Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 009 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II sobre Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales Cada uno lleva un código como el siguiente: A-, que significa ejercicio de la opción A del modelo 6 de la convocatoria de 009 Ejercicio 009--A- a [ 5] En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 090 m, 50 m y 40 m, cuyos precios respectivos son 4 euros, 6 euros y 0 euros Un cliente ha comprado 9 listones, con una longitud total de 30 m, que le han costado 6 euros en total Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado ese cliente b [ 5] Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y resuélvalo, si es posible: 3x y z 0 x y +z 8 x 3z 0 Solución : Apartado a Llamemos x, y y z al número de listones que ha comprado el cliente de 090 m, de 50 m y de 40 m, respectivamente Entonces el sistema viene determinado por las siguientes ecuaciones: Ha comprado 9 listones: x + y + z 9, La longitud total es de 30 m: 0 9x + 5y + 4z 30, El precio total es de 6 euros: 4x + 6y + 0z 6 * Profesor del IES Acci de Guadix Granada -

2 x + y + z 9, 0 9x + 5y + 4z 30, 4x + 6y + 0z 6 aunque no se pide, su solución es la siguiente: 8 listones de 0 9 m, 4 listones de 50 m y 7 listones de 40 m Apartado b Resolvemos el sistema aplicando el método de Gauss-Jordan: x 3z 0, y 8z 0, 9z 8; x 6, y 6, z El sistema dado es compatible determinado y su solución es x 6, y 6 y z Ejercicio 009--B-, Septiembre Sean las matrices: 3 A y B 0 a [] Calcule A y B + I b [] Resuelva la ecuación matricial A X I B Solución : Apartado a Las matrices solicitadas son: A 3 A A, B + I A 3 y B + I Andalucía Antonio Roldán

3 Apartado b El determinante de la matriz A es: det A 0 0 Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y ésta es: A det A adj AT 0 0 Despejamos entonces la matriz X de la ecuación matricial: A X I B A X B + I A A X A B + I I X A B + I X A B + I La matriz B + I es: B I De esta forma, la matriz X buscada es: X A B + I Concluimos que: X Ejercicio A-, Junio Sea la igualdad A X + B A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión a [] Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa b [] Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo A y B 3 Andalucía 3 Antonio Roldán

4 Solución : Apartado a Primero se despeja A X pasando B restando al segundo miembro y luego se multiplica por la inversa de A por la izquierda: A X + B A A X A B A A X A A B I X A A A B X I A B, donde I es la matriz identidad de la misma dimensión que A También hubiese valido X A A B X A A B I A B Apartado b Teniendo en cuenta que el determinante de A es, su matriz inversa es: A det A adj AT De esta forma, podemos calcular la matriz X utilizando el apartado anterior: X I A B Concluimos que la matriz X solicitada es: X Ejercicio 4 a [] Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 3 x 0 y x + b [] Dada la matriz A 0 z 3 4 5, calcule la matriz M A t A 0 Solución : Apartado a Tras multiplicar las matrices, el sistema queda de la forma: 4x + 3y +, 4x + 3y 3, 3y + 4x y + x + + x + y + 4, x + y, + z 0 z + 0 z Andalucía 4 Antonio Roldán

5 De la tercera ecuación, z, y resolviendo el sistema formado por las dos primeras, llegamos a x 0 e y El sistema dado es compatible determinado y su solución es x 0, y y z Apartado b El determinante de la matriz A es: 3 det A Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y ésta es: A det A adj AT Entonces: M A t A La matriz M buscada es Ejercicio B- Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C El fabricante A envasa el tomate en latas de 50 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de kg Esas latas de tomate se venden a, 8 y 33 euros, respectivamente Compramos un total de 0 latas, que pesan un total de 0 kg y nos cuestan 356 euros Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado a [] Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior b [] Resuelva el problema Solución : Apartado a Llamemos x, y y z al número de latas que hemos comprado de 50 g, 500 g y kg, respectivamente Entonces el sistema viene determinado por las siguientes ecuaciones: Hemos comprado 0 latas: x + y + z 0, El peso total es de 0 kg: 0 5x + 0 5y + z 0, El precio total es de 35 6 euros: x + 8y + 3 3z 35 6 Andalucía 5 Antonio Roldán

6 El sistema solicitado es x + y + z 0, 0 5x + 0 5y + z 0, x + 8y + 3 3z 35 6 Apartado b Resolvemos el sistema anterior utilizando el método de Gauss-Jordan multiplicando la segunda ecuación por 4 y la tercera por 0: x + y + z 0, y + 3z 0, z 4; x 8, y 8, z Hemos comprado 8 latas de 50 gr, 8 latas de 500 gr y 4 latas de kg Ejercicio A- [3] Sean las matrices 4 3 A 0 0, B Determine X en la ecuación matricial X A B C y C Solución : El determinante de la matriz A es: 4 det A Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y ésta es: A det A adj AT Despejamos entonces la matriz X de la ecuación matricial: X A B C X A B + C X A A B + C A X I 3 B + C A X B + C A Andalucía 6 Antonio Roldán

7 La matriz B + C es: B + C I 3 De esta forma, la matriz X buscada es: X B + C A I 3 A A Concluimos que: X Andalucía 7 Antonio Roldán