Álgebra Lineal Ma1010
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- Ana Isabel Henríquez Ramos
- hace 8 años
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1 Álgebra Lineal Ma1010 es en R n y producto punto Departamento de Matemáticas ITESM es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 1/40
2 En este apartado se introduce el concepto de vectores en el espacio n-dimensional asi como el concepto producto punto entre vectores en el espacio n-dimensional. Se incluyen anotaciones geométricas sobre estos conceptos. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 2/40
3 Un vector n es arreglo vertical de n números reales de la forma: x = x 1 x 2. x n Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 3/40
4 Un vector n es arreglo vertical de n números reales de la forma: x = Los elementos x i se llamarán las componentes del vector y podrán ser números reales cualquiera. x 1 x 2. x n Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 3/40
5 El vector x = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
6 El vector x = es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
7 El vector x = es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
8 El vector x = es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3, Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
9 El vector x = es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3, la componente 3 es 8, Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
10 El vector x = es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3, la componente 3 es 8, y la componente 4 es -2 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
11 Figura 1: s de un Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 5/40 2
12 entre vectores Dos vectores x y y se dicen vectores iguales si tienen la misma dimensión y las coordenadas correspondientes son todas iguales. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 6/40
13 Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: x = [ x 1 3 ] y = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 7/40 [ y 3 x+1 ]
14 Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: x = [ x 1 3 ] Solución Igualando componentes: y = x 1 = y 3 3 = x+1 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 7/40 [ y 3 x+1 ]
15 Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: x = [ x 1 3 ] Solución Igualando componentes: y = x 1 = y 3 3 = x+1 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 7/40 [ y 3 x+1 Resolviendo primero para x y luego para y obtenemos: x = 2 y = 4 ]
16 entre vectores La suma entre vectores x y y sólo puede realizarse cuando los vectores tienen la misma dimensión, en cuyo caso la suma se calcula: x 1 y 1 x 1 +y 1 x 2. + y 2. = x 2 +y 2. x n y n x n +y n Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 8/40
17 4 3 x Figura 2: de dos vectores por s Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 9/ z y
18 escalares El producto de un escalar c (número real) por un vector x da como resultado un vector. Este producto se define como: x 1 cx 1 x c 2. = cx 2. x n cx n En la figura 3 se ilustra que el resultado de escalar un vector (hacerlo más pequeño o más grande, inclusive cambiarlo de sentido) coincide con el escalamiento de las componentes del vector. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 10/40
19 x -1 z y Figura 3: Producto de escalar por vector -2 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 11/
20 Las operaciones de suma entre vectores y producto de un escalar por un vector satisfacen las siguientes propiedades: 1 Ley asociativa de la suma de vectores: ( u+ v)+ w = u+( v + w) 2 Ley conmutativa de la suma de vectores: 3 cero: 4 Inversos aditivos: u+ v = v + u u+ 0 = 0+ u = u u+( u) = ( u)+ u = 0 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 12/40
21 5 Propiedad distributiva del producto sobre la suma: a( u+ v) = a u+a v 6 Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto: (a+b) u = a u+b u 7 Propiedad asociativa del producto: 8 generales: (ab) u = a(b u) = b(a u) 1 u = u y 0 u = 0 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 13/40
22 Aplicaciones de vectores Ejemplo Suponga una empresa maquiladora que a partir de componentes tipos básicos A, B y C ensambla otros componentes. A los componentes A, B y C los podemos considerar como materia prima, además son direrentes y un tipo no puede suplir a otro. Normalmente, la empresa tiene almacenado en un buen número de estos componentes y lleva un control estricto de las cantidades. El personal de almacen por conveniencia reporta el contenido y la salida de materiales por un vector de 3 componentes. En lugar de decir: en bodega hay 200 componentes tipo A, 250 componentes tipo B y 347 componentes tipo C, la gente de bodega dice tenemos < 200,250,347 >. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 14/40
23 Siguiendo con el ejemplo, suponga que inicialmente poseen < 1200,1400,800 >. Un mes después salen cuatro pedidos por < 25,30,50 > cada uno y entra < 100,300,200 >. En el siguiente mes salen tres pedidos por < 30,25,30 > cada uno y no hay entrada. Indique cuál es la cantidad de material en bodega. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 15/40
24 Siguiendo con el ejemplo, suponga que inicialmente poseen < 1200,1400,800 >. Un mes después salen cuatro pedidos por < 25,30,50 > cada uno y entra < 100,300,200 >. En el siguiente mes salen tres pedidos por < 30,25,30 > cada uno y no hay entrada. Indique cuál es la cantidad de material en bodega. Solución Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 15/ = Quedan 1110 tipo A, 1505 tipo B y 710 tipo C
25 Producto punto Sean u =< u 1,u 2,,u n >, y v =< v 1,v 2,,v n > dos vectores cualquiera en R n. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 16/40
26 Producto punto Sean u =< u 1,u 2,,u n >, y v =< v 1,v 2,,v n > dos vectores cualquiera en R n. El producto Punto, o producto escalar, de u y v se define como u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 16/40
27 Determine el producto punto entre los vectores: v =< 2,3, 4 > y v =< 2, 1, 1 > Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40
28 Determine el producto punto entre los vectores: Solución v =< 2,3, 4 > y v =< 2, 1, 1 > De la propia definición del producto punto: = 4 1 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40
29 Determine el producto punto entre los vectores: Solución v =< 2,3, 4 > y v =< 2, 1, 1 > De la propia definición del producto punto: = Unitario = (2) (2)+(3) ( 1)+( 4) ( 1) 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40
30 Determine el producto punto entre los vectores: Solución v =< 2,3, 4 > y v =< 2, 1, 1 > De la propia definición del producto punto: = = 5 Unitario = (2) (2)+(3) ( 1)+( 4) ( 1) 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40
31 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 18/40
32 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 18/40
33 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimensión. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 18/40
34 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimensión. También debe observarse que el resultado del producto punto es un escalar, no un vector. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 18/40
35 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
36 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Solución 1. Indefinida porque ( v w) es un escalar. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
37 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Solución 2. Definida porque es una suma entre escalares. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
38 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Solución 3. Definida porque es un escalar por un vector. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
39 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: Solución 4. Definida. 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
40 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Solución 5. Definida: es un escalar al cubo. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
41 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Solución 6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
42 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w) 2. u u+2 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) Solución 7. Definida: es un producto entre escalares Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
43 Dos vectores u y v, se dice que son vectores ortogonales, si u v = 0 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 20/40
44 Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u 1 =< 2,3, 4 > y u 2 =< 1,2,3 > v 1 =< 2,3 > y v 2 =< 3,2 > Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
45 Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u 1 =< 2,3, 4 > y u 2 =< 1,2,3 > v 1 =< 2,3 > y v 2 =< 3,2 > Solución Los vectores < 2,3, 4 > y < 1,2,3 > no son ortogonales debido a que Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
46 Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u 1 =< 2,3, 4 > y u 2 =< 1,2,3 > v 1 =< 2,3 > y v 2 =< 3,2 > Solución Los vectores < 2,3, 4 > y < 1,2,3 > no son ortogonales debido a que Unitario < 2,3, 4 > < 1,2,3 >= (2) (1)+(3) (2)+( 4) (3) = es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
47 Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u 1 =< 2,3, 4 > y u 2 =< 1,2,3 > v 1 =< 2,3 > y v 2 =< 3,2 > Solución Los vectores < 2,3, 4 > y < 1,2,3 > no son ortogonales debido a que Unitario < 2,3, 4 > < 1,2,3 >= (2) (1)+(3) (2)+( 4) (3) = 4 0 Los vectores < 2,3 > y < 3,2 > sí son ortogonales debido a que: 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
48 Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u 1 =< 2,3, 4 > y u 2 =< 1,2,3 > v 1 =< 2,3 > y v 2 =< 3,2 > Solución Los vectores < 2,3, 4 > y < 1,2,3 > no son ortogonales debido a que Unitario < 2,3, 4 > < 1,2,3 >= (2) (1)+(3) (2)+( 4) (3) = 4 0 Los vectores < 2,3 > y < 3,2 > sí son ortogonales debido a que: < 2,3 > < 3,2 >= (2) ( 3)+(3) (2) = 0 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
49 Longitud o norma La norma de un vector u se define como u = u u = u 12 + u n 2 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 22/40
50 Determine la norma del vector: v =< 2, 3,1 > Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
51 Determine la norma del vector: v =< 2, 3,1 > Solución Directamente de la definción: < 2, 3,1 > = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
52 Determine la norma del vector: v =< 2, 3,1 > Solución Directamente de la definción: < 2, 3,1 > = (2) (2)+( 3) ( 3)+(1) (1) Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
53 Determine la norma del vector: v =< 2, 3,1 > Solución Directamente de la definción: < 2, 3,1 > = (2) (2)+( 3) ( 3)+(1) (1) = 14 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
54 entre vectores La distancia euclidiana entre los vectores u y v, se define como d u, v = u v Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 24/40
55 Determine la distancia entre el punto P(2,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
56 Determine la distancia entre el punto P(2,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Solución Directamente de la definición tenemos: d P, Q = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
57 Determine la distancia entre el punto P(2,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Solución Directamente de la definición tenemos: d P, Q = < 2,3,0 > < 0,6, 1 > = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
58 Determine la distancia entre el punto P(2,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Solución Directamente de la definición tenemos: d P, Q = < 2,3,0 > < 0,6, 1 > = < 2, 3,1 > = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
59 Determine la distancia entre el punto P(2,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Solución Directamente de la definición tenemos: d P, Q = < 2,3,0 > < 0,6, 1 > = < 2, 3,1 > = 2 2 +( 3) = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
60 Determine la distancia entre el punto P(2,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Solución Directamente de la definición tenemos: d P, Q = < 2,3,0 > < 0,6, 1 > = < 2, 3,1 > = 2 2 +( 3) = 14 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
61 unitario Un vector u se dice vector unitario, o simplemente unitario, si u = 1 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 26/40
62 Diga si los siguientes vectores son unitarios: u =< 1,2 > y v =< 1/ 2, 1/ 2 > Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 27/40
63 Diga si los siguientes vectores son unitarios: u =< 1,2 > y v =< 1/ 2, 1/ 2 > Solución El vector < 1,2 > no es unitario debido a que: < 1,2 > = < 1,2 > < 1,2 > = Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 27/40
64 Diga si los siguientes vectores son unitarios: u =< 1,2 > y v =< 1/ 2, 1/ 2 > Solución Mientras que el vector < 1/ 2, 1/ 2 > sí es unitario porque: < 1/ 2, 1/ 2 > = 1/2+1/2 = 1 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 27/40
65 entre vectores El ángulo entre vectores u y v, se define como el único número θ (0 θ π)que cumple cos(θ) = u v u v Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 28/40
66 Determine el ángulo entre los vectores P =< 1,2 > y Q =< 1, 1 >. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 29/40
67 Determine el ángulo entre los vectores P =< 1,2 > y Q =< 1, 1 >. Solución Como P Q = 1 2 = 1, P = 5, Q = 2 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 29/40
68 Determine el ángulo entre los vectores P =< 1,2 > y Q =< 1, 1 >. Solución Como P Q = 1 2 = 1, P = 5, Q = 2 De donde: de donde cos(θ) = P Q P Q = 1 10 = , θ (en radianes),θ o Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 29/40
69 ortogonal Sean u y v dos vectores en R n, ninguno de los dos el vector cero, La proyección ortogonal de u sobre v se define como el vector ( ) u v u pr, v = v. v v En la figura 4 se ilustra la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 30/40
70 s de un vector Figura 4: Ortogonal Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 31/40
71 Determine la proyección de u =< 1,2 > sobre v =< 1,1 >. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 32/40
72 Determine la proyección de u =< 1,2 > sobre v =< 1,1 >. Solución Como u v = 3, v v = 2 Así Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 32/40
73 Determine la proyección de u =< 1,2 > sobre v =< 1,1 >. Solución Como u v = 3, v v = 2 Así u pr, v = 3 2 < 1,1 >=< 3 2, 3 2 > Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 32/40
74 vectorial La componente vectorial de u ortogonal a v se define como el vector ( ) u v u c, v = u v v v En la figura 5 se ilustra la componente vectorial sobre un vector. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 33/40
75 s de un vector Figura 5: vectorial Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 34/40
76 Determine la componente ortogonal de u =< 1,2 > sobre v =< 1,1 >. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 35/40
77 Determine la componente ortogonal de u =< 1,2 > sobre v =< 1,1 >. Solución Como u v = 3, v v = 2 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 35/40
78 Determine la componente ortogonal de u =< 1,2 > sobre v =< 1,1 >. Solución Como Así u v = 3, v v = 2 u c v =< 1,2 > 3 2 < 1,1 >=< 1 2, 1 2 > Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 35/40
79 del Para cualquier vectores u, v, y w en R n y escalar c se cumple 1 Simetría: u v = v u Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 36/40
80 del Para cualquier vectores u, v, y w en R n y escalar c se cumple 1 Simetría: u v = v u 2 Aditividad: u ( v + w) = u v + u w Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 36/40
81 3. Homogeneidad: c( u v) = (c u) v = u (c v) Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 37/40
82 3. Homogeneidad: 4. Positividad: c( u v) = (c u) v = u (c v) u u 0 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 37/40
83 3. Homogeneidad: 4. Positividad: Además, c( u v) = (c u) v = u (c v) u u 0 u u = 0 si y sólo si u = 0 Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 37/40
84 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u v u v Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 38/40
85 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u v u v Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores u y v son múltiplos escalares entre sí. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 38/40
86 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u v u v Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores u y v son múltiplos escalares entre sí. El resultado anterior se conoce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 38/40
87 Desigualdad del Triángulo Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u+ v u + v. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 39/40
88 Desigualdad del Triángulo Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u+ v u + v. El resultado anterior se conoce como la desigualdad del triángulo. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 39/40
89 Teorema de Pitágoras Teorema Los vectores u y v son ortogonales si y sólo si se cumple u+ v 2 = u 2 + v 2. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 40/40
90 Teorema de Pitágoras Teorema Los vectores u y v son ortogonales si y sólo si se cumple u+ v 2 = u 2 + v 2. El resultado anterior se conoce como el Teorema de Pitágoras. Unitario 0 es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 40/40
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