Vectores en R n y producto punto

Transcripción

1 Vectores en R n y producto punto Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 011 Índice 4.1. Introducción Vector Igualdad entre vectores Suma entre vectores Producto por escalares Propiedades Aplicaciones de vectores Producto punto Ortogonalidad Longitud o norma Distancia entre vectores Vector unitario Ángulo entre vectores Proyección ortogonal Componente vectorial Propiedades del Producto Punto Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad del Triángulo Teorema de Pitágoras Introducción En este apartado se introduce el concepto de vectores en el espacio n-dimensional asi como el concepto producto punto entre vectores en el espacio n-dimensional. Se incluyen anotaciones geométricas sobre estos conceptos. 4.. Vector Definición 4.1 Un vector n es arreglo vertical de n números reales de la forma: x 1 x x =. x n Los elementos x i se llamarán las componentes del vector y podrán ser números reales cualquiera. Se referirá a n como la dimensión del vector x. El conjunto de todos los posibles vectores n se representará por R n.

2 Figura 1: Componentes de un Vector Ejemplo 4.1 El vector x = es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente es -3, la componente 3 es 8, y la componente 4 es - En la figura 1 se ilustran las componentes de un vector en R 3 : el vector está en azul y las componentes son los vectores en rojo que se obtienen en proyectar perpendicularmente el vector sobre los ejes Igualdad entre vectores Definición 4. Dos vectores x y y se dicen vectores iguales si tienen la misma dimensión y las coordenadas correspondientes son todas iguales. Ejemplo 4. Indique para que valor de x y y los vectores son iguales: [ ] x 1 x = 3 y = [ y 3 x+1 ] Igualando componentes: x 1 = y 3 3 = x+1 Resolviendo primero para x y luego para y obtenemos: x = y = 4

3 4 3 z x y Figura : Suma de dos vectores por Componentes 4.4. Suma entre vectores Definición 4.3 La suma entre vectores x y y sólo puede realizarse cuando los vectores tienen la misma dimensión, en cuyo caso la suma se calcula: x 1 x. x n + y 1 y. y n = x 1 +y 1 x +y. x n +y n En la figura se ilustra que el proceso de suma de dos vectores en R 3 que se efectua por medio de la regla del paralelogramo: para sumar dos vectores, uno de ellos se traslada hasta la punta del otro y el vector suma resultante va del inicio del primero hasta la punta del segundo. Es obtenido sumando las componentes de los dos vectores Producto por escalares Definición 4.4 El producto de un escalar c (número real) por un vector x da como resultado un vector. Este producto se define como: c x 1 x. x n = En la figura 3 se ilustra que el resultado de escalar un vector (hacerlo más pequeño o más grande, inclusive cambiarlo de sentido) coincide con el escalamiento de las componentes del vector. cx 1 cx. cx n 4.6. Propiedades Las operaciones de suma entre vectores y producto de un escalar por un vector satisfacen las siguientes propiedades: 3

4 x -1 z 00 0 y Figura 3: Producto de escalar por vector 1 Ley asociativa de la suma de vectores: ( u+ v)+ w = u+( v + w) Ley conmutativa de la suma de vectores: u+ v = v + u 3 Vector cero: 4 Inversos aditivos: u+ 0 = 0+ u = u u+( u) = ( u)+ u = 0 5 Propiedad distributiva del producto sobre la suma: a( u+ v) = a u+a v 6 Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto: (a+b) u = a u+b u 7 Propiedad asociativa del producto: 8 Propiedades generales: (ab) u = a(b u) = b(a u) 1 u = u y 0 u = 0 4

5 4.7. Aplicaciones de vectores Veamos ahora algunos ejemplos que muestran la utilidad del manejo de vectores para representar cantidades que deben manejarse por separado. Ejemplo 4.3 Suponga una empresa maquiladora que a partir de componentes tipos básicos A, B y C ensambla otros componentes. A los componentes A, B y C los podemos considerar como materia prima, además son direrentes y un tipo no puede suplir a otro. Normalmente, la empresa tiene almacenado en un buen número de estos componentes y lleva un control estricto de las cantidades. El personal de almacen por conveniencia reporta el contenido y la salida de materiales por un vector de 3 componentes. En lugar de decir: en bodega hay 00 componentes tipo A, 50 componentes tipo B y 347 componentes tipo C, la gente de bodega dice tenemos < 00,50,347 >. En lugar de decir: salieron de bodega 333 componentes tipo A, 130 componentes tipo B y 58 componentes tipo C dice salieron < 333,130,58 > Ahora veamos que las operaciones con vectores también les son convenientes para su manejo de bodega. Ejemplo 4.4 Siguiendo con el ejemplo, suponga que inicialmente poseen < 100, 1400, 800 >. Un mes después salen cuatro pedidos por < 5,30,50 > cada uno y entra < 100,300,00 >. En el siguiente mes salen tres pedidos por < 30,5,30 > cada uno y no hay entrada. Indique cuál es la cantidad de material en bodega. La representación vectorial es bastante adecuada y el resultado puede expresarse como una operación entre vectores: Quedan 1110 tipo A, 1505 tipo B y 710 tipo C 4.8. Producto punto = Definición 4.5 Sean u =< u 1,u,,u n >, y v =< v 1,v,,v n > dos vectores cualquiera en R n. El producto Punto, o producto escalar, de u y v se define como u v = u 1 v 1 +u v + +u n v n (1) Ejemplo 4.5 Determine el producto punto entre los vectores: v =<,3, 4 > y v =<, 1, 1 > De la propia definición del producto punto: 3 1 = () ()+(3) ( 1)+( 4) ( 1) 4 1 = = 5 Nota Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de la misma dimensión: No entre un escalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimensión. También debe observarse que el resultado 5

6 del producto punto es un escalar, no un vector. Ejemplo 4.6 Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. u ( v w). u u+ 3. ( u v) w 4. u (3 v) 5. ( u u) 3 6. u (3+ w) 7. ( u v)( v w) 1. Indefinida porque ( v w) es un escalar.. Definida porque es una suma entre escalares. 3. Definida porque es un escalar por un vector. 4. Definida. 5. Definida: es un escalar al cubo. 6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector. 7. Definida: es un producto entre escalares 4.9. Ortogonalidad Definición 4.6 Dos vectores u y v, se dice que son vectores ortogonales, si u v = 0 () Ejemplo 4.7 Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales: u 1 =<,3, 4 > y u =< 1,,3 > v 1 =<,3 > y v =< 3, > Los vectores <,3, 4 > y < 1,,3 > no son ortogonales debido a que <,3, 4 > < 1,,3 >= () (1)+(3) ()+( 4) (3) = 4 0 Los vectores <,3 > y < 3, > sí son ortogonales debido a que: <,3 > < 3, >= () ( 3)+(3) () = Longitud o norma Definición 4.7 La norma de un vector u se define como u = u u = u 1 + u n (3) 6

7 Ejemplo 4.8 Determine la norma del vector: Directamente de la definción: v =<, 3,1 > <, 3,1 > = () ()+( 3) ( 3)+(1) (1) = Distancia entre vectores Definición 4.8 La distancia euclidiana entre los vectores u y v, se define como d u, v = u v (4) Ejemplo 4.9 Determine la distancia entre el punto P(,3,0) y el punto Q = (0,6, 1). Directamente de la definición tenemos: d P, Q = <,3,0 > < 0,6, 1 > = <, 3,1 > = +( 3) +1 = Vector unitario Definición 4.9 Un vector u se dice vector unitario, o simplemente unitario, si u = 1 (5) Ejemplo 4.10 Diga si los siguientes vectores son unitarios: El vector < 1, > no es unitario debido a que: u =< 1, > y v =< 1/, 1/ > < 1, > = < 1, > < 1, > = Mientras que el vector < 1/, 1/ > sí es unitario porque: < 1/, 1/ > = 1/+1/ = 1 7

8 Componentes de un vector Figura 4: Proyección Ortogonal Ángulo entre vectores Definición 4.10 El ángulo entre vectores u y v, se define como el único número θ (0 θ π)que cumple cos(θ) = u v u v (6) Ejemplo 4.11 Determine el ángulo entre los vectores P =< 1, > y Q =< 1, 1 >. Como P Q = 1 = 1, P = 5, Q = De donde: de donde cos(θ) = P Q P Q = 1 10 = 0.316, θ 1.895(en radianes),θ o Proyección ortogonal Definición 4.11 Sean u y v dos vectores en R n, ninguno de los dos el vector cero, La proyección ortogonal de u sobre v se define como el vector ( ) u v u pr, v = v. (7) v v En la figura 4 se ilustra la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Ejemplo 4.1 Determine la proyección de u =< 1, > sobre v =< 1,1 >. 8

9 Componentes de un vector Figura 5: Componente vectorial Como Así u v = 3, v v = u pr, v = 3 < 1,1 >=< 3, 3 > Componente vectorial Definición 4.1 La componente vectorial de u ortogonal a v se define como el vector u c, v = u En la figura 5 se ilustra la componente vectorial sobre un vector. Ejemplo 4.13 Determine la componente ortogonal de u =< 1, > sobre v =< 1,1 >. ( ) u v v (8) v v Como Así u v = 3, v v = u c v =< 1, > 3 < 1,1 >=< 1, 1 > Propiedades del Producto Punto Para cualquier vectores u, v, y w en R n y escalar c se cumple 9

10 1 Simetría: Aditividad: 3. Homogeneidad: 4. Positividad: Además, u v = v u (9) u ( v + w) = u v + u w (10) c( u v) = (c u) v = u (c v) (11) u u 0 (1) u u = 0 si y sólo si u = 0 (13) Desigualdad de Cauchy-Schwarz Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u v u v (14) Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores u y v son múltiplos escalares entre sí. El resultado anterior se conoce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad del Triángulo Teorema Para cualquiera dos vectores u y v en R n se cumple u+ v u + v. (15) El resultado anterior se conoce como la desigualdad del triángulo Teorema de Pitágoras Teorema Los vectores u y v son ortogonales si y sólo si se cumple u+ v = u + v. (16) El resultado anterior se conoce como el Teorema de Pitágoras. 10