ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

Transcripción

1 ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura del cuerpo humano. El área de un jardín. La cantidad de sillas de un salón. El tiempo empleado para ir a la escuela. MAGNITUD VECTORIAL: Es una cantidad física que, además de tener un valor numérico y una unidad, posee también un sentido y una dirección. Ejemplos: La velocidad de un avión. El desplazamiento de una persona al transportarse de un lugar a otro. La fuerza que ejerce un bate sobre una pelota de béisbol. La aceleración de un automóvil. Para distinguir entre magnitudes escalares y vectoriales se utilizarán las letras con una flecha arriba para representar a los vectores y letras ordinarias para los escalares. Así A y B representan dos vectores cualesquiera. Si únicamente nos interesa la magnitud de un vector, se puede representar encerrando entre barras verticales de valor absoluto a la letra que corresponde, por ejemplo, C indica la magnitud del vector C. Observa que la magnitud de un vector es una cantidad positiva que no incluye dirección ni sentido, siendo por lo tanto una magnitud escalar. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Un vector cualquiera tiene las siguientes características: 1. Punto de aplicación u origen. 2. Magnitud, intensidad o nódulo el vector. Indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional. 3. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, puede ser horizontal, vertical u oblicua. 4. Sentido. Queda señalando por la punta de la flecha e indica hacia dónde actúa el vector.

2 VECTORES COPLANARES, NO COPLANARES, DESLIZANTES Y LIBRES Vectores coplanares: Los vectores son coplanares si se encuentran en el mismo plano, o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es decir, en tres ejes (X, Y, Z) Vectores deslizantes: Son aquellos que se pueden desplazar o deslizar a lo largo de su línea de acción, es decir, en su misma dirección Vectores libres: Son aquellos que no se localizan en un solo punto fijo en el espacio, además no tienen ningún punto en común con otros vectores. SISTEMA DE VECTORES COLINEALES Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción (véase la siguiente figura) F 4 F 1 F 3 F 2 Sistema de vectores colineales SISTEMA DE VECTORES CONCURRENTES O ANGULARES Un sistema de vectores concurrentes se da cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruzan en algún punto; el punto de cruce constituye el punto de aplicación de los vectores (Siguiente figura). A estos vectores se les llama angulares o cuncurrentes porque forman un ángulo entre ellos. F 2 d 2 d 1 F 1 F 3 PROPIEDADES DE LOS VECTORES 1).- Igualdad de 2 vectores: Dos vectores son iguales cuando su magnitud, dirección y sentido también son iguales. Esta propiedad posibilita el traslado de un vector en un diagrama, siempre y cuando se haga en forma paralela a dicho vector. En la siguiente figura se observan los vectores a, b y c, los cuales son iguales entre sí, no obstante que su punto de aplicación u origen no es el mismo

3 Y c a X b 2).- Adición: Sólo se pueden sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida. Por ejemplo, no es posible sumar un vector de fuerza con un vector de desplazamiento. Las magnitudes escalares tampoco se pueden sumar si no tienen las mismas unidades de medida. Por ejemplo, no se puede sumar el tiempo con el volumen. 3).- Negativo de un vector: El negativo de un vector cualquiera, por ejemplo de un vector a, se define como aquel vector que sumado al vector a, da un resultado igual a cero. Por tanto, a + (-a)=0 En conclusión, el negativo de un vector tiene la misma magnitud y dirección de dicho vector, pero su sentido es contrario. 4).- Ley conmutativa de la adición de vectores: Cuando se suman 2 vectores, la resultante de la suma es la misma, sin importar el orden en que se sumen, es decir: a + b = b + a 5).- Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación: El efecto externo de un vector deslizante no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir, sobre su propia línea de acción. Por ejemplo, si se desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerzam el resultado será el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos como se muestra en la figura. F=600 N F=600 N 6).- Propiedad de los vectores libres: Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos (véase la siguiente figura). Esta propiedad la utilizaremos al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo, triángulo y polígono. F 2=30 N F 2=30 N F 1=40 N 40 0 F 1=40 N 40 0 Propiedad de los vectores libres.

4 SUMA DE VECTORES Cuando necesitamos sumar dos o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2 kg + 5 kg = 7 kg, 20 m m 2 = 30 m 2. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos, aparte de magnitud tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero en ambos casos se consideran, además de la magnitud del vector, su dirección y sentido. EJEMPLO: Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al norte y después 4 km al oeste. Calcular: 1) Cuál es la distancia total que recorren? 2) Cuál fue su desplazamiento? 1) Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar artiméticamente las dos distancias: d t =d 1 + d 2 = 3 km + 4 km = 7 km 2) Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos (el de partida y el de llegada), debemos de hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3 km realizado al norte, representado por d 1, y después el segundo desplazamiento a 4 km al oeste representado por d 2 (véase la siguiente figura). Posteriormente, unimos el origen del vector d 1 con el extremo del vector d 2, a fin de encontrar el vector resultante R, equivalente a la suma de los 2 vectores. El origen del vector resultante R es el mismo origen del vector d 1, y su extremo incide con el del vector d 2. Para calcular su magnitud, sólo medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección es determinada por el ángulo que se forma. d 2 N (km) Escala: 1cm = 10N R=5 km d 1 O (km) α= 37 0 E (km) S (km) Suma de dos desplazamientos d 1 y d 2

5 DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE VECTORES Es la representación de un vector en función de otros vectores sobre dos direcciones mutuamente perpendiculares. En la siguiente figura, se muestra un vector A cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector A trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las y, los vectores A x y A y así formados reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector A. Este proceso se conoce como descomposición de un vector en sus componentes rectangulares porque las componentes forman entre sí un ángulo recto (90 0 ) EJEMPLO Encontrar grafica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector: Y F = 40 N 30 0 Solución por el método gráfico Para encontrar en forma gráfica las componentes rectangulares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N. Trazamos el vector al medir el ángulo de 30 0 con el transportador. Después, a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las x y otra hacia en eje de las Y. En el punto de intersección del eje X quedará el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedará el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F cuyo valor es de 40 N, el cual estamos descomponiendo. Y X F = 40 N F y = 20 N 30 0 F x= 34 N X

6 Para encontrar el valor de cada componente, basta con medir la longitud y de acuerdo con la escala que se haya utilizado, encontrar su valor. Solución por el método analítico: Al proyectar las componentes en X y en Y, observamos que se forman 2 triángulos rectángulo. Trabajaremos con el triangulo formado al proyectar la componente en el eje X y utilizaremos las funciones trigonométricas seno y coseno con el ángulo de 30 0 que conocemos para tener una relación así. F = 40 N 30 0 F y F x = Cateto Adyacente F y = Cateto Opuesto F = Hipotenusa F x Calculo de F y : Despejamos F y : Cálculo de F x : Despejamos F x : SUMA DE MÁS DE DOS VECTORES CONCURRENTES O ANGULARES. Para sumar más de dos vectores angulares o concurrentes en forma gráfica, se utiliza el llamado Método del polígono dicho método consiste en trasladar paralelamente a sí mismo cada uno de los vectores sumados, de tal manera que al tomar uno de los vectores como base los otros se colocarán uno a continuación del otro, poniendo el origen de un vector en el extremo del otro y así sucesivamente hasta colocar el último vector. La resultante será el vector que una el origen de los vectores con el extremo libre del último vector. EJEMPLO: Encontrar en fórma analítica la resultante de la suma de los siguientes vectores. Determinar también el ángulo que forma la resultante respecto al eje horizontal.

7 F1=2.5 N F2=3 N F4=2.5 N F3=4 N Solución por el método gráfico del polígono: Para hallar la resultante podemos tomar como base cualquiera de los cuatro vectores. Si tomamos a F1, entonces trasladamos el origen de F2 al extremo de F1; el origen de F3 al extremo de F2; y el origen de F4 al extremo de F3. La resultante será el vector que una el origen de F1 con el extremo de F4. Como se muestra en la figura: Escala: 1 cm = 1 N F2=3 N 25 0 F3=4 N 40 0 F4=2.5 N F1=2.5 N R=? R= 5.2 N Α = Solución por el método analítico. Para encontrar la resultante por el método analítico se procede de la siguiente forma: Paso 1: Descomponer cada vector en sus componentes rectangulares. F1=2.5 N F2 y F2=3 N F4 x 40 0 F4 y 25 0 F2 x F3=4 N F4=2.5 N

8 Paso 2: Calcular el valor de cada componente rectangular. Si la componente es horizontal a la derecha o vertical hacia arriba, es positiva. Si la componente es horizontal a la izquierda o vertical hacia abajo, es negativa. F1 F2 F3 F4 F1x = 0 F1y = F1 = 2.5 N F2x = F2 Cos 25 0 = 3 N F2X = N F2y = F2 Sen 25 0 = 3 N F2y = N F3x = F3 = 4 N -F4x = -F4 Cos 40 0 = -2N F4x = N -F4y = -F4 Sen 400 = -2N F4y = N Paso 3: Una vez calculados los valores de las componentes en X y en Y de cada vector, hacer la suma de componentes en X y en Y, de tal manera que el sistema se reduzca a 2 vectores perpendiculares. Rx Ry Rx = Fx = F2x + F3x + (-F4x) = N + 4 N 1.532N Rx = N Ry = Fy = F1y + F2y + (-F4y) = 2.5N N N Ry = N Como podemos ver, los valores de Rx y Ry son positivos, lo que significa que el vector Rx apunta a la derecha y el vector Ry apunta hacia arriba. Además también podemos observar que el sistema ya se redujo a 2 vectores rectangulares como se muestra a continuación R y= N R=? α =? R y= N

9 Paso 4: Encontrar la resultante de los 2 vectores mediante el teorema de Pitágoras. R = 5.75 N Paso 5: Por medio de la función tangente, calcular el ángulo que forma la resultante con la horizontal. Al comparar los resultados obtenidos por el método gráfico y el analítico, se observa una pequeña diferencia, la cual se debe a que por el método gráfico estamos expuestos a cometer varios errores al medir los vectores y los ángulos. Por tanto, la ventaja de utilizar le método analítico es el que nos dará un resultado más confiable. VECTORES UNITARIOS Un vector unitario es aquel que tiene una magnitud igual a uno y no tiene dimensiones. Se utiliza con el único fin de especificar una dirección determinada, ya que no tiene ningún otro significado físico En un sistema de coordenadas rectangulares es común utilizar los símbolos especiales î, ĵ y k para representar vectores unitarios en las direcciones y sentidos de los ejes X, Y, Z respectivamente. Por lo tanto, los vectores unitarios î, ĵ y k forman un conjunto de vectores perpendiculares entre sí, como se muestra en la siguiente figura: Y ĵ k î X Z No es forzoso que los vectores î, ĵ y k estén localizados en el origen del sistema de coordenadas, ya que como todos los vectores, también ellos se pueden trasladar a cualquier lugar en el espacio de las coordenadas con la condición de que conserven su misma dirección y sentido.

10 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR El producto de un escalar k y de un vector r se escribe: kr y se define como un nuevo vector cuya magnitud es k veces mayor que la magnitud r Por ejemplo: Si r = 5 N y k = 6 Kr = 6 5 N = 30 N Es decir: r = 5 N kr = 30 N Como se puede apreciar, el nuevo vector tiene el mismo sentido que r si k es positivo; sin embargo, si k es negativo, el vector resultante cambiará su sentido y mangitud, o sólo su sentido, es decir: r = 4 N Si r = 4 N y k = -1 kr = -1 4 = -4 N kr = -4 N PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Llamado también producto punto, da como resultado una magnitud escalar, pues carece de dirección y sentido. Por definición, el producto escalar de dos vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector por la componente perpendicular de otro vector en la dirección del primero. Algunas magnitudes físicas que resultan del producto escalar de dos vectores son: el trabajo mecánico, la potencia eléctrica y la densidad de energía electromagnética. EJEMPLO: Calcula el producto escalar de los siguientes vectores: F=3N 25 0 d=4 m SOLUCIÓN

11 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Llamado también producto cruz, da como resultado otro vector, el cual siempre es perpendicular al plano formado por los dos vectores que se multiplican. Por definición, la magnitud del producto vectorial de dos vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector por la componente perpendicular del otro respecto al primero NOTA: en el producto vectorial, el orden de los factores debe tomarse en cuenta, pues no es lo mismo que. En el producto vectorial de a y b la multiplicación de ab sen θ nos proporciona únicamente la magnitud del vector c, porque si deseamos conocer su sentido se debe usar la regla de la mano derecha que a continuación se explica- Se analiza primero la dirección que llevará la resultante, la cual resulta perpendicular al plano formado por los vectores. Consideramos la dirección del vector resultante como si fuera un eje, alrededor de él cerramos los dedos de la mano derecha con el pulgar extendido. Las puntas de los dedos señalarán el sentido del giro producido por el efecto de la fuerza; mientras el dedo pulgar indicará el sentido del vector resultante. Algunas magnitudes físicas que resultan del producto cruz son: el momento de una fuerza, la fuerza que recibe una carga en movimiento al penetrar a un campo magnético y la cantidad de movimiento angular. EJEMPLO: Calcular el producto vectorial de los siguientes vectores F y d determinando el sentido del vector resultante c Solución: d=5 m 40 0 F=25N El sentido del vector resultante de acuerdo a la regla de la mano derecha es hacia arriba, saliendo de la hoja.