LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 1. a) La matriz simétrica asociada. b) Cuál es su signo? Justifique su respuesta.

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1 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA Sea la forma cuadrática. Calcule: ) ( φ a) La matri simétrica asociada. b) Cuál es su signo? Justifique su respuesta. a) La matri simétrica A que determina la forma cuadrática φ se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos mientras que cada elemento a ij con i j se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j. Así A luego φ se puede epresar como: ( ) ) ( φ b) Apliquemos el método de los menores principales: < > R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui Como es negativo podemos deducir sin necesidad de calcular que la forma cuadrática es indefinida.

2 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA Clasifique utiliando el signo de los autovalores la siguiente forma cuadrática: f( ) - -. Cambia el signo si la clasificamos ahora restringida a? Para poder clasificar la forma cuadrática por el signo de los valores propios tenemos que obtener los mismos. Para ello construimos primero la matri simétrica que representa dicha forma cuadrática la cual se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos mientras que cada elemento a ij con i j se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j. Así tenemos: A Si calculamos sus valores propios tenemos: A λi λ λ λ ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) [( λ)( λ) ] ( λ) λ( λ ) luego los valores son: λ λ λ α α α con lo cual la forma cuadrática sería semidefinida positiva puesto que uno de ellos vale cero siendo los restantes positivos. Si clasificamos la forma cuadrática sujeta a la retricción nos desaparece una de las variables puesto que recordemos que si tenemos una forma cuadrática con n R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

3 variables (en nuestro caso n ) la sujetamos a m restricciones (en nuestro caso m ) nos queda una forma cuadrática con n - m variables ( ). espejando en la restricción obtenemos que -. Sustituendo esta información en la forma cuadrática original nos queda: cua matri es: f ( ) 5 R A R 5 Si la clasificamos por el método de los menores principales vemos cómo 5 > > por lo que pasa a ser definida positiva cambiando su clasificación anterior sin restringir que recordemos era semidefinida positiva. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

4 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA (Eamen Septiembre ) Indique el signo de la siguiente forma cuadrática: s. a. ( ) ( ) Para clasificar una forma cuadrática restringida como es este caso primero podemos ver el signo de la forma cuadrática sin restringir puesto que si tenemos la suerte de que sea definida positiva o definida negativa no haría falta clasificarla restringida puesto que no cambiaría su clasificación. En este caso si observamos la matri de la forma cuadrática sin restringir vemos un cambio de signo en la diagonal principal con lo cual sería indefinida. Para restringirla debemos obtener la forma analítica la cual sería: f ( ) 8 también debemos desarrollar la ecuación a que se restringe que es: Sabemos que cuando tenemos una forma cuadrática restringida deben quedar n - m variables siendo n el número de variables originales (en nuestro caso n ) m el número de restricciones del problema (m ) luego nos deben quedar variables. Para ello debemos despejar en la restricción sustituir la información obtenida en la forma cuadrática original. Como tenemos una única restricción sólo podemos despejar una variable en función de las otras dos. Si despejamos por ejemplo la variable tenemos: sustituendo esta información en la forma cuadrática inicial tenemos: f R ( ) ( ) 8( ) ( ) siendo la matri que la representa: R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

5 5 A R 5 resultando la forma cuadrática restringida indefinida puesto que observamos también un cambio de signo en la diagonal principal. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

6 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA 5 (Eamen Enero ) Clasificar la forma cuadrática t A restringida a siendo: A La matri de la forma cuadrática sin restringir posee elementos de signo distinto en la diagonal principal por tanto define una forma cuadrática indefinida ( ) ( ) φ Al restringirla la forma cuadrática puede tener cualquier carácter. espejemos de la restricción: - Sustituendo esta epresión en φ obtenemos una forma cuadrática que depende de variables por tener tres variables iniciales sólo una restricción: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ R R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui luego al ser la matri diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal al ser uno nulo otro negativo la forma cuadrática es semidefinida negativa.

7 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA 8 ada la forma cuadrática φ ( ) 8 a) Escriba su epresión matricial especificando la matri simétrica asociada. b) Clasifíquela c) Analice si cambiaría su signo al restringirla a : a) Sabemos que la matri simétrica asociada con dicha forma cuadrática se obtiene colocando en la diagonal principal los coeficientes de los términos cuadráticos mientras que cada elemento a ij con i j se obtiene de dividir por dos el coeficiente del término que multiplica la variable i por la j. Así tenemos: A / / 8 b) Puesto que observamos una alternancia de signo en los elementos de la diagonal principal de la matri a la hora de clasificarla diremos que es indefinida. Pero supongamos que no nos damos cuenta de este hecho que pasamos a clasificarla por el método de los menores principales obteniendo el siguiente resultado: / luego no podemos concluir el signo de la forma cuadrática puesto que iría para semidefinida pero no se puede confirmar este hecho hasta que no hagamos todas las transformaciones fila-columna de la matri veamos que no se produce un cambio de signo. Si realiamos la transformación - es decir cambiamos la fila la columna por la tenemos: / 8 R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

8 cuos menores son: T 8 8 / 8 / / Vemos que un menor de orden par resulta negativo lo cual es signo de que la forma cuadrática es indefinida no haciendo falta realiar las demás transformaciones fila-columna puesto que basta con que una cambie de signo para decir que a no es semidefinida como parecía en un principio sino indefinida. / < c) En este apartado nos piden el signo de la forma cuadrática si la sujetamos a dos restricciones. Puesto que el número de variables que se quedan en una forma cuadrática restringida es n - m siendo n el número de variables originales (n en nuestro caso) m el número de restricciones (m ) en este problema nos debe quedar variable. ado que nuestras restricciones son: podemos despejar dos variables en función de una tercera e incorporar dicha información en la forma cuadrática original. Así si despejamos las variables e tenemos: Con lo cual nos queda: φ 5 5 R ( ) 8 siendo una forma cuadrática definida positiva puesto que si toma valores distinto de cero la forma cuadrática siempre tomará un valor positivo. 5 R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

9 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA Un fabricante produce tres bienes en cantidades respectivamente obtiene con ello un beneficio según la epresión: B( ) 5-8 etermine si los beneficios del empresario son estrictamente positivos en cada uno de los siguientes casos: a) La cantidad que produce del primer bien es dos veces la que produce del segundo. b) Por cada unidad producida del primer bien produce dos del tercero. c) La cantidad que produce de los tres bienes es la misma. a) Vamos a clasificarla primero sin restringir para ello calculamos su matri simétrica asociada: 5 A A la vista del signo de los menores principales la forma cuadrática es indefinida por tanto presentaría beneficios perdidas. La cantidad que produce del primer bien es dos veces la que produce del segundo esto nos lleva a restringir la función de beneficios con la siguiente restricción: La matri asociada es: B( ) 5 s. a. 8 B R ( ) 5( ) 8 8 A R Por tanto al ser los dos menores estrictamente positivos la forma cuadrática restringida es definida positiva lo que significa que con esta combinación de producción se obtienen siempre beneficios. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

10 b) Por cada unidad producida del primer bien produce dos del tercero esta combinación nos lleva a restringir la función de beneficios con la restricción: a s B ) ( B R 6 ) ( 8 ) ( 5 ) ( La matri asociada es: A R Por tanto al ser los dos menores estrictamente positivos la forma cuadrática restringida es definida positiva lo que significa que con esta combinación de producción también se obtienen siempre beneficios. c) La cantidad que produce de los tres bienes es la misma. a s B ) ( ) ( > B R R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui también se obtienen beneficios puesto que nos vuelve a dar definida positiva.

11 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA Se está estudiando la producción de cuatro bienes A B C los cuales se producen en cantidades t respectivamente. La función de beneficios estimada en función de las cantidades producidas es: B( t) - - t La producción de C influe en la de A la de en la de B de forma que por cada unidad que se fabrica de C se obtienen α de A B respectivamente. Se desea conocer entre qué valores variará el parámetro α para que la empresa obtenga beneficios (B > ). Interprete los resultados obtenidos. Al calcular la matri asociada alternar signo en la diagonal principal la forma cuadrática representativa de la función de beneficios es indefinida es decir la empresa puede ganar o perder dependiendo de la combinación de sus cuatro bienes. A El problema nos plantea dos restricciones que se corresponden con el estudio del signo de la forma cuadrática restringida siguiente: B( t) - - t s.a α α t B R ( t) ( α ) ( α t) t α α t ( α ) ( α ) t α t La matri asociada es: A R α α α α α ( α ) α R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

12 ( α ) ( ) ( ) ( ) (.7) (.7.7) ( α α α α ± α ±.7 ) ±.7 para que nos salga definida positiva lo que implicaría que la función obtiene beneficios tenemos que realiar un estudio de los signos de los dos menores principales a la vista de los resultados es imposible puesto que para que sea positivo estricto α ( ) ( ) para que lo sea α (.7.7 ) por tanto no eiste valor del parámetro para el que la combinación dada produca beneficios positivos estrictos. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

13 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA (Eamen Julio ) Una panadería que pretende ampliar su cuota de mercado está pensando en lanar tres tipos nuevos de pan: pan de centeno multivitamínico pan a las finas hierbas pan de queso. Según un estudio de mercado los beneficios que obtendría con las ventas de los tres nuevos tipos de panes siguen la siguiente epresión: B( ) 6 donde representan las cantidades vendidas de los tres productos. En dicho estudio se indica también que se va a vender el cuádruple de pan de queso que el de finas hierbas. Indique si le va a resultar rentable a la panadería el lanamiento de los nuevos productos. Para analiar si resulta rentable el lanamiento de los nuevos productos ( ) hemos de comprobar si los beneficios son positivos teniendo en cuenta la relación prevista entre (pan de queso) e (pan a las finas hierbas). Se trata pues de clasificar la siguiente forma cuadrática restringida: B( ) 6 s. a. Si aplicamos el método de los menores principales a la matri asociada a la forma cuadrática sin restringir: > 7 < de lo que se desprende que la forma cuadrática es indefinida es decir los beneficios son positivos para algunos valores de ( ) son negativos para otros. Ahora bien teniendo en cuenta que eiste una relación entre las ventas de los dos últimos productos veamos si considerando dicha relación los beneficios serán siempre positivos. Para ello sustituimos la restricción en la función aplicamos de nuevo el método de los menores principales: B R ( ) ( ) 6 () 58 6 > A R 58 > de lo cual podemos concluir que los beneficios son positivos que por tanto resulta rentable el lanamiento de los nuevos productos bajo la relación prevista entre ellos. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

14 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA (Eamen Junio ) Clasifique la siguiente forma cuadrática: Φ( ) s.a - Antes de clasificar la forma cuadrática restringida vamos a clasificarla sin restringir para ver si es definida puesto que en ese caso no haría falta restringirla. Para ello obtenemos la matri de dicha forma cuadrática: A la clasificamos por los menores principales: < no haciendo falta obtener el tercero puesto que siempre que tenemos un menor de orden par negativo sabemos que la forma cuadrática es indefinida. Por tanto al no se definida pasamos a restringirla. e las dos restricciones obtenemos: - sustituendo en la forma cuadrática original nos queda: Φ ( ) R la cual es definida positiva puesto que al sustituir por cualquier valor distinto de cero siempre saldrá un número positivo. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

15 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA (Eamen Septiembre ) Una empresa de helados fabrica tres tipos distintos de productos: cucuruchos polos tarrinas en cantidades respectivamente. Se conoce que su función de beneficios tiene la siguiente epresión: B( ) 5 6 Tras un estudio de las demandas del mercado la empresa está pensando en producir el triple de polos que de tarrinas pero no está mu segura del éito de esta estrategia. Qué le diría usted? Para analiar el éito de esta estrategia hemos de comprobar si los beneficios son positivos teniendo en cuenta la relación prevista entre (los polos) (las tarrinas). Se trata pues de clasificar la siguiente forma cuadrática restringida: B( ) 5 6 s. a. Si aplicamos el método de los menores principales a la matri asociada a la forma cuadrática sin restringir: > < 5 de lo que se desprende que la forma cuadrática es indefinida es decir los beneficios son positivos para algunos valores de ( ) son negativos para otros. Ahora bien teniendo en cuenta que eiste una relación entre las ventas de los dos últimos productos veamos si considerando dicha relación los beneficios serán siempre positivos. Para ello sustituimos la restricción en la función aplicamos de nuevo el método de los menores principales: B R ( ) () 5 () 6 () 8 > A R < de lo cual podemos concluir que la forma cuadrática restringida es indefinida por consiguiente los beneficios no siempre van a ser positivos con esta estrategia pudiendo tener pérdidas. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

16 LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA 6 (Eamen Septiembre 5). Una empresa aceitera comercialia tres tipos distintos de aceite: de girasol de oliva etra oliva en cantidades respectivamente. El beneficio que obtiene de su venta viene dado por: B( ) 6 icha empresa está pensando en fabricar una cantidad de aceite de oliva igual a la suma de las cantidades que fabrique de los otros dos tipos le resultará rentable esta estrategia? Vamos a clasificarla primero sin restringir para ello calculamos su matri simétrica asociada: > A < A la vista del signo del menor principal par la forma cuadrática es indefinida por tanto presentaría beneficios pérdidas. Por ello la empresa está pensando en fabricar una cantidad de aceite de oliva igual a la suma de las cantidades que fabrique de los otros dos tipos esto nos lleva a que las variables de la función de beneficios deben verificar la siguiente relación: Se trata pues de clasificar la siguiente forma cuadrática: ( ) ( ) ( ) BR ( ) ( ) 8 Los menores de la matri asociada son: 8> > al ser los dos menores estrictamente positivos la forma cuadrática restringida es definida positiva lo que significa que con esta combinación de producción se obtienen siempre beneficios. Por tanto la estrategia es rentable. R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui

17 R. Caballero T. Góme M. Gonále M. Hernánde F. Miguel J. Molina M M. Muño L. Re F. Rui