Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas

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1 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 8 de septiembre de 010 Índice 111 Introducción 1 11 Matriz Igualdad entre matrices 11 Matrices especiales Suma de matrices 116 Producto de un escalar por una matriz 117 Producto de una matriz por un vector Matriz de requerimiento Producto entre Matrices Matriz de requerimiento y producto de matrices Propiedades de las operaciones 9 111Notas Importantes Introducción En esta lectura veremos conceptos básicos sobre matrices, las operaciones de suma entre matrices, producto de un escalar por una matriz y el producto entre matrices 11 Matriz Definición 111 Una matriz A m n es un arreglo rectangular de m n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a 11 a 1 a 1n a 1 a a n (1) a m1 a m a mn Nos referiremos al elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j como el elemento a ij de A o como el (i, j)-ésimo elemento de A La dimensión de A es el producto indicado del número de renglones por el número de columnas, así en este caso la dimensión de A es m n El i-ésimo renglón de A es: [ ai1 a i a in La j-ésima columna de A es: a 1j a j a mj

2 También podemos considerar que la matriz A es una secuencia de sus columnas a 1, a,, a n : A [a 1 a a n Ejemplo 111 Indique cuáles de las siguientes representaciones son matrices: 3 3,, Recuerde: Matriz es un arreglo rectangular; Por consiguiente, la única representación que corresponde a una matriz es la última Ejemplo 11 Para cada matriz, indique el número de renglones, el número de columnas y su dimensión: [ [ [ 6 [ [ tiene renglones y 1 columna: es 1; tiene 1 renglón y columnas: es 1, 3 tiene 3 renglones y 1 columna: es 3 1, tiene renglones y columnas: es, 5 tiene 1 renglón y 3 columnas: es 1 3, 6 tiene 3 renglones y 3 columnas: es 3 3, 7 tiene 3 renglones y columnsa: es 3, y 8 tiene renglones y 3 columnas: es 3 Ejemplo 113 Liste en orden los elementos (3, 1), (3, ), y (, ) de la matriz: El elemento (3, 1) está en el renglón 3 y en la columna 1: es -3 El elemento (3, ) está en el renglón 3 y en la columna : es 3 El elemento (, ) está en el renglón y en la columna : es Igualdad entre matrices Definición 11 Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales

3 Ejemplo 11 Cuál debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales: [ [ 1 x 1 y x y x + y x 3 Se requiere que: x y x, que y x y que x+y 3 Resolviendo el sistema se obtiene que x 1 y que y Ejemplo 115 Cuál debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales: [ 1 y x 1 x x 3 y x + y 0 0 Como la matriz a la izquierda es y la de la derecha es 3 Las matrices no pueden ser iguales para ningún valor de x y de y 11 Matrices especiales Definición Una matriz 1 n se llama matriz renglón Una matriz m 1 se denomina una matriz columna o vector 3 Una matriz n n se llama matriz cuadrada Una matriz cuya totalidad de elementos es cero se llama matriz cero y se representa por 0 Sea A una matriz cuadrada: 1 A la colección de elementos a ii se le llama su diagonal principal Se dice matriz triangular superior si todos los elementos que están abajo de la diagonal principal son cero 3 Se dice matriz triangular inferior si todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son cero Se dice matriz diagonal si todos los elementos que están por arriba y por abajo de la diagonal principal son cero 5 Se dice matriz escalar si es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales Ejemplo 116 Clasifique las siguientes matrices: [ [ [ 0 0 [ [ 0 0 [ [ [

4 La matriz 1 por el elemento (, 1) no es ni triangular superior, ni diagonal, ni escalar Por el elemento (1, ) tampoco es triangular inferior La matriz por el elemento (, 1), no es triangular superior, ni diagonal ni escalar Por el lemento (1, ) tampoco es triangular inferior La matriz 3 es triangular superior, pero no diagonal ni escalar; no es triangular inferior La matriz es triangular superior y triangular inferior, diagonal pero no matriz escalar La matriz 5 es triangular inferior, pero no diagonal ni escalar; no es triangular superior La matriz 6 es triangular inferior, pero no diagonal ni escalar; no es triangular superior La matriz 7 es triangular inferior, triangular superior, matriz diagonal y matriz escalar La matriz 8 no es triangular inferior, ni triangular superior, ni matriz diagonal, ni matriz escalar 115 Suma de matrices Definición 11 Dos matrices de las mismas dimensiones se pueden sumar; la suma de dos matrices de diferente dimensión no La suma de dos matrices de las mismas dimensiones es una matriz de las misma dimensiones y se obtiene sumando sus elementos correspondientes: a 11 a 1n b 11 b 1n a 11 + b 11 a 1n + b 1n a 1 a n + b 1 b n a 1 + b 1 a n + b n a m1 a mn b m1 b mn a m1 + b m1 a mn + b mn Ejemplo 117 Realice la suma de las matrices: A y B Observamos que la suma sí se puede realizar porque las dimensiones de las matrices coinciden, así: ( 1) + ( 1) () + (0) (1) + (1) (1) + () (1) + () (1) + (1) Producto de un escalar por una matriz Definición 115 Sea A cualquier matriz y c un escalar cualquiera El producto escalar c A es una matriz que tiene las mismas dimensiones que la matriz A, y que en cada elemento contiene el elemento correspondiente de A multiplicado por c: a 11 a 1 a 1n c a 11 c a 1 c a 1n a 1 a a n c c a 1 c a c a n a m1 a m a mn c a m1 c a m c a mn Ejemplo 118 Realice el producto

5 Este producto siempre se puede realizar, y en este caso: 1 ( 3) ( 1) ( 3) () ( 3) (1) ( 3) (0) 1 ( 3) (1) ( 3) ( ) 117 Producto de una matriz por un vector Definición 116 Sea A una matriz m n y B una matriz columna n 1, el Producto Matricial A B es la una matriz C columna m 1 definida como: n a 11 a 1 a 1n b 1 j1 a 1j b j a 1 a a n n j1 a j b j b a m1 a m a mn b n n j1 a mj b j a 11 b 1 + a 1, b + + a 1n b n a 1 b 1 + a, b + + a n b n a m1 b 1 + a m, b + + a mn b n El producto no está definido cuando el número de columnas de A es diferente que el número de renglones de B Alternativamente, a 11 a 1 a 1n b 1 a 11 a 1 a 1n a 1 a a n b b a b a + + b a n n a m1 a m a mn b n Ejemplo 119 Realize el producto de acuerdo a ambas definiciones y compruebe la igualdad de resultados: [ a m1 Observamos que el producto sí se puede realizar porque el número de columnas de la matriz A coincide con el número de renglones de B De acuerdo a la definición del producto como producto punto de los renglones de A con b: [ a m [ () ( ) + (0) (5) + ( 1) ( 7) (3) ( ) + () (5) + ( ) ( 7) [ [ a mn 5

6 De acuerdo a la definición del producto como combinación lineal de las columnas de la matriz: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Observamos que hay equivalencia entre una forma y otra para el cálculo de un producto de una matriz por un vector columna Ejemplo 1110 Suponga una fábrica con varias etapas de ensamble En la primera etapa se producen dos tipos de productos, digamos productos tipo X y tipo Y Estos productos están compuestos de partes que la fábrica denomina materia prima La fábrica opera utilizando tres tipos de partes del tipo materia prima; tipo a, tipo b, y tipo c Para armar una pieza del tipo X requiere piezas del tipo a, 3 del tipo b y 5 del tipo c Para armar una pieza del tipo Y requiere 5 del tipo a, del tipo b y 6 del tipo c Suponga que la planta desea armar 10 piezas del tipo X y 1 piezas del tipo Y Cuántas piezas a, b, y c necesita? La anterior composición podría ordenadamente presentarse por la siguiente tabla Requerimientos por armado un tipo X un tipo Y tipo a 5 tipo b 3 tipo c 5 6 Para ver que este problema se resuelve usando el producto de una matriz con un vector, desarrollemos los cálculos: (10) () + (1) (5) (10) (3) + (1) () (10) (5) + (1) (6) () (10) + (5) (1) (3) (10) + () (1) (5) (10) + (6) (1) [ 10 1 Por ello es que se requieren 15 del tipo as, 7 del tipo b, y 176 del tipo c Ejemplo 1111 Continuamos con la Empresa Ensambladora Suponga que en una siguiente etapa de ensamblado se prepan dos tipos de piezas; la pieza tipo M y la pieza tipo N Suponga que para la pieza tipo M requiere 8 piezas tipo X y 3 piezas tipo Y Mientras que para la pieza tipo N requiere piezas tipo X y piezas tipo Y Suponga que la planta desea armar 11 piezas del tipo M y 0 piezas del tipo N, cuántas piezas X y Y se necesita?

7 Diga entonces, cuántas piezas tipo a, b y c se requiere La información de la etapa se puede representar en forma de matriz como: Requerimientos por armado tipo M tipo N tipo X 8 tipo Y 3 Así, las piezas requeridas se pueden calcular [ [ [ 8 11 (8) (11) + () (0) 3 0 (3) (11) + () (0) [ Por ello es que para armar 11 piezas M y 0 piezas N se requieren 18 del tipo X y 113 del tipo Y otro lado, para saber cuántas piezas a, b y c se requieren hagamos: 5 [ () (18) + (5) (113) (3) (18) + () (113) (5) (18) + (6) (113) 1318 Por De donde concluimos que se requieren en total 1077 piezas a, 610 b y 1318 c 118 Matriz de requerimiento Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del proceso): la matriz de requerimiento del proceso es una matriz A n m tal que para determinar el total de cada tipo de materia prima requerida para producir cantidades de productos codificados en el vector y se realiza el producto A y Note que el vector resultante tiene n componentes que son precisamente el número de materias primas disponibles La matriz de requerimiento tiene en cada columna el detalle de materia prima requerido para producir un artículo o una unidad de cada tipo de artículo a la salida: En la primera columna aparece el correspondiente al tipo de producto 1, y así sucesivamente En la primera etapa de la maquiladora del ejemplo anterior la matriz de requerimiento es simplemente la representación matricial de la información de la tabla: Requerimientos por armado un tipo X un tipo Y tipo a 5 tipo b 3 tipo c 5 6 matriz de requerimiento para la etapa de ensamble: A

8 119 Producto entre Matrices Definición 117 Sea A una matriz m n y B una matriz n k El producto A B es la matriz m k cuyas columnas son A b 1,A b,, A b k, donde b 1,b,, b k son las columnas de la matriz B A B A[b 1,, b k [A b 1, A b k () Equivalentemente, el elemento (i, j) del producto puede ser calculado haciendo el producto punto entre el renglón i de la matriz a la izquierda por la columna j de la matriz a la derecha Ejemplo 111 Realice el producto A por B si A [ y B Observamos que el número de columnas de A (3) coincide con el número de renglones de B (3) por lo cual el producto se puede efectuar Para la realización trabajemos sobre las columnas de B: A por columna 1 de B: A b 1 A por columna de B: A b A por columna 3 de B: A b 3 Por consiguiente el producto es: [ [ [ A B [A b 1 A b A b 3 [ () (3) + (0) ( ) + (1) (0) () (3) + (1) ( ) + () (0) [ () () + (0) () + (1) (3) () () + (1) () + () (3) [ () () + (0) (5) + (1) ( ) () () + (1) (5) + () ( ) [ Ejemplo 1113 Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, Cuál será matriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa? El producto de las matrices con ambas etapas respetando el orden es la respuesta: [ 8 3 () (8) + (5) (3) () () + (5) () (3) (8) + () (3) (3) () + () () (5) (8) + (6) (3) (5) () + (6) () 8 [ 6 [ 7 1 [ 6 9

9 [ Es fácil comprobar que esta matriz contiene en las columnas los requerimientos de piezas a, b y c para armar una pieza M y una pieza N 1110 Matriz de requerimiento y producto de matrices Es importante observar la bondad del producto de matrices respecto a las matrices de requerimiento: La matriz de requerimiento de un grupo de etapas de ensamble continuadas vistas como una sola etapa de ensamble es el producto de las matrices de requerimiento de las etapas involucradas justo en el mismo orden 1111 Propiedades de las operaciones Sean A, B y C matrices m n cualquiera, y sean a, b, y c escalares cualquiera Entonces son válidas las siguientes afirmaciones: 1 La suma de matrices es asociativa: (A + B) + C A + (B + C) La suma de matrices es conmutativa: A + B B + A 3 La matriz 0 es el neutro bajo la suma: A A A Cada matriz tiene un inverso aditivo y este es precisamente el escalar 1 por la matriz: A + ( 1 A) ( 1 A) + A 0 5 El producto por escalares se distribuye sobre la suma de matrices: c (A + B) c A + c B 6 La suma de escalares se distribuye sobre la multiplicación por matrices: (a + b) A a A + b A 7 La multiplicación por escalares es asociativa: (a b) A a (b A) 8 El escalar 1 multiplicado por una matriz da como resultado la matriz inicial: 1 A A 9 El escalar cero por una matriz da la matriz de ceros: 0 A 0 10 La multiplicación de matrices es asociativa: A (B C) (A B) C 11 La multiplicación de matrices se distribuye sobre la suma de matrices: a) A (B + C) A B + A C, y b) (A + B) C A C + B C 9

10 1 Movilidad de los escalares en una multiplicación: a (A B) (a A) B A (a B) 13 La matriz cuadrada con sólo unos en la diagonal I n es la identidad multiplicativa: I m A A I n A 1 El resultado de multiplicar la matriz cero, de la dimensión adecuada, por cualquier matriz da como resultado la matriz cero: 0 A A Notas Importantes El producto de matrices sólo está definido en el caso cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz En cualquier otro caso se dice que está indefinido o que es irrealizable El producto matricial no es conmutativo: en general A B B A Por ejemplo si [ [ A, B 1 1 se tiene A B [ B A [