Problema 13.1.1 (3 puntos) Dados los puntos A(1,
Más detallesMatemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales
Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2
Más detallesPROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.
PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.
Más detallesELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 008-009 MATEMÁTICAS II ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. Bloque 1. Dado el número real a, se considera el sistema a) Discuta el sistema según los valores
Más detallesObservaciones del profesor:
Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: 60 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 4 puntos) Se considera la matriz: A=( ) a) Determina la matriz B= A 2-2A 1,5 PUNTOS b) Determina los
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto. Ejercicio 2.- Sean
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008
1. Sean los puntos A (1, 0,-1) y B (,-1, 3). Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. Calculemos la recta que pasa por A y B. El vector AB es (1,-1,4) y por tanto
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD SEPTIEMBRE 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2009-2010 Matemáticas Serie 1 Responda a CINCO de las siguientes seis cuestiones. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión
Más detallesTEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1
TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado
Más detallesSELECTIVIDAD MURCIA MATEMÁTICAS II. e πi +1 = 0 MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II. Germán Ibáñez http://www.otrapagina.com/matematicas
MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II SELECTIVIDAD MURCIA e πi + = icosaedro octaedro cubo tetraedro 3 de diciembre de 4 Germán Ibáñez http://www.otrapagina.com/matematicas dodecaedro . Índice general.
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
Más detalles8A-5B = -2 1 3, 2A-B =
MasMatescom 1 [ANDA] [JUN-A] Sea la matriz A = 001 2 1 2 1 k 1 a) Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta b) Para k = 0, resuelve la ecuación
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco
Más detallesOpción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Modelo Específico o Colisión) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 m Sea g la función definida por g() para n. ( - n)
Más detallesVectores en el espacio
Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.
VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar
Más detalles4. Se considera la función f(x) =. Se pide:
Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesIntegral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)
Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb
Más detallesCURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre
CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una
Más detallesLímite de una función
Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesMATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 00 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 00 (Modelo ) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO Sea el recinto del plano definido
Más detalles1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detallesEstudio de ceros de ecuaciones funcionales
Capítulo 1 Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Problema 1.1 Calcular el número de ceros de la ecuación arctang(x) = 4 x, dando un intervalo 5 donde se localicen. Solución: Denimos f(x) = arctan(x)
Más detallesProblemas resueltos correspondientes a la selectividad de Matemáticas II de junio de 2009, Andalucía
Problemas resueltos correspondientes a la selectividad de Matemáticas II de junio de 9, Andalucía Pedro González Ruiz septiembre de. Opción A Problema. Calcular el siguiente límite (ln denota logaritmo
Más detallesDIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Curso Asignatura 2014/2015 MATEMÁTICAS II 1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad La siguiente relación de objetivos,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2015 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 05 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo del 05 [ 5 puntos] Sea f : R R la función dada por f(x) = ax 3 + bx + cx + d Halla
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesMatemáticas II para Alumnos de Bachillerato
Matemáticas II para Alumnos de Bachillerato ESTRUCTURA DE LOS EXÁMENES El examen constará de dos opciones (A y B) con cuatro cuestiones cada una. El alumno deberá elegir una opción (A o B) y resolver las
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO 4 (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea el recinto determinado
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 30 de septiembre de 014 Índice general 1. Año 000 7 1.1. Modelo 000 - Opción A.................... 7 1..
Más detallesProblemas de Selectividad. Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad Isaac Musat Hervás 3 de mayo de 007 Índice General 1 Problemas de Álgebra 5 1.1 Matrices en General....................... 5 1. Determinantes.......................... 6 1.3
Más detallesEcuaciones de segundo grado
3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver
Más detallesEl alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. OPCIÓN A. 2 1 1 y C 4 2 2 1 0 0
Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máima. OPCIÓN A. Considerar las matrices 0 A 0,
Más detallesEjercicio 1 del modelo 2 de la opción A de sobrantes de Solución
Ejercicio 1 del modelo 2 de la opción A de sobrantes de 2002 (a) [1'5 puntos] Determina la función f: R R sabiendo que f '(x) = 2x 3-6x 2 y que su valor mínimo es -12. (b) [1 punto] Calcula la ecuación
Más detallesPruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León
Pruebas de cceso a las Universidades de Castilla y León MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTTIVIDD: EL LUMNO DEBERÁ ESCOGER UN DE LS DOS OPCIONES Y DESRROLLR LS PREGUNTS
Más detallesTema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1
Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto
Más detallesUNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria
Más detallesEXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA
EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Halle el punto P simétrico del punto P ( 3, 4, 0) respecto del plano Л que contiene a la recta s : x = y 2 = z 1 y al
Más detallesMATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2010 (COMÚN MODELO5) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
IES Fco Ayala de Granada Junio de 010 (General Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 010 (COMÚN MODELO5) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto definido
Más detallesMATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 a 1 1 1 3 Sean las matrices
Más detallesEjercicios de Análisis propuestos en Selectividad
Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa
Más detalles3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21
3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles
Más detallesMatemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales
Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector
Más detallesMATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)
MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesProblemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás
Problemas de 2 o Bachillerato ciencias sociales) Isaac Musat Hervás 27 de mayo de 2007 2 Índice General 1 Problemas de Álgebra 5 1.1 Matrices, Exámenes de Ciencias Sociales............ 5 1.2 Sistemas de
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesPRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : (0,+ ) R la función definida por f(x) = 3x + 1 x. (a) [1 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde
Más detallesCapitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesTema 3: Producto escalar
Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción
Más detallesBloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A
Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre
Más detallesTema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)
Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto
Más detallesFunción Cuadrática *
Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D
Más detallesExamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Septiembre 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos
Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II Septiembre 2013 Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 2 puntos Se consideran las matrices A = 3 8. 3 5 0 2 3 0 y B = a Calcúlese la matriz
Más detallesExamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Septiembre 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos
Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Septiembre 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos 0 2 Problema 1 (2 puntos) Se consideran las matrices A y B 3 0 3 8. 3 5 a) Calcúlese la
Más detalles9 Geometría. analítica. 1. Vectores
9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C
Más detalles8 Geometría. analítica. 1. Vectores
Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea la función f: (0,+ ) R definida por f(x) = ln(x), donde ln denota logaritmo x neperiano. a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [1 5 puntos] Halla
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,
Más detallesSolución. Las dimensiones de la caja para un coste mínimo son x = 4 cm e y = 80/(4 2 ) = 5m
Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de 2004 [2'5 puntos] Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que
Más detallesNota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:
Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 4 Especifico 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 013 (Modelo 4 Especifico ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 013 específico [ 5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un
Más detallesMatemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8
Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detalles